урок по теме " Сфера и шар"
презентация к уроку по геометрии (11 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Сфера и шар Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы (точка О на рисунке), а данное расстояние — радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают латинской буквой R .

Слайд 3

Сфера О R

Слайд 4

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очевидно, диаметр сферы равен 2 R . Отметим, что сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра.

Слайд 5

Сфера получена вращением полуокружности АВС вокруг диаметра АВ А С В

Слайд 6

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая и точку О ), и не содержит других точек.

Слайд 7

Уравнение сферы Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz и дана некоторая поверхность F , например плоскость или сфера. Уравнение с тремя переменными x , y , z называется уравнением поверхности F , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Слайд 8

Отметим, что понятие уравнения поверхности аналогично понятию уравнения линии, которое было введено в курсе планиметрии. Введем уравнение сферы радиуса R с центром C ( x 0 ; y 0 ; z 0 ).

Слайд 9

C ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) R M ( x ; y ; z ) O z y x

Слайд 10

Расстояние от произвольной точки M ( x ; y ; z ) до точки С вычисляется по формуле: MC= (х-х 0 ) 2 +(у-у 0 ) 2 +( z - z 0 ) 2

Слайд 11

Если точка М лежит на данной сфере, то МС = R , или МС 2 = R 2 , т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению (х-х 0 ) 2 +(у-у 0 ) 2 +( z - z 0 ) 2 = R 2 (1)

Слайд 12

Если же точка М (х; у; z ) не лежит на дан­ной сфере, то МС 2 = R 2 , т. е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямо­угольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С (х 0 ; у 0 ; z 0 ) имеет вид (х-х 0 ) 2 + (у-у 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2 = R 2 .

Слайд 13

Взаимное расположение сферы и плоскости Исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости. Обозначим радиус сферы буквой R , а расстояние от ее центра до плоскости α — буквой d .

Слайд 14

Введем систему координат так, как показано на рисунке: α О R r С (0; 0; d ) z y x

Слайд 15

Плоскость Оху совпадает с плоскостью α , а центр С сферы лежит на положительной полуоси Oz . В этой системе координат точка С имеет координаты ( 0; 0; d ), поэтому сфера имеет уравнение х 2 + у 2 + ( z – d ) 2 = R 2 Плоскость α совпадает с координатной плоскостью Оху, и поэтому ее уравнение имеет вид z = 0 .

Слайд 16

Если координаты какой-нибудь точки М (х; у; Z ) удовлетворяют обоим уравнениям, то точка М лежит как в плоскости α , так и на сфере, т. е. является общей точкой плоскости и сферы. Если же система этих двух уравнений не имеет решений, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Слайд 17

Таким образом, во­прос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений Z = 0 х 2 +у 2 + (Z - d ) 2 = R 2 Подставив Z = 0 во второе уравнение, получим х 2 +у 2 = R 2 - d 2 (2) Возможны три случая.

Слайд 18

1) d < R . Тогда R 2 - d 2 > 0 , и уравнение (2) является уравнением окружности радиуса r = R 2 - d 2 с центром в точке О на плоскости Оху . Координаты любой точки М (х; у; 0) этой окружности удовлетворяют как уравнению плоскости а, так и уравнению сферы, т. е. все точки этой окружности являются общими точ­ками плоскости и сферы. Таким образом, в данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности.

Слайд 19

О R r С (0; 0; d ) d

Слайд 20

Итак, если расстояние от центра сфе­ры до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность. Ясно, что сечение шара плоскостью есть круг. Если секущая плоскость проходит через центр шара, то d = 0 и в сечении получается круг радиуса R , т. е. круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом шара . Если секущая плоскость не проходит через центр шара, то d > 0 и радиус сечения r = R 2 - d 2 , очевидно, меньше радиуса шара. Итак, если расстояние от центра сфе­ры до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность. Ясно, что сечение шара плоскостью есть круг. Если секущая плоскость проходит через центр шара, то d = 0 и в сечении получается круг радиуса R , т. е. круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом шара . Если секущая плоскость не проходит через центр шара, то d > 0 и радиус сечения r = R 2 - d 2 , очевидно, меньше радиуса шара.

Слайд 21

Большой круг шара О R α

Слайд 22

2) d = R . Тогда R 2 - d 2 = 0, и уравнению (2) удовлетворяют только числа х = 0, у = 0. Следовательно, только координаты точки О (0; 0; 0) удовлетворяют обоим уравнениям, т. е. О — единственная общая точка сферы и плоскости . Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку .

Слайд 23

О (0; 0; 0 ) С (0; 0; d ) α z y x d=R

Слайд 24

3) d > R . Тогда R 2 - d 2 < 0, и уравнению (2) не удовлетворяют координаты никакой точки. Следовательно, если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек .

Слайд 25

О С (0; 0; d ) α z y x d>R

Слайд 26

Касательная плоскость к сфере Рассмотрим более подробно случай, когда сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфер е, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы .

Слайд 27

Теорема: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Слайд 28

О α А

Слайд 29

Доказательство: Рассмотрим плоскость α , касающуюся сферы с центром О в точке А . Докажем, что радиус OA перпендикулярен к плоскости α . Предположим, что это не так. Тогда радиус OA является наклонной к плоскости α , и, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости α меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности.

Слайд 30

Но это противоречит тому, что плоскость α — касательная, т. е. сфера и плоскость α имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что радиус OA перпендикулярен к плоскости α . Теорема доказана. Докажем обратную теорему.

Слайд 31

Теорема: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Слайд 32

Доказательство : Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это и означает, что данная плоскость является касательной к сфере. Теорема доказана.

Слайд 33

Площадь сферы В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, и, следовательно, для нее непригоден способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развертки. Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника.

Слайд 34

При этом сфера называется вписанной в многогранник. На рисунке изображены описанные около сферы тетраэдр и куб. Рассмотрим последовательность описанных около данной сферы многогранников, в которой число граней многогранника неограниченно возрастает и при этом наибольший размер каждой грани** многогранника стремится к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей этих многогранников.

Слайд 35

Формула для вычисления площади сферы радиуса R : S = 4 π R 2