Индивидуальный проект "Кристаллы блещут симметрией"
методическая разработка по геометрии (10 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №5

Индивидуальный проект

Тема: «Кристаллы блещут симметрией»

      Исполнитель: Лях Анна

Руководитель: Краснова И.В.

2018 год

Оглавление

1. Введение………………………………………………   3
2. Основная  часть……...………………………………… 5

1. Симметрия и её элементы ………………………… 5
2. Кристаллы в природе ………………………………  
3. Симметрия в кристаллах ……………………………

3. Заключение ……………………………………………

4. Список литературы ……………………………………

1. Введение

        Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются совершенные образцы, чей вид неизменно привлекает наше внимание и ласкает наш взгляд. К числу таких образцов относятся некоторые кристаллы и микробы, многие животные и растения. Мы постоянно любуемся прелестью каждого отдельного цветка, мотылька или раковины и всегда пытаемся проникнуть в тайну их красоты. Нас удивляет и архитектура пчелиных сот, и расположение семян на шляпке подсолнечника, и винтообразное расположение листьев на стебле растения. Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды — от простейших до самых сложных. В земле иногда находят камни такой формы, как будто их кто-то тщательно выпиливал, шлифовал, полировал. Это многогранники с плоскими гранями и прямыми ребрами. Правильные и совершенные формы этих камней, безукоризненная гладкость их граней поражают нас. Трудно поверить, что такие идеальные многогранники образовались сами, без помощи человека. Вот эти-то камни с природной симметричной многогранной формой и называются кристаллами. Мы живём среди кристаллов, ходим по ним и широко используем их в нашей повседневной жизни. Земная кора на 95% состоит из кристаллов. Мы добываем кристаллы из земных недр, исследуем в лаборатории, обрабатываем на фабриках, создаём изделия из кристаллических материалов. Лёд и снег, глина и песок, мрамор и гранит, сапфир и бриллиант, соль и сахар, и сотни других веществ – всё это кристаллы. И даже в животном организме они существуют. На их основе образовались молекулы, давшие начало жизни на планете.

     «Кристаллы блещут симметрией», - писал известный русский химик Е. С. Федоров в своём «Курсе кристаллографии».

Что же такое кристаллы? Связаны ли они с геометрическими телами, изучаемыми в школе?

Цели моего проекта:

1.Выяснить, что собой представляют кристаллы, есть ли взаимосвязи

между геометрическими телами и кристаллами.

2.Исследовать формирование кристаллов в природе.

3.Найти в информационных ресурсах материалы для создания работы.

4. Улучшить свои знания по данной теме, привлечь школьников к изучению и показать связь математики с другими науками: химией, физикой, биологией.

Задачи проекта

1. Изучение элементов симметрии; кристаллов;
2. Обобщение полученных данных;
3. Печатная работа о значении симметрии в изучении свойств  кристаллов;
4. Публичное выступление с показом презентации по указанной теме.

Актуальность проекта.

       Кристаллы окружают нас повсюду. Но нам мало что известно о них и их форме. Так, например, мало кто знает, что можно изучать не только химический состав кристаллов или их физические свойства, но и их симметричность. Существуют так называемые «идеальные» кристаллы, а бывают и наоборот очень необычной асимметричной формы. А разобраться в их симметричности нам может помочь математика.

2. Основная часть

1. Симметрия и её элементы

Симметрия в строении животных – почти общее явление, хотя почти всегда встречаются исключения из общего правила, выражающиеся в асимметричном положении той или другой части того или другого органа.

Наиболее резким примером асимметричной конфигурации могут служить камбалы и особенно смещение их глаз.

Среди цветов наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, цветок совместится сам с собой. Такой цветок обладает поворотной осью симметрии. Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с самим собой, называют элементарным углом поворота оси. Этот угол для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120 градусов, для колокольчика – 72, для нарцисса – 60.

Поворотную ось можно характеризовать и с помощью другой величины, называемой порядком оси и показывающей, сколько раз произойдёт совмещение при повороте на 360 градусов. Те же цветы ириса, колокольчика и нарцисса обладают осями третьего, пятого и шестого порядков соответственно. Особенно часто среди цветов встречается симметрия пятого порядка.

В пространстве существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т.е. совмещаются со своим первоначальным положение после поворота на некий угол вокруг оси, дополненного сдвигом вдоль той же оси.

Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений.

Кристаллы одни из самых красивых и загадочных творений природы, нахождение в природе крупных однородных кристаллов - явление нечастое. Однако мелкокристаллические вещества встречаются весьма часто. Так, например, почти все горные породы: гранит, песчаники известняк  кристалличны.  В настоящее время кристаллы имеют большое распространение в науке и технике, так как полупроводники, сверхпроводники, пьезо- и сегнетоэлектрики, квантовая электроника и многие другие требуют глубокого понимания зависимости физических свойств кристаллов от их химического состава и строения.

   Кристаллами обычно называют твердые тела, образующиеся в природных или лабораторных условиях и имеющие вид многогранников, которые напоминают строгие геометрические построения. Поверхность таких фигур ограничена более или менее совершенными плоскостями- гранями, пересекающимися по прямым линиям- ребрам. Точки пересечения ребер образуют вершины. Кристаллы обычно твердые тела.

Кристаллов в природе существует великое множество и так же много существует различных форм кристаллов. Было установлено, что все кристаллы построены из элементарных частиц, расположенных в строгом порядке внутри кристаллического тела. Рассматривая различные кристаллы, мы видим, что все они разные по форме, но любой из них представляет симметричное тело. Симметричность - одно из основных свойств кристаллов.

Многогранники и кристаллы.

Многогранники мы изучаем по геометрии в старших классах. Многогранником называется геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника. По числу граней различают четырехгранники, пятигранники, шестигранники и другие. Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.

Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Существуют 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Иногда в природе можно встретить кристаллы, очень похожие на правильные многогранники. В кристаллическом многограннике можно найти разные сочетания элементов симметрии – у одних мало, у других много. По симметрии кристаллы делятся на три категории. К высшей категории относятся самые симметричные кристаллы. К таким формам относятся:  куб, октаэдр, тетраэдр и др.  К кристаллам высшей категории относятся:  алмаз, квасцы, гранаты, германий, кремний, медь, алюминий, золото, серебро, серое олово вольфрам. Кристаллы средней категории: призмы, пирамиды и другие. К ним относятся  графит, рубин, кварц, цинк, магний, белое олово, турмалин, берилл, поваренная соль.

У кристаллов низшей категории структура самая сложная. Это- гипс, слюда, медный купорос, сегнетовая соль.

Есть  кристаллы снежинки.

В течении долгих лет геометрия кристаллов казалась таинственной неразрешимой загадкой. В 1619 великий немецкий математик и астроном Йоган Кеплер обратил внимание на симметрию снежинок. Он попытался объяснить ее тем, что кристаллы построены из мельчайших одинаковых шариков, теснейшим образом присоединенных друг к другу (вокруг центрального шарика можно в плотную разложить только шесть таких же шариков). По пути намеченному Кеплером пошли в последствии Роберт Гук и М. В. Ломоносов. Они так же считали, что элементарные частицы кристаллов можно уподобить плотно упакованным шарикам. В наше время принцип плотнейших шаровых упаковок лежит в основе структурной кристаллографии.

Через 50 лет после Кеплера датский геолог, кристаллограф и анатом Николас Стенон впервые сформулировал основные понятия о формировании кристаллов: "Рост кристалла происходит не изнутри, как у растений, но путем наложения на внешние плоскости кристалла мельчайших частиц, приносящихся извне некоторой жидкостью". Эта идея о росте кристаллов в результате отложения на гранях все новых и новых слоев вещества сохранила свое значение.

Фотографии и рисунки снежинок можно найти во многих учебниках физики в главах, в которых рассказывают о симметрии.

Большая часть дождевых капель начинает свою жизнь как снежные кристаллы, тающие, прежде чем они упадут на землю. Однако только холодные, находящиеся на большой высоте перистые облака состоят из кристалликов льда. В основном же облака представляют собой скопление маленьких водяных капелек, удерживающихся в воздухе так же, как частички дыма.

Сейчас мы знаем, что переохлажденное облако остается стабильным до тех пор, пока в нем не появиться хотя бы небольшое количество маленьких кристалликов льда, зарождающихся на частичках земной пыли. Молекулы воды, попавшие на кристаллик льда, образуют с ним прочную связь, разорвать которую довольно трудно. Молекулы же воды, которые конденсируются на капле, оторвать сравнительно легко - теплота испарения меньше энергии, необходимой для отрыва молекулы воды от кристаллика льда. Поэтому если облако состоит из капелек воды и кристалликов льда, то кристаллы льда растут гораздо быстрее, чем капли. Более того, благодаря росту кристалликов льда уменьшается влажность окружающего воздуха. Это приводит к тому, что водяные капли постепенно испаряются и исчезают. В то же время кристаллики льда вырастают до размеров, достаточных для их падения на землю. Падая, несколько кристалликов могут объединяться, образуя снежинку.

Хотя снежные кристаллы многообразны, их можно классифицировать по трем основным формам; шестиугольные призматические столбики, тонкие шестиугольные пластины и разветвлённые звёзд. . Изучение кристаллов льда с помощью рентгеновских лучей показало, что молекулы воды в кристалле льда расположены так, что каждая из молекул окружена шестью соседями. Центры этих молекул образуют правильный шестиугольник. Что же касается причин различия форм кристаллов, то до недавнего времени ученые не могли прийти к единому мнению. По некоторым гипотезам форма кристалликов должна в основном определяться степенью пересыщения окружающего воздуха парами воды, а не температурой облака. Но исследования показали, что кристаллы различной формы вырастают при различных температурах.

Всё это говорит о том, что форма кристаллов определяется в основном температурой, при которой они вырастают. Это подтвердили и эксперименты по выращиванию кристаллов льда в лаборатории. Кристаллы льда выращивались в специальной камере, в которой строго контролировалась температура и количество водяных паров. В качестве затравки использовалась тонкая нить. Температура в камере в различных участках вдоль нити была разной.

Опыты показали, что именно температура определяет форму кристалла. Количество же водяных паров влияет на скорость роста. Однако до сих пор остается невыясненной точная природа роста снежных кристаллов.

Особенно интересны узоры, которыми покрываются зимой окна квартир, автобусов и трамваев. При резком похолодании температура окон становится ниже температуры воздуха в помещении. На них и оседают молекулы пара, находящиеся во влажном воздухе в комнате, образуя красивые узоры. При этом тоже очень важно, чтобы воздух в комнате был не очень влажным. В противном случае пар сначала сконденсируется на стекле и затем замерзает, образуя слой льда. Узоры не появляются на окне, если открыта форточка. В этом случае температура воздуха в комнате у стекла понижается став такой же, как и температура самого стекла. В ледяных узорах, можно увидеть большинство форм, которые могут принимать снежные кристаллы.

     Многогранники – самые выгодные фигуры. Поэтому природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит формы некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Драгоценные камни- украшения есть самые настоящие многогранники. Благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии. В облаках, в глубинах Земли, на вершинах гор, в морях и океанах, в научных лабораториях - везде можно встретить кристаллы.

Люди привыкли использовать кристаллы, делать из них украшения, любоваться ими.

Занятые поисками моделей математики начали исследовать новую территорию еще до того, как можно было определенно утверждать ее существование. За Кеплером последовал английский ученый Роберт Гук, чья опубликованная в 1665 году «Микрография» включала рисунки, изображавшие, каким образом наборы плотно уложенных кругов и сфер как бы повторяли кристаллические формы. Примерно столетие спустя минеролог-любитель монах Рене Жюст Гаюи заметил, что когда разрушается кристалл известкового шпата, он всегда распадается на части, напоминающие перекошенные ящики, и предложил заменить шары Кеплера и Гука на предметы, имеющие в общем такие очертания. Кристаллографы прилагали огромные усилия, дабы раскрыть природу основных блоков, из которых строятся кристаллы, но встретились с трудностями, так как эти казавшиеся блоками части на деле оказались исчезающими и малыми.

     Выход из тупика нашли математики, решившие не утруждать себя догадками касательно строительных блоков, а вместо этого обратить внимание на их расположение. Оказалось, что они расположены правильными решетками – пространственными моделями, в которых основная единица повторяется в трех основных направлениях… Такой подход позволил классифицировать возможные симметрии кристаллов, что значительно позднее привело к решению проблемы, все время волновавшей кристаллографов: какова природа блоков, из которых строятся кристаллы? Оказалось, что это атомы, частицы материи настолько малые, что до совсем недавнего времени они были невидимы даже в самые мощные микроскопы. Таков один из достойных восхищения пример того, как представители чистой математики способствовали серьезному прорыву в области физики.

Заключение.

        Слово «кристаллос» у древних греков означало «лёд». Гомер, описывая осаду Трои греками, говорил, что в первую морозную ночь щиты героев покрылись «кристаллос» - льдом. Позже, когда в горах нашли минерал, напоминавший лед, его назвали горный хрусталь – горный лёд.

      С 18в. кристаллами стали именовать тела, имеющие многогранную форму. Они встречаются в природе или их искусственным путем получают в лаборатории.

       Многие и в наши дни считают, что кристаллы в природе встречаются редко. Однако это не так: кристаллы буквально окружают нас. Если взять любой бесформенный булыжник и рассмотреть его через увеличительное стекло, то можно заметить, что он состоит из отдельных очень маленьких, сросшихся между собой кристалликов.

Впервые люди увидели кристаллы в минералах и возможно первым, поразившим их – был кристалл льда, родившейся из воды.

     Представление о кристаллах, их строении и свойствах развивалось на протяжении нескольких веков. Точкой отсчета истории кристаллов может быть известие о существовании изумрудов в Индии за 2 тыс. лет до н. э., алмазов за 1000-500 лет до н. э., рубинов Цейлона за 600 лет до н. э.. Человек пытается разгадать природу кристалла с XIII-XIV веков н. э., а в середине XX века весь мир удивили жидкие кристаллы, а в конце XX века сенсацией стало известие об открытии фотонных кристаллов. Чем более совершенными знаниями и инструментами исследования владеет человечество, тем боле новые горизонты в познании природы и кристаллов, в частности, нам раскрываются. Таким образом, все свойства, благодаря которым кристаллы так широко применяются, зависят от их строения – их пространственной кристаллической решетки. И еще много неизведанного в природе кристаллов.

    Открытие  в  природе  структур  с  не кристаллографическим   дальним  порядком  сообщило  мощный  импульс  новому  научному  направлению - квазикристаллографии.  Но это уже тема нового проекта.

Список литературы

1. Венниджер, М. Модели многогранников.[Изображение] – М.: Мир, 1974.
2. Гамаюков, В.Модели многогранников.[Текст]//Квант, 1981 – №2.
3. Клюева, Т.И., Зимин Р.Н. Интернет пособие для учащихся «Модели многогранников».[Картинка] http//poligran/da.ru
4. Корнилов, Н.И., Солодова, Ю.П. Ювелирные камни.[Текст] – М.: Недра, 1983.
5. Шафрановский, И.И. Симметрия в природе.[Текст] – Ленинград: Недра,1985.
6. Шаскольская, М.П. Кристаллы.[Текст] – М.: Наука, 1985.
7. Энциклопедия для детей. Т 11. матем.[Текст]/Глав. Ред. М.Д.Аксенова - М.: Аванта+, 1999, с.641-648.
8. Эстетика урока математики.