Равносоставленные фигуры
творческая работа учащихся по геометрии (8 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

гимназия №19 имени Н.З. Поповичевой г. Липецка

Исследовательский проект

«Равносоставленные фигуры и их свойства»

Автор:

 Тарасов Дмитрий Владимирович

МБОУ гимназия № 19

имени Н. З. Поповичевой,

8 б класс.

Научный руководитель:

Васильева Марина Анатольевна,

учитель математики

МБОУ гимназии № 19

имени Н. З. Поповичевой.

г. Липецк

2018-2019 учебный год

Оглавление

Введение

Проблема:

равносоставленность фигур очень мало обозначена в  курсе геометрии.

Гипотеза:

равносоставленность фигур удобно применять при доказательстве и решении геометрических задач, теорем.

Цель работы:

показать, что равносоставленность фигур крайне востребована при решении геометрических задач на ОГЭ и ЕГЭ.

Задачи работы:

• разобрать понятие равносоставленныхных фигур и их свойства;
• доказать теоремы, не изучаемые в школьном курсе геометрии;
• создать подборку задач по данной теме, которые можно использовать при подготовке к ОГЭ по математике.

Аннотация

В начале изучения темы “Площади фигур” в 8 классе дано свойство площадей: « Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников». На это свойство в учебнике приведено всего 2-3 задачи. Однако эта тема имеет огромное практическое применение. Например: при покрытии пола паркетом в комнате каждая паркетина имеет форму прямоугольника и ими надо уложить весь пол в комнате. Еще! При укладке кафеля на стены ванной комнаты, мы не задумываясь, используем свойство равносоставленности фигур. Именно, поэтому я решил рассмотреть эту тему.

1. Равносоставленность

Две фигуры называются равносоставленными, если они могут быть разрезаны на одинаковое число попарно равных фигур.

Из свойств  площади следует, что равносоставленные фигуры равновелики (то есть имеют одинаковую пдощадь).

1.1. Теорема о фигуре, равносоставленной с одной и той же фигурой

Две фигуры, равносоставленные с одной и той же фигурой, равносоставлены.

Доказательство. Действительно, пусть фигуры Ф' и Ф'' равносоставлены с фигурой Ф. Рассмотрим линии, разбивающие фигуру Ф на части, из которых можно составить фигуру Ф' и, кроме того, линии, разбивающие фигуру Ф на части, из которых можно составить фигуру Ф''. Те и другие линии разбивают фигуру Ф на более мелкие части, из которых можно составить как фигуру Ф', так и Ф''. Таким образом, фигуры Ф' и Ф'' равносоставлены.

Ч.Т.Д.

1.2. Основная теорема о равносоставленности

Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены

Доказательство.

Пусть М' и М'' - равновеликие многоугольники. Рассмотрим равносоставленные с ними треугольники Т' и Т'', соответственно. Эти треугольники равновелики, а следовательно, равносоставлены. Значит, равносоставлены и исходные многоугольники М' и М''.

Ч.Т.Д.

2. Применение равносоставленности в геометрии

2.1. Теорема о средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.

Так как =  =  и угол В общий, то треугольники ABC и MBN подобны по второму признаку подобия треугольников. Значит =

Также, отсюда следует, что угол A равен углу BMN( как соответственные элементы подобных треугольников), значит MN|| AC

2.2. Теорема Пифагора

На языке площадей теорему Пифагора можно переформулировать в следующем виде:

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Доказательство.        

        Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.                                                Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту S=1|2(a+b)h, где h=а+в, так как трапеция прямоугольная.                                                                                        C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников: S=S1+S2+S3   или S=2∙1/2ав+1/2с2.                                        Треугольник с катетами с прямоугольный, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°., а угол с вершиной на высоте трапеции равен 180°-90°=90°.                                                                        Приравнивая данные выражения, получаем:  с2 = a2 + b2.

Ч.Т.Д.

 2.3. Теорема о площади трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Доказательство.

1. Через середину стороны CD  (точка К)  провели прямую, пересекающую сторону AD  в точке L.
2. Рассмотрим треугольники BCK  и  LDК:  CK = DK (по построению), ∟ВCК = ∟LDK  (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и LD и секущей CD ), ∟CKB = ∟DKL  (как вертикальные), Δ BCK = ΔLDК (по стороне и двум прилежащим к ней углам), следовательно, BC = LD  и  SBCK = SLDК.
3. SABCD = SABL =

3. Примеры  применения равносоставленности фигур при решении задач

Задача 1.                                                                                                 Найдите площадь фигуры.

1 способ 2 способ

Ответ: 13см2

Задача 2. 

В детском саду дети сделали родителям аппликации в подарок. Найдите площадь аппликации, если  размер клетки 1см на 1см. 

Задача 3. 

Один гектар еловых насаждений может задерживать в год до 32 т пыли, сосновых – до 35 т., вяза – 43 т., дуба – до 50 т., бука – до 68 т. Посчитайте, сколько тонн пыли задержит ельник за 5 лет. План ельника изображен на рисунке (масштаб 1 см. – 200 м.)

Задача 4. 

В орнаментах хантов и манси, преобладают геометрические мотивы. Часто встречаются стилизованные изображения животных. На рисунке изображен фрагмент мансийского орнамента «Заячьи ушки». Вычислите площадь закрашенной части орнамента.

Задача 5.

Требуется покрасить стену заводского здания. Рассчитайте требуемое количество водоэмульсионной краски (в литрах). Расход краски: 1 литр на 7 кв. метров. Масштаб 1 см – 5 м.

Заключение

В своей работе я доказал две теоремы о равносоставленности, которые не изучаются в школе, показал применение  теорем о равносоставленности в школьном курсе математики. Доказал теорему Пифагора способом, не изучаемым в школьном курсе геометрии.

Считаю, что моя гипотеза о том, что равносоставленность фигур удобно применять при доказательстве и решении геометрических задач, теорем подтверждена полностью. Равносоставленность фигур крайне востребована на ОГЭ и ЕГЭ, поэтому мною собран банк задач на равносоставленность, который можно использовать при подготовке к ОГЭ.

Библиографический список

1. Атанасян Л.С, 8 класс. Геометрия. // Москва. Просвещение - 2013.

2. Болтянский В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. ГИТТЛ –Москва – 1956.

3. Савин А.П. Задачи на разрезание // Квант. – 1987. - № 7. 

Ресурсы сети интернет.

1. http://www.vasmirnov.ru/Lecture/Razrez/Razrez.htm
2. http://www.mathedu.ru/lib/books/boltyanskiy_ravnovelikie_i_ravnosostavlennye_figury_1956/
3. https://wiki.eduvdom.com/subjects/geometry/площадь_трапеции 
4. https://blog.tutoronline.ru/teorema-pifagora 
5. https://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/125573/Равновеликие 
6. http://www.fipi.ru/
7. http://yun.moluch.ru/archive/6/347/