ДЗ Геометрия 10сБ на 07.10.20
консультация по геометрии (10 класс)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
СОДЕРЖАНИЕ Ортоцентр Точка пересечения медиан Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон треугольника Окружность Эйлера Прямая Эйлера Точка пересечения серединных перпендикуляров Точка пересечения биссектрис
Ортоцентр треугольника A1, B1, C1 – основания высот ∆ABC; H – ортоцентр ∆ABC A C B B1 H A1 C1 A C B H A1 B1 C1
Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника A B C О С1 В1 А1 A1, B1, C1 – основания серединных перпендикуляров к сторонам ∆ABC; О – центр окружности, описанной около ∆ABC A C B A1 B1 C1 О
Точка пересечения биссектрис треугольника A C B V M N P M, N, P – основания биссектрис ∆ABC; V – центр окружности, вписанной в ∆ABC
Точка пересечения медиан треугольника A B т.G – точка пересечения медиан треугольника ∆ABC. G С1 В1 А1 AG : GA1 = 2 : 1 BG : GB1 = 2 : 1 CG : GC1 = 2 : 1 C A1, B1, C1 – основания медиан ∆ABC;
Узнаем теорему о Точках, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника
A C B B1 H A1 C1 А2 A1, B1, C1 – основания высот; H – ортоцентр ∆ABC C2 B2 A2, B2, C2– точки, симметричные т.Н относительно сторон ∆ABC Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон остроугольного треугольника Лежат ли точки А, А2, В, В2, С, С2 на одной окружности? ПРОВЕРКА Доказательство
Докажем, что т. А2 лежит на окружности, описанной около остроугольного ∆ABC A C B H А2 H – ортоцентр ∆ABC A2 – точка, симметричная т.Н относительно стороны BC B1 Доказательство: Проведем отрезок ВА2. 2. ∆A1HB = ∆A1A2В; 3. ∆A1HB ~ ∆B1СВ; 4. Из 2. и 3.: ∆A1A2В ~∆B1СВ; 5. Из 4. : L A1A2В = L B1СВ; 6. Эти углы равны и опираются на отрезок АВ; 7. Сл-но, L A1A2В и L B1СВ вписаны в одну окружность с хордой АВ, а значит т.А2 принадлежит окружности, описанной около ∆ABC. Ч.Т.Д. A1 Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон остроугольного треугольника
A C B H A1 В2 B1 А2 НА1 = А1А2 C1 C2 НB1 = B1B2 НC1 = C1C2 ПРОВЕРКА Лежат ли точки А, А2, В, В2, С, С2 на одной окружности? Доказательство Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон тупоугольного треугольника
A C B H A1 В2 B1 А2 НА1 = А1А2 C1 C2 НB1 = B1B2 НC1 = C1C2 Докажем, что т. В2 лежит на окружности, описанной около тупоугольного ∆ABC. 1. Проведем отрезок АВ2. H – ортоцентр ∆ABC Доказательство: Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон тупоугольного треугольника 2. ∆AHB! = ∆AВ2В1; 3. ∆AHB1 ~ ∆ВСВ1 (т.к. ∆ВНА1 ~ ∆BСВ1, а следовательно, L A1НВ = LВ СВ1); 4. Из 2. и 3. следует: ∆AВ2В1~∆BСВ1; 5. Из 4. следует: L AВ2В = L АСВ; 6. Эти углы равны и опираются на АВ; 7. Сл-но, L AВ2В и L АСВ вписаны в одну окружность с хордой АВ, а значит, т.В2 принадлежит окружности, описанной около ∆АBС. Ч.Т.Д.
Справедлива ли эта теорема для прямоугольного треугольника???
Познакомимся с окружностью Эйлера
A C B E D F B1 A1 C1 X Y Z Верите ли вы, что ПРОВЕРКА Доказательство В произвольном ∆АВС: Окружность Эйлера - середины его сторон А1 , В1 , С1 ; - основания его высот D , E , F ; - середины отрезков AH,BH,CH – точки X,Y,Z лежат на одной окружности? H
A C B B1 A1 C1 X Y Z E D F H Доказательство: 1. Т.к. АС1=С1В и АХ=ХН, то С1Х II BF. 2. Т.к. ВА1=А1С и А1С=С1В, то А1С1IIAC. 3. Т.к. BF ┴ AC, то С1Х ┴ А1С1. 4. Аналогично, В1Х ┴ А1В1. 5. Следовательно точки С1, А1, В1, Х – лежат на одной окружности. 6. Т.К. XD ┴ DA1, то X, D, A1, B1 лежат на одной окружности. 7. Следовательно, точки X и D лежат на одной окружности, описанной около ∆А1В1С1. 8. Аналогично доказывается, что точки Y, E и Z, F лежат на этой окружности. Окружность Эйлера ? ? Ч.Т.Д.
A C B B1 A1 C1 X Y Z E D F H 1. Т.к. АС1=С1В и АХ=ХН, то С1Х II BF Окружность Эйлера ? В ∆АВН ХС1.- средняя линия. Следовательно, С1Х II BF .
A C B B1 A1 C1 X E D F H Точки С1, А1, В1, Х – лежат на одной окружности. Окружность Эйлера ? Доказано, что С1Х ┴ А1С1 и В1Х ┴ А1В1 Следовательно, в четырехугольнике А1В1ХС1 .сумма противоположных углов равна 180º Т.е. LА1С1Х + LА1В1Х = 180º Следовательно, вокруг четырехугольника А1В1ХС1 .можно описать окружность. Следовательно точки С1, А1, В1, Х – лежат на этой окружности.
Познакомимся с прямой Эйлера
A C B E D F B1 A1 C1 X Y Z Верите ли вы, что Доказательство G O ПРОВЕРКА N H лежат на одной прямой? - ортоцентр H , - центр тяжести G , - центр описанной около ∆АВС окружности т. O В произвольном ∆АВС: A1, B1, C1 – середины сторон ∆АВС Прямая Эйлера
A C B D F B1 C1 G О N H Дано: Пусть в ∆ АВС т. O -центр описанной окр-ти G – т. пересечения медиан В1, С1 – середины АС и АВ B F – высота Пусть т. Н - т.пресечения прямой OG с высотой BF. Докажем, что Н – точка пересечения высот. 1.Т.к. BF II OB1, то ∆BGH ~ ∆B1GO. 2. Сл-но HG:GO=BG:GB1=2:1, 3. CG:GC1= 2:1. Значит, CG:GC1=HG:GO. Сл-но, ∆СGH ~ ∆С1GO. Доказательство: 4. Поэтому L GHС = L GOС1, а значит СН II OC1, а ОС1 ┴ АВ. 5. Cл-но СН ┴ АВ, т.е. CD – высота ∆АBС. 6. Значит т.Н – точка пересечения высот. Прямая Эйлера ? ? Ч.Т.Д.
A C B D F B1 C1 G О N H Дано: Пусть в ∆ АВС т. O -центр описанной окр-ти G – т. пересечения медиан В1 – середина АС B F – высота Пусть т. Н - т.пресечения прямой OG с высотой BF. 1.Т.к. BF II OB1, то ∆BGH ~ ∆B1GO. Доказательство: Прямая Эйлера ? О –центр описанной окружности, В1 – середина АС. Сл-но, ОВ1 ┴ АС. 2. ОВ1 ┴ АС, BF ┴ АС. Сл-но, BF II OB1 3. Т.к. BF II OB1, а L BGH и L B1GO – вертикальные, то соответственные углы ∆BGH и ∆ B1GO равны. Сл-но треугольники ∆BGH ~ ∆B1GO.
A C B D F B1 C1 G О N H Дано: Пусть в ∆ АВС т. O -центр описанной окр-ти G – т. пересечения медиан В1, С1 – середины АС и АВ B F – высота Пусть т. Н - т.пресечения прямой OG с высотой BF. 2. HG:GO=BG:GB1=2:1, CG:GC1=HG:GO. Прямая Эйлера ? BG:GB1=1:2, т.к. т. G – точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 ∆АBС , а значит делит медианы треугольника в отношении 2:1, считая от вершины.
A C B D F B1 C1 O N H Окружность Эйлера! Интересный факт! E A1 OB = 2 . NA1 или Rописанной окр. = 2Rокр.Эйлера
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
ДЗ Геометрия 10сБ на 16.09.20
Первое дз обговорили на уроке (зачет по 816-820, групповая задача)Отсюда еще две задачи!!!...