Презентация "Задачи на построение"
презентация к уроку по геометрии (7 класс)

Слайд 1

Выполнила : Афанасьева Дарья Сергеевна Решение задачи на построение

Слайд 2

Задача. Даны отрезок m и угол α . Постройте треугольник АВС так, чтобы АВ = m , ∠АВС = α , ∠ВАС =

Слайд 3

Этапы решения задач на построение Исследование 4 Анализ 1 Построение 2 Доказательство 3

Слайд 4

Анализ Это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он дает ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построения чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. Иногда построение вспомогательного чертежа сопровождают словами: «предположим, что задача уже решена».

Слайд 5

Построение Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений ( или ранее решённых задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена. Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

Слайд 6

Доказательство Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям. Доказательство обычно проводится в предположении, что каждый шаг построения действительно может быть выполнен.

Слайд 7

Исследование При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причём предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещё выяснить, не могут ли возникнуть такие случаи, когда приведённое построение не выполнимо, имеет ли задача решение в этих случаях, и если имеет, то как их найти . Для каждого случая надо установить, сколько решений имеет задача . Следует выяснить , не появятся ли новые решения при каких-либо иных способах построения. Исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.

Слайд 8

К основным построениям в 7 классе относят: построить отрезок, равный данному отрезку; построить середину отрезка; построить перпендикуляр к прямой, построить серединный перпендикуляр; построить угол, равный данному углу ; построить биссектрису угла; построить треугольник (по трём элементам).

Слайд 9

Инструменты для построения Линейка Циркуль

Слайд 10

Задача 288. б) Даны отрезок m и угол α . Постройте треугольник АВС так, чтобы АВ = m , ∠АВС = α , ∠ВАС = Класс: 7 Учебник: Геометрия 7-9 Атанасян Л.С. Глава IV «Соотношение между сторонами и углами треугольника» § 4. Построение треугольника по трём элементам. На данный параграф отводится 4 часа. В 7 классе, как правило, следует ограничиться только выполнением и описанием построения. В отдельных случаях можно провести устно анализ и доказательство, а элементы исследования должны присутствовать лишь тогда, когда это оговорено условием задачи.

Слайд 11

Задача 1. На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. Для того, чтобы решить нашу задачу, нам необходимо вспомнить некоторые элементарные задачи на построение. Дано: отрезок АВ, луч ОС (рис. 83, а) Построить: отрезок OD = АВ Построение: 1) Циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О (рис. 83, б). 2) Окружность пересечёт луч ОС в точке D . 3) О D – искомый отрезок.

Слайд 12

Задача 2. Отложить от данного луча угол, равный данному. Дано: ∠А , луч ОМ (рис. 84) Построить: угол, равный ∠ А так, чтобы одна из его сторон совпадала с лучом ОМ Построение: Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Она пересекает стороны угла в точках В и С (рис.85,а). Проведём окружность того же радиуса с центром в начале данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D (рис.85,б) . Построим окружность с центром D , радиус которой равен BC . Окружности с центрами О и D пересекаются в 2 точках. Одну из них обозначим буквой E. ∠МОЕ – искомый.

Слайд 13

Задача 3. Построить биссектрису данного угла. Дано: ∠ВАС Построить: Биссектрису ∠ВАС Построение: Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Она пересекает стороны угла в точках В и С. Проведём две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С (на рис. 86 изображены части этих окружностей). Они пересекутся в двух точках, их которых хотя бы одна лежит внутри угла . Обозначим её буквой Е. АЕ – искомая биссектриса. Мы можем данный угол разделить на 2 равных угла. Для этого нужно провести биссектрису этого угла. Данный угол также можно разделить на 4 равных угла. Для этого нужно разделить его пополам, а затем каждую половину разделить ещё раз пополам.

Слайд 14

Задача. Даны отрезок m и угол α . Постройте треугольник АВС так, чтобы АВ = m , ∠АВС = α , ∠ВАС = Дано: m, α Построить: ∆АВС: АВ = m , ∠АВС = α , ∠ВАС =

Слайд 15

Анализ Предположим, что ∆АВС построен. ∠ВАС в 4 раза меньше α . Как мы можем его построить? Сначала построим угол , в 2 раза меньший α , т.е. проведём биссектрису угла α . Затем построим биссектрису угла, который в 2 раза меньше α . Итак, мы получили угол, равный . Сторона АВ является общей для ∠АВС и ∠ ВАС и АВ = m . Чтобы найти точку пересечения вторых сторон ∠АВС и ∠ ВАС, продлим эти стороны до пересечения в точке С. ∆ АВС – искомый. α m

Слайд 16

Построение С помощью циркуля и линейки отложим отрезок АВ = m . С помощью циркуля откладываем из вершины В угол, равный α ∠ АВС = α . С помощью циркуля и линейки построим биссектрису угла α . С помощью циркуля и линейки построим биссектрису угла, равного α . С помощью циркуля и линейки из вершины А отложим угол, равный α . Стороны ∠ А и ∠В пересекаются в точке С. ∆ АВС – искомый.

Слайд 17

Доказательство По построению отрезок АВ равен данному отрезку m . По построению ∠ АВС равен данному углу α . По построению ∠ВАС равен части угла α . Таким образом, построенный треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи.

Слайд 18

Исследование Построение возможно не всегда: если сумма углов А и В не меньше 180˚, то треугольник построить нельзя, т.к. сумма углов треугольника равна 180˚. В противном случае решение имеется и оно единственно, т.к. Мы всегда можем построить отрезок, равный данному. Мы можем от данного луча отложить угол, равный данному. Каким бы не был угол, мы всегда можем поделить его на 4 равных угла. Любые две непараллельные прямые в плоскости имеют 1 общую точку (пересекаются). Если угол α = 90˚, т.е. прямой, то с помощью тех же построений мы получим прямоугольный треугольник АВС.

Слайд 19

Спасибо за внимание!