Открытый урок на тему:"Решение задач по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

Есаян Астгик Аршалуйсовна

Решение задач по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

Скачать:


Предварительный просмотр:

10.12.2020г.

Есаян А.А.

 Открытый урок по геометрии  10 А класс

Тема урока: Решение задач по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

Цели:

  1. закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;
  2. вырабатывать навыки применения теоретических знаний к решению типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Тип урока: комбинированный

Ход урока

I.Организационный момент.

II. Сообщение темы и целей урока.

III. Актуализация опорных знаний и умений.

Теоретический опрос 

1. Закончить предложение:

а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если… (угол между ними равен 90°)
б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… 
(она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости)
в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они… 
(параллельны)
г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она… 
(перпендикулярна и к другой прямой)
д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… 
(параллельны)

2. Дан параллелепипед

http://festival.1september.ru/articles/524196/img1.gif

а) Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (
DCC1(ответ: AD; A1D1; B1C1; BC) 
2) плоскости, перпендикулярные ребру 
BB1 (ответ: (АВС); (A1B1C1))

б) Определите взаимное расположение:
1) прямой 
CC1 и плоскости (DСВ(ответ: они перпендикулярны)
2) прямой 
D1C1 и плоскости (DCB(ответ: они параллельны)

VI. Решение задач.

1. Решение задач по готовым чертежам (Устно)

№1

http://festival.1september.ru/articles/524196/img2.gif

Дано: ∆ ABC - прямоугольный; AM  AC; M  (ABC)
Доказать: AC  (AMB)
Доказательство: Т.к. AC  AB и AC  AM, а AM  AB, т.е. АМ и АВ лежат в плоскости (АМВ), то AC  (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.     Ч.т.д.

№2

http://festival.1september.ru/articles/524196/img3.gif

Дано: ВМDC - прямоугольник, M  (ABC), MB  AB
доказать: CD  (ABC)
Доказательство: MB  BC, т.к. ВМDC – прямоугольник, MB  AB по условию, BC  AB, т.е. ВС и АВлежат в плоскости (АВС)  MB  (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. СD  МВпо свойству сторон прямоугольника  CD  (ABC) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
Ч.т.д.

№3

http://festival.1september.ru/articles/524196/img4.gif

Дано: АВСD – прямоугольник, M  (ABC), MB  BC
Доказать: AD  AM
Доказательство:
1) ABC = 90°, т.к. АВСD – прямоугольник  BC  ABBS  MB по условию, MB  AB = B, т.е. МВ иАВ лежат в плоскости (АМВ)  BC  (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2) 
BC  AD (по свойству сторон прямоугольника)  AD  (AMB) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
3) Т.к. 
AD  (AMB)  AD  AM по определению прямой, перпендикулярной плоскости.
Ч.т.д.

№4

http://festival.1september.ru/articles/524196/img6.gif

Дано: АВСD – параллелограмм, M  (ABC), МВ = МD, МА = МС
Доказать: MO  (ABC)
Доказательство:
1) Т.к. 
О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то АО = СО и ВО = DO. ∆ BMD - равнобедренный, т. к. ВМ = МD по условию, значит МО - медиана и высота, т.е. MO  BD.
2) Аналогично доказывается в ∆ 
AMCMO  AC.
3) Итак, 
MO  BD и MO  AC. а ВD и АС – пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости (АВС)  MO (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Ч.т.д.

(Устные ответы к каждой задаче требуется обосновывать, проговаривая всякий раз формулировки применяемых теорем)

2. Решение письменных задач        №1.2 

http://festival.1september.ru/articles/524196/img7.gif

Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках P1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ = 15 cм; PP1 = 21,5 cм; QQ1 = 33,5 cм.
Решение:

1) PP1  α и QQ1  α по условию  PP1  QQ1 (обосновать);
2) PP1 и QQ1 определяют некоторую плоскость β, α  β = P1Q1;
3) PP1Q1Q - трапеция с основаниями PP1 и QQ1, проведём PK  P1Q1;
4) QK = 33,5 - 21,5 = 12 (см)

P1Q1 = PK =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img12.gif

= 9 см.

Ответ: P1Q1 = 9 см.

№2.2

http://festival.1september.ru/articles/524196/img5.gif

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 9 см; ВС = 8 см; ВD = 17 см. Найдите площадь BDD1B1.
Решение:

1) ∆ ABD: BAD = 90°; АD = BC = 8 см;

ВD =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img13.gif

см;

2) ∆ DD1B: D1DB = 90°;

DD1 =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img14.gif

= 12 см;

3) SBB1D1D = BD ∙ DD1 =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img15.gif

см2.

Ответ:

http://festival.1september.ru/articles/524196/img15.gif

см2.

№3.2

http://festival.1september.ru/articles/524196/img8.gif

Отрезок МН пересекает плоскость α в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР, перпендикулярные к плоскости α. НР = 4 см; МЕ = 12 см; НК = 5 см. Найдите отрезок РЕ.
Решение:

1) Т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости α, то МЕ  НР (обосновать) и через них проходит некоторая плоскость β. α  β = EP;
2)МЕ  EP; НР  EP(обосновать), т.е. MEK = HPK = 90°;

3) ∆ HPKKP =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img16.gif

= 3 см;

4) EMK = PHK (накрест лежащие для параллельных прямых МЕ и НР и секущей МН),

тогда ∆ MEK ∆ HPK по двум углам и

http://festival.1september.ru/articles/524196/img17.gif

; т.е.

http://festival.1september.ru/articles/524196/img18.gif

 EK =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img19.gif

= 9 см,

РЕ = РК + КЕРЕ = 3 + 9 = 12 см.

Ответ: РЕ = 12 см.

3. Самостоятельная работа (направлена на проверку усвоения материала по данной теме)

Вариант I

Вариант II

Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые AA1 и BB1, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что AA1  ABAA1  AD. Найдите B1B, если B1D = 25 см, AB = 12 см, AD = 16 см.

Через вершины А и В ромба АВСD проведены параллельные прямые AA1 и BB1, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что BB1  BC,BB1  AB. Найдите A1A, если A1C = 13 см, BD = 16 см, AB = 10 см.

Решение:

http://festival.1september.ru/articles/524196/img9.gif

1) AA1  ABAA1  AD, а AB  AD = A  AA1  (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. AA1  BB1, то BB1  (ABC)  BB1 BD;
2) ∆ 
ABD: BAD = 90°. По теореме Пифагора:

BD =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img20.gif

= 20 см;

3) ∆ B1BD – прямоугольный. По теореме Пифагора:

B1B =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img21.gif

= 15 см.

Ответ: 15 см.

Решение:

http://festival.1september.ru/articles/524196/img10.gif

1) BB1  ABBB1  BC, а AB  BC = B  BB1  (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. BB1  AA1, то AA1  (ABC) AA1  AC;
2) Используя свойство диагоналей ромба, имеем в ∆ 
AOB: AOB = 90°, BO = ½ BD = 8 см. По теореме Пифагора:

AO =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img22.gif

= 6 см,

AO = ½ AC  AC = 12 см;
3) ∆ 
A1AC – прямоугольный. По теореме Пифагора:

AA1 =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img23.gif

= 5 см.

Ответ: 5 см.

V. Подводятся итоги урока.                                                                                                                                         Задание на дом: повторить теоретический материал по изученной теме, глава II, № 216 (подг.к к.р.)

Индивидуальное задание для более сильных учеников. (Вариант III)

http://festival.1september.ru/articles/524196/img11.gif

Дано: ∆ ABCAB = AC = BCCD  (ABC); AM = MBDM = 15 дм; CD = 12 дм.
Найти: 
S∆ ADB
Решение:

1) Т.к. CD  (FDC)  CD  AC и CD  BC, т.е. ∆ ADC, ∆ BDC – прямоугольные;
2) ∆ ADC = ∆ BDC (по двум катетам)  AD = BD, т.е. ∆ ADB – равнобедренный и DM – медиана, а значит и высота; 3) DC  MC  MCD – прямоугольный,

тогда MC =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img24.gif

= 9;

4) ∆ ABC – равносторонний, поэтому СМ – медиана и высота, т.е. ∆ MCB – прямоугольный, B = 60°,

sin B =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img25.gif

, тогда

http://festival.1september.ru/articles/524196/img26.gif

,

а АВ = ВС (по условию).
5) S∆ ADB = ½ DM ∙ AB;

S∆ ADB = ½ ∙ 15 ∙

http://festival.1september.ru/articles/524196/img27.gif

.

Ответ:

http://festival.1september.ru/articles/524196/img28.gif


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

7класс Геометрия Решение задач по теме «Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые».

7класс Геометрия Решение задач по теме «Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые»....

Открытый урок по математике в 6 классе. Тема "Решение задач на нахождение дроби и процента от числа"

Урок и презентация по теме "Нахождение дроби  и процента от  числа" по математике в 6 классе. Урок-закрепления темы. Ход урока построен на решении проблемы: как сохранить здоровье человека, ...

Доклад на тему: Базовые задачи по теме «Решение задач в целых числах».

Докладна тему: Базовые задачи по теме «Решение задач в целых числах»....

Презентация на тему: Базовые задачи по теме «Решение задач в целых числах»

Базовые задачи по теме «Решение задач в целых числах»...

Конспект открытого урока математики в 6 классе на тему: "РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ".

ЦельЗнакомство с алгоритмом решения задач с помощью уравнений...

Открытый урок математики в 7 классе по теме " Решение задач на движение"

Открытый урок математики в 7 классе по теме " Решение задач на движение"...

Решение задач по теме "Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью"

В презентации представлены задачи на готовых чертежах. Урок построен по учебнику Л.С. Атанасяна Геометрия 10-11 классы  для обучающихся 10 класса....