Программа к зачету по теме "Параллелограмм" (8 класс)
методическая разработка по геометрии (8 класс)

Программа к зачёту по теме «Параллелограмм» (8 класс)

Разработала учитель математики МБОУ Поваровской СОШ Морозова Н.С.

Учащиеся должны знать:

• определение параллелограмма;
• его основные свойства и признаки.

Учащиеся должны уметь решать основные задачи на применение свойств и признаков параллелограмма.

Теоретические вопросы.

1. Свойства параллелограмма:

На « 3»:    1. Диагональ параллелограмма разбивает его на два равных

                   треугольника.

                   2. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения

                         пополам.

                   3. В параллелограмме противолежащие стороны и углы равны.

                   4. Сумма величин углов, прилежащих к одной стороне

                         параллелограмма, равна 180о.

                   5. Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него

                        равнобедренный треугольник.

На « 4-5»: 6. Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри

                       параллелограмма до прямых, на которых лежат его стороны, -

                       величина постоянная для данного параллелограмма.

                   7. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей

                       параллелограмма, разбивает его на 2 равных четырёхугольника.

                   8. Биссектрисы двух противолежащих углов параллелограмма

                       параллельны.

                   9. В параллелограмме биссектрисы углов, прилегающих к одной

                      стороне, взаимно перпендикулярны.

                 10. Докажите, что в параллелограмме против большего угла

                      лежит большая диагональ.

                 11. Докажите, что противоположные параллельные стороны

                       параллелограмма отсекают на прямой, не пересекающей

                       параллелограмм, параллельной его диагонали, равные отрезки.

                 12. Докажите, что в параллелограмме угол между высотами,

                       проведёнными из вершины его тупого угла, равен острому

                       углу параллелограмма.

2. Признаки параллелограмма:

   На «3» :  1. Если в четырёхугольнике диагонали в точке пересечения

                       делятся пополам, то этот четырёхугольник параллелограмм.

                   2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны и

                       параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм.

                   3. Если в четырёхугольнике противолежащие стороны попарно

                       равны, то этот четырёхугольник параллелограмм.  

На «4-5»:  4. Если в четырёхугольнике каждая диагональ делит его на два

                      равных треугольника, то этот четырёхугольник параллелограмм.

                   5.Если в четырёхугольнике противолежащие углы равны, то этот

                      четырёхугольник параллелограмм.

Практические задачи.  

На « 3» : 

1. Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 и 4 см. Чему равны расстояния от неё до двух других вершин? Объясните ответ.

2. АВСД – параллелограмм, О – точка пересечения диагоналей.

а) Диагональ АС=12см. Чему равен отрезок АО? б) отрезок ВО= 3см. Чему равна диагональ ВД?

3. В параллелограмме АВСД АВ=10см, ВС=15см. Чему равны стороны АД и СД? Объясните ответ.

4. Докажите, что сумма углов параллелограмма равна 360о.

5. Может ли один угол параллелограмма быть прямым?

6. Может ли один угол параллелограмма быть равным 40о, а другой 50о.

7. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, лежит на противоположной стороне. Какому условию удовлетворяют стороны параллелограмма?

8. Дан треугольник АВС. Из вершин В и С проведены прямые,

параллельные сторонам АС и АВ и пересекающиеся в точке Д. Докажите, что четырёхугольник АВСД – параллелограмм.

9. Через точку С, лежащую во внутренней области угла MAN, проведены прямые, параллельные сторонам угла и пересекающие их в точках В и Д. Докажите, АВСД – параллелограмм.

10. ВМ - медиана треугольника АВС. На её продолжении за точку М отложен отрезок МД, равный ВМ. Докажите, что четырёхугольник АВСД – параллелограмм.

11. Стороны ВО и ОА треугольника АВО продолжены за точку О так, что АО=ОС, ВО=ОД. Докажите, что АВСД параллелограмм.

12. Две стороны четырёхугольника параллельны, а две другие равны. Можно ли утверждать, что этот четырёхугольник – параллелограмм.

На «4» :

1. В параллелограмме АВСД перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону АД , делит её пополам. Докажите, что: а) треугольник АВД – равнобедренный; б) треугольник ВДС – равнобедренный.

2. Сторона АВ параллелограмма АВСД  равна 7 см, диагонали АС и ВД равны 6 и 10 см, О – точка пересечения диагоналей. Определить периметр треугольника АОВ.

3. В параллелограмме АВСД диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОВ и СОД равны

4. АВСД – параллелограмм. Диагонали АС и ВД пересекаются в точке О. Докажите, что отрезок ВО является медианой треугольника АВС.

5. Стороны параллелограмма  равны 3 и 6 см. Чему равен периметр параллелограмма.

6. Периметр параллелограмма равен 18 см. Чему равна сумма двух соседних сторон?

7. Периметр параллелограмма АВСД равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если: а) одна сторона равна 10см; б) одна сторона на 3см больше другой; в) разность двух сторон равна 7 см: г) две стороны относятся как 3:5.

8. Могут ли углы треугольника быть равными каким-либо трём углам параллелограмма?

9. Найдите углы параллелограмма АВСД, если: а) ∟А=84о; б) ∟А-∟В=55о; в) ∟С+∟А=142о; г) ∟А=2∟В; д) ∟САД=16о, ∟АСВ=37о; е) углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, относятся как 4:5.

10. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25о и 35о. Найдите углы параллелограмма.

11. В параллелограмме проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. а) Чему равны отрезки ВЕ и ЕС, если АВ=9см, АД=15см; б) Найти периметр параллелограмма, если ВЕ=7см, ЕС=14см.

12. Докажите, что если в четырёхугольнике АВСД ∟А+∟Д=180о  и ВС//АД, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

13. В четырёхугольнике АВСД диагональ АС разбивает углы А и С так, что ∟ВАС=∟АСД, ∟САД=∟АСВ. Докажите, АВСД – параллелограмм.

14. В параллелограмме АВСД  BF//EД, FсАД, ЕсВС. Докажите, что ВFДE – параллелограмм.

15. В параллелограмме АВСД  ВF┴АС, ДЕ┴АС. FсАД, ЕсВС. Докажите, что BFДЕ – параллелограмм.

16. АС и ВД – диаметры двух окружностей с общим центром О. Докажите, что АВСД – параллелограмм.

17. Диагонали параллелограмма АВСД пересекаются в т. О. Докажите, что четырёхугольник  А1В1С1Д1 , вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС, ОД – параллелограмм.

18. На диагонали ВД параллелограмма АВСД отмечены две точки P и Q так, что PВ=QД. Доказать, что четырёхугольник APCQ – параллелограмм.

19. На сторонах АД и ВС параллелограмма АВСД отложены равные отрезки АЕ и CF. Докажите, что четырёхугольник AFCE – параллелограмм.

20. В параллелограмме АВСД точка Е – середина стороны ВС, а т.F – середина стороны АД. Докажите, что AFCE – параллелограмм.

21. В параллелограмме АВСД продолжили сторону АВ за точку В на отрезок ВЕ=АВ, сторону СД – за точку Д на отрезок ДF=СД и провели отрезки ЕС и АF. Докажите, что АЕСF – параллелограмм.

22. В параллелограмме АВСД продолжили сторону АВ за точку В на отрезок ВЕ=АВ и провели отрезки ЕС и ВД. Докажите, что ВЕСД – параллелограмм.

23. Четырёхугольник АВСД – параллелограмм. АМ = 1/4АВ; BN = 1/4ВС; СР=1/4СД; ДК = 1/АД. Докажите, что MNPК – параллелограмм.

На «5» :

1. Четырёхугольник АВСД делится диагональю АС на 2 равных треугольников. Будет ли АВСД всегда параллелограммом?

2. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок прямой, заключённый между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.

3. В параллелограмме АВСД через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах ВС и АД отрезки: ВЕ=2см (ЕcВС) и АF=2,8см (FсАД). Найдите стороны ВС и АД.

4. Через произвольную точку основания равнобедренного  треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. а) Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника; б) Найти периметр получившегося четырёхугольника, если боковая сторона равнобедренного треугольника 5м.

5. Найдите углы параллелограмма, если : а) сумма двух из них равна: 100о; 160о; 180о; б) разность двух из них равна :70о; 110о; 140о.

6. Стороны параллелограмма равны 10 и 3см.Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на 3 отрезка. Найдите эти отрезки.

7. Периметр параллелограмма равен 46см; АВ=14см. Какую сторону параллелограмма АВСД пересекает биссектриса ∟А. Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.

8. Середины (точки E и F) параллельных сторон ВС и АД параллелограмма АВСД соединены с вершинами Д и В. Докажите, что полученные отрезки BF и ДЕ делят диагональ АС на 3 равные части.

9. В параллелограмме АВСД перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону АД, делит её пополам. Найти диагональ ВД, если известно, что периметр параллелограмма равен 3,8м, а периметр треугольника АВД равен 3м.

10. В параллелограмме АВСД проведен перпендикуляр ВК к прямой АД. Найти стороны и углы параллелограмма, если известно, что АК=3см, КД=5см, ∟АВК=30о.

11. Параллелограмм, периметр которого 50см, разделен диагоналями на 4 треугольника. Разность периметров двух из них равна 5см. Найти стороны параллелограмма.

12. В четырёхугольнике АВСД диагональ АС образует со сторонами АВ и СД равные углы и АВ=СД. Докажите, что четырёхугольник параллелограмм.

13. Докажите, что если их 4-вершин параллелограмма опустить перпендикуляры на диагонали и соединить их основания отрезками, то полученный четырёхугольник – параллелограмм.

14. На сторонах АВ, ВС, СД и ДА четырёхугольника АВСД отмечены соответственно точки M, N, P, Q так, что АМ=СР, BN=ДQ, ВМ=ДР, NC=QА.

Докажите, что четырёхугольники АВСД и MNPQ - параллелограммы.