Особенности углубленного изучения курса геометрии
статья по геометрии

Особенности углубленного изучения курса геометрии

Аннотация. Статья посвящена рассмотрению понятия углубленное изучение геометрии. В ней рассмотрены основные отличия углубленного изучения геометрии от базового, выявлены признаки, которыми характеризуется углубленное систематическое изучение геометрии в школе.

Статья может быть интересна учителям математики и студентам, обучающимся по направлению математическое образование.

Ключевые слова: углубленное изучение геометрии, профильное обучение математике, изучение геометрии в 7 классе

Современная эпоха математического образования началась в конце XX века. Важным событием начала эпохи был переход к дифференциации обучения. В обучении математике дифференциация осуществлялась по двум направлениям: уровневая и профильная. Уровневая дифференциация подразумевает возможность изучение материала на разном уровне учащимися одного класса и обучающихся по одной программе. Профильная дифференциация осуществлялась как правило через разделение классов старшей школе или в профильных лицеях, гимназиях и колледжах по направлениям физико-математическому, техническому, экономическому и гуманитарному. В каждом профиле математика была обязательным предметом, однако количество часов и сложность материала была у каждого профиля своя. Учащиеся на разных профилях обучались по разным программам. В этот период появляются одни из первых учебников для профильного обучения математике. Терновая Н.А. отмечает, что «курс по математике для углубленного изучения представлен более обстоятельным изложением названных выше вопросов (речь идет об основных содержательных линиях – К.А.) и некоторыми дополнительными темами (элементы комбинаторики и теории вероятностей, комплексные числа, методы геометрии)» [6, с 39]

До недавнего времени обучение математике велось на базовом и профильном уровне, однако в ФГОС, утвержденном в 2012г выделяют базовый и углубленный уровень [1]. Заметим, что школы, осуществляющие профильное обучение математике, как правило осуществляют его на углубленном уровне.

Образовательный стандарт определяет результаты к освоению углубленного курса математики, других документов, разъясняющих содержание и особенности углубленного изучении в том числе углубленное изучение геометрии, мы не нашли. В связи с этим возникает необходимость уточнения данного понятия.  

В данной статье мы рассмотрим углубленное изучение геометрии, выявим особенности и признаки, которыми можно охарактеризовать углубленное изучение.

Во многих школах углубленное изучение математике начинается с 8-го класса, в том числе и обучение геометрии. Однако, существуют школы, реализующие программы углубленного изучения математики с 5-го класса. В Санкт-Петербурге, например, это школы 239, 30, ФТШ. В этих школах систематическое изучение углубленного курса геометрии начинается с 7-го класса, поэтому рассматриваемые в статье примеры будут из материала 7-го класса.

Согласно ФГОС [1] к результатам изучения углубленного курса можно отнести представлений о необходимости доказательств при обосновании математических утверждений понимание изучаемого материала как системы, выдвижения гипотез, исследования и интерпретации полученных результатов, свободное оперирование терминами, а также умение доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач.

Рассмотрим различия, которые есть в задачном материале для базового курса и углубленного.

В сборнике Б.Г. Зива «Задачи к урокам геометрии 7-11» [5] автор группирует задачи по четырем уровням сложности. Варианты 7 и 8 предназначены для работы в классах с углубленным изучением математики. Мы обратили внимание на формулировки задач. Во втором параграфе «Луч и угол» можно заметить, что задача варианта 6 формулируется как «рассмотрите возможные варианты», а задача уровня 7 и 8 «рассмотрите все возможные варианты», что подразумевает не только найти решения, но и доказать, что других нет. Как правило задачи вариантов 7 и 8 имеют более сложную формулировку и решение в несколько действий, а задачи на вычисление требуют предварительного доказательства. Таким образом, задачи вариантов 7 и 8 относятся к задачам повышенной сложности и рекомендуются при изучении геометрии на углубленном уровне.

Опираясь на личный опыт, отметим, что к задачам повышенной сложности относят те задачи, в которых необходимо применить нестандартную идею для решения, сложно построить чертеж, даны избыточные условия, задачи, в решении которых необходимо выполнить длинную цепочку причинно-следственных связей.

Рассмотрим теоретический материал на примере теоремы о равнобедренном треугольнике. Отметим, что нами были рассмотрены несколько учебников – учебник Геометрия 7-9 Л.С. Атанасяна [4] поскольку это один из самых распространенных учебников, входящий в федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию. Второй учебник – учебник Александрова А.Д.  Геометрия 7 класс. Углубленный уровень [3]. Этот учебник не входит в перечень рекомендуемых учебников на 28 декабря 2018г [2], однако отличается строгостью построения теоретической базы и аккуратным изложением, понятным школьникам.

В учебнике Атанасяна Л.С. [4] сформулированы только свойства равнобедренного треугольника, признаки не сформулированы. Однако беседа с учителями показала, что и на базовом уровне необходимо выделять как свойства, так и признаки равнобедренного треугольника.

Для базового уровня один из признаков может быть сформулирован следующим образом: Если медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника совпадают, то треугольник равнобедренный.

Заметим, что такая формулировка признака является избыточной, поскольку для доказательства достаточно равенства соответствующих отрезков. Однако, в таком случае возникает необходимость доказать, что данные отрезки действительно будут совпадать.

Здесь может возникнуть некоторое противоречие, поскольку данное доказательство основывается на том, что сумма углов в треугольнике не может быть больше 1800, а в учебнике Атанасяна [4] данная теорема доказывается позже. Поэтому учителю необходимо заранее продумать порядок доказательства теорем и прохождения учебного материала. В учебнике Александрова А.Д. [3] работа с данным признаком осуществлена следующим образом: сначала предлагалось доказать его в формулировке с условием, что медиана и высота совпадают, а позже, когда изучена необходимая теорема в разделе «Дополняем теорию» предложено доказать, используя только на равенство медианы и высоты.

Этот пример иллюстрирует, что на углубленном уровне изучение теоретического материала осуществляется более обстоятельно.

Учителя, реализующие программы углубленного изучения геометрии, отмечают, что основное отличие углубленного изучения от базового заключается в глубине изложения материала, характере, уровне выводов и обобщений, получаемых в конце.

Обратим внимание также, что углубленное изучение геометрии также характеризуется и расширением теоретического материала. Степень расширения материала как правило определяется учителем, поскольку в перечне учебников, рекомендуемых на 28 декабря 2018г [2] нет учебника по геометрии для углубленного уровня. Однако, о возможных направлениях расширения можно судить по одному из наиболее используемых задачников - задачник Б.Г. Зива «Задачи к урокам геометрии 7-11» [5]. В данном задачнике, в параграфах со звездочкой, то есть для дополнительного и углубленного изучения вынесены следующие темы: геометрическое место точек, более сложные случаи построения треугольников. В учебнике Александрова [3] также выделены параграфы «Геометрическое место точек», «Метод геометрических мест».

Таким образом, в работе углубленный уровень изучения геометрии мы будем характеризовать следующими признаками:

• обстоятельный подход к изучению теоретического материала;
• расширение теоретического материала (по сравнению с базовым уровнем);
• решение задач повышенной сложности.

Список используемых источников и литературы

1. Приказ от 17 мая 2012г. №413 об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования

2. Приказ от 28 декабря 2018г №345 о федеральном перечне учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию, образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования

3. Александров А.Д. Геометрия. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик – М.: Просвещение, 2018 – 223 с.

 4. Атанасян Л.С. Геометрия. 7—9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — 20-е изд. — М.: Просвещение, 2010. — 384 с.

5. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 класс. – СПб.: «Петроглиф», «Виктория плюс», 2016. – 608 с.

6. Терновая Н.А. История школьного математического образования в России и за рубежом. – Саратов, 2012. – 76с.