Подобие треугольников. Практикум по решению задач.
учебно-методический материал по геометрии (8, 9 класс)

В первую очередь необходимо знать само определение подобных треугольников.

Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника, т.е. если выполняется:

1. ∠А = ∠А1, ∠В = ∠В1, ∠С = ∠С1     (1)
2.  =  =       (2)

K – это отношение сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

Следует обратить внимание, что сходственные стороны смотрят на равные углы. Подобие треугольников можно установить, проверив только одно из неравенств (1) и (2). Далее будут рассмотрены признаки подобия треугольников и их свойства.

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон и равно коэффициенту подобия.

 =  = K

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

 = = K2

Признаки подобия треугольников:

1. Если ∠А = ∠А1, ∠В = ∠В1, то АВС ∾А1В1С1 (по двум равным углам)
2. Если ∠А = ∠А1,  = , то АВС ∾А1В1С1 (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)
3. Если  =  =  , то АВС ∾А1В1С1  (по трем пропорциональным сторонам)

Далее следует обратить внимание на такие случаи:

• Если MN ∥ BC, то АMN ∾AВС (Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает треугольник, подобный данному)

• Если A1B1 ∥ A2B2 ∥ A3B3, то АА1 + А1А2 + А2А3 = AB1 + B1B2 + B2B3 (Параллельные отрезки, пересекающие стороны угла отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. В частности, если АА1 = А1А2 = А2А3, то AB1 = B1B2 = B2B3 – теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Подобие прямоугольных треугольников

Остановимся на подобии прямоугольных треугольников.

1. Для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по одному равному острому углу.

АВС : ∠В = 90° и в А1В1С1 : ∠В1 = 90°, а также ∠A = ∠A1, то АВС ∾А1В1С1 (по двум равным углам). Из подобия следует, что  = . Из этого равенства следует, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

АСD ∾CBD

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

  CD2 = AD * DB

CD – биссектриса ∠С. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

 =  или  =

Решение задач

1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки 10 см и 6 см. Найдите периметр треугольника.

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. АВ - гипотенуза, ВС и АС - катеты, ВК - биссектриса. СК = 6 см, АК = 10 см. ВС : АВ = СК : АВ    6 : 10 = СК : ВС. Тогда ВС = 6х, а АВ = 10х, АС = 16 см. По теореме Пифагора АВ² = ВС² + АС²    

100х² = 36х² + 256   64х² = 256

х² = 4   х = 2

Получилось, что АВ = 10х = 20 см, ВС = 6х = 12 см

Периметр Р = АВ + АС + ВС = 20 + 16 + 12 = 48 (см)

2. Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C. Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

AB || DE, CD || AC и BC || EC

∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC (по двум равным углам)

Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.

Следовательно,

CA =  = 23,57

AD = AC - DC = 23.57 - 15 = 8.57

3. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 16 см2 и 9 см2. Найдите площадь трапеции.

По условию площади треугольников AOD и ВОС не равны, поэтому AD и BC являются не боковыми сторонами, а основаниями трапеции. Тогда треугольники AOD и BOC подобны по двум углам, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия k. Поэтому k = .= . Поскольку треугольники ABO и CBO имеют общую высоту, проведённую из вершины В, отношение их площадей равно отношению их оснований, т. е. .= . = .  Значит, площадь треугольника ABO будет равна:  = 

Площади треугольников ABD и ACD равны, так как эти треугольники имеют общее основание AD и их высоты, проведённые к этому основанию, равны как высоты трапеции, следовательно,

 =  –  =  –  =

Поэтому и  = 12. SABCD = 9 + 16 + 12 + 12 = 49 см2.

4. В трапеции ABCD точка пересечения диагоналей делит одну диагональ на отрезки 7 см и 9 см. Средняя линия трапеции равна 12 см. Вычислите длины оснований трапеции.

Решение. Сумма оснований трапеции равна удвоенной средней линии, то есть 24 см. Пусть ВС = х, тогда AD = 24 – x. ВОС подобен АОD по двум углам, ∠CBD = ∠ BDA и ∠BCA = ∠CAD – накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущих AC и BD.

Получаем:

BC = 10,5 и AD = 24 – 10,5 = 13,5

Ответ: BC = 10,5 см и AD = 13,5 см

5. Основания трапеции ABCD равны 20 см и 45 см. Одна диагональ AC делит трапецию на два подобных треугольника. Вычислите длину этой диагонали.

Решение. Так как , то составим пропорцию:

Ответ: 30 см.

6. Основания трапеции ABCD равны 18 и 32 см. Вычислите длину отрезка, который делит трапецию на две подобные трапеции. Сравните его длину с длиной средней линии MN трапеции.

Решение. Если трапеции AMND и MBCN подобны, то их сходственные стороны пропорциональны. Составим пропорцию:

или

MN2 =

Средняя линия же равна (18 + 32)/2 = 25.

Ответ: 24 см, 24 < 25.

7. Боковая сторона трапеции ABCD разделена в отношении 5 : 3, считая от большего основания. Через точку деления параллельно основанию проведена к противоположной боковой стороны прямая EF. Точка K – точка пересечения прямой EF и диагонали BD. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны 14 см и 30 см.

Решение:  подобен , где EK параллельно AD по условию. Составим пропорцию:

 подобен , где KF параллельно BC по условию. Также составим пропорцию:

EF = EK + KF = 11,25 + 8,75 = 20.

Ответ: 20 см.

8. В трапеции ABCD угол ABD равен углу BCD. Основание BC равно 30 см, сторона CD равна 45 см, диагональ BD = 60 см. Вычислите сторону АВ и основание AD.

Решение. Угол ADB равен углу CBD как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD. В то же время угол ABD равен углу BCD по условию. Тогда треугольник ABD подобен треугольнику DCB. Составим пропорцию:

Ответ: 90 см, 120 см.

9. В трапеции ABCD основания равны 8 см и 6 см. Боковые стороны продолжены до взаимного пересечения в точке M. Вычислите расстояние от точки пересечения боковых сторон до большего основания (AD), если высота трапеции NK = 4 см.

Решение.  подобен , так как BC параллельно AD. Составим пропорцию:

Ответ: 16 см.

10. В прямоугольном треугольнике АВС высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на части, разность длин которых равна 6 см, а высота СH равна 4. Вычислите длину гипотенузы.

Решение.  подобен , они прямоугольные, угол B равен углу ACH – их стороны соответсвенно перпендикулярны. Составим пропорцию:

Тогда АВ = 2 + 8 = 10.

Ответ: 10 см.

11. Прямая EF, параллельная меньшей стороне AB параллелограмма ABCD, отсекает от него параллелограмм, подобный данному. Стороны большего параллелограмма равны 6 см и 10 см. Вычислите стороны меньшего параллелограмма ABEF.

Решение. Если параллелограммы подобны, то их стороны пропорциональны. Составим пропорцию:

Ответ: 3,6 см и 6 см.

12. В равнобедренном треугольнике ABC высота AE, опущенная на боковую сторону, делит ее на отрезки 7 см и 2 см, считая от вершины. Вычислите основания треугольника.

Решение. Проведем высоту треугольника BD.  подобен  – прямоугольные, угол С – общий. Составим пропорцию:

Примем AD = DC = x.

Ответ: 6 см.

13. Биссектриса AD угла треугольника ABC делит противоположную сторону на отрезки 7 см и 5 см. Периметр треугольника равен 36 см. Вычислите стороны треугольника.

Решение. Известно, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Следовательно, АВ = 14 см, АС = 10 см.

Ответ: 14 см, 10 см, 12 см.

14. В треугольнике АВС высота СН и медиана СМ делят угол С на три равные части. Докажите, что угол С – прямой.

Доказательство.  = . Они прямоугольные с общим катетом СН и имеют по равному острому углу. Тогда:

Треугольник ACH – прямоугольный, а СМ – биссектриса угла ACH. По свойству биссектрисы угла следует:

То есть СН = 0,5 АС. В прямоугольном треугольнике АСН СН = 0,5 АС. Следовательно, угол А равен 30 градусов, угол АСН равен 60 градусов. Тогда угол С равен 90 градусов, что и требовалось доказать.

Представленный материал по решению задач на подобие помогает результативно решать задачи более высокого уровня сложности по ОГЭ в 9 классе. Задания 23 и 24 часто бывают на подобия.

Автор-составитель – учитель математики высшей категории Кудряшова С.В., 1498 школа г. Москвы.