контрольные работы по геометрии 10 класс
методическая разработка по геометрии (10 класс)

Контрольная работа №1

Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямой и плоскости

Вариант I

Часть А

1) Прямые a и b скрещивающиеся. Прямая с параллельна прямой b. Могут ли прямые а и с пересекаться? 

2) Плоскость α проходит через верхнее основание трапеции АВСD. Докажите, что любая прямая, лежащая в плоскости α и параллельная прямой ВС, параллельна прямой АD. Точки М и N - середины боковых сторон. Найдите АD, если BC=8, MN=12. 

3) Прямая FА проходит через вершину параллелограмма АВСD и не лежит в плоскости параллелограмма.
а) Докажите, что FA и CD скрещивающиеся.
б) Чему равен угол между прямыми FA и CD, если угол FAB равен 30 градусов?



Часть Б

1) Прямая а параллельна плоскости α, прямая b также параллельна плоскости α. Могут ли а и b:
а) Быть параллельными?
б) Пересекаться?
в) Быть скрещивающимися прямыми?


2) Точка М лежит вне плоскости параллелограмма АВСD.
а) Докажите, что средние линии треугольников MAD и MBC параллельны.
б) Найдите эти средние линии, если боковая сторона параллелограмма равна 5, а его высота равная 4 и делит сторону, к которой проведена, пополам. 


3) Через вершину С квадрата АВСD, проходит прямая СК, не лежащая в плоскости квадрата.
а) Докажите, что СК и АD скрещивающиеся.
б) Чему равен угол между СК и АD. Угол СВК равен 45 градусов, угол СКВ равен 75 градусов?



Часть В

1) Две плоскости пересекаются по прямой L. Прямые L и A скрещивающиеся, прямые L и В параллельны. Могут ли прямые А и В:
а) Лежать в одной из плоскостей?
б) Лежать в разных плоскостях?
в) Пересекать эти плоскости?
В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых L и A.


2) Плоскость α пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N соответственно. BN:NC=5:8. MB:AB=5:13.
а) Докажите, что АС || α.
б) Найдите MN, если АС=26.


3) Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми АС и BD, если АС=16, ВD=20. Расстояние между серединами AD и ВС равно 6. 

Вариант II

Часть А

1) Прямые a и b параллельны. Прямая с скрещивающиеся с прямой b. Могут ли прямые b и с быть параллельны? 

2) Плоскость α проходит через нижнее основание трапеции АВСD, докажите что любая прямая лежащая в плоскости α и параллельная прямой ВС, параллельна прямой АD. Точки М и N - это середины боковых сторон. Найдите ВС, если AD=24, MN=18. 

3) Прямая GА проходит через вершину трапеции АВСD и не лежит в ее плоскости.
а) Докажите, что GА и ВC скрещивающиеся.
б) Чему равен угол между прямыми GА и ВC, если угол GAD равен 70 градусов?


Часть Б

1) Прямая а пересекает плоскость α, прямая b также пересекает плоскости α. Могут ли а и b:
а) Быть параллельными?
б) Пересекаться?
в) Быть скрещивающимися прямыми?


2) Треугольник АВС и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, MN||EF, EF||BC.
а) Докажите, что ВС|| KP.
б) Найдите KP и MN, если ВС=24. КР:MN = 8:3.


3) Точка F лежит вне плоскости трапеции ABCD.
а) Докажите, что AF и BC скрещивающиеся.
б) Чему равен угол между AF и BC, если угол AFD равен 70 градусов, угол FDA равен 40 градусов? 


Часть В

1) Две плоскости пересекаются по прямой L. Прямые L и A скрещивающиеся, прямые L и В скрещивающиеся. Могут ли прямые А и В:
а) Лежать в одной из плоскостей?
б) Лежать в разных плоскостях?
в) Пересекать эти плоскости?
В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых L и A.


2) Плоскость α проходит через сторону АВ треугольника АВС. Прямая пересекает стороны ВС и АС в точках M и N соответственно. МС:ВC=6:13 NC:AN=6:7.
а) Докажите, что MN || α.
б) Найдите MN, если АС=39.


3) Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми АС и BD, если АС=10, ВD=10. Расстояние между серединами AD и ВС равно 5.



Ответы на контрольную работу №1 

Контрольная работа №2

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Вариант I

Часть А

1) Отрезок КС – перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, КВ перпендикулярно АВ.
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей КАС и АВС. 
в) Чему равен КВ, если АС=14, ВС=6. Угол КВС равен 45 градусам.

2) Основание АС равнобедренного треугольника лежит в плоскости α. Найдите расстояние от точки А до плоскости α, если АВ=5, АС=223−−√, а двугранный угол между плоскостью треугольника и плоскостью α равен 60 градусам.

3) Из точки А к плоскости α проведены наклонные АВ и АС, образующие с плоскость угол 60 градусов. ВС=АС=6. Найдите АВ. 

Часть Б

1) Отрезок КА – перпендикуляр к плоскости АВС. Точка М - середина ВС. КМ перпендикулярно ВС. АВ=ВС
а) Докажите, что треугольник АВС - равносторонний.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей КВС и КАМ.
в) Найдите площадь треугольника АВС, если ВК=8, КА=39−−√, ВС=6.


2) Точка S удалена от вершин правильного треугольника на 3334−−−−√ см. Найдите двугранный угол SABC, если АВ=9. 

3) Прямая АВ – ребро двугранного угла, равного 90 градусов. Прямые АА1 и ВВ1принадлежат разным граням данного угла. АА1||ВВ1, ВВ1 перпендикулярно АВ. Докажите, что прямые АА1 и ВВ1 скрещивающиеся. Найдите угол между этими прямыми. 

Часть В

1) Точка О лежит на биссектрисе угла АВС, равного 60 градусов, отрезок DO перпендикулярен плоскости АВС. АВ=АС.
а) Докажите, что точка D равноудалена от точек А и С.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей DAC и DOВ. 
в) Найдите DB, если АС=12 и DO=8.


2) Равнобедренные треугольники АВС и АДС имеют общее основание АС, двугранный угол ВАСД - прямой. Найдите двугранный угол ДСВА, если угол АСД равен 45 градусов, а угол САВ равен 60 градусов.

3) В кубе АВСДА1В1С1Д1 постройте и найдите линейный угол между плоскостями сеченийАВ1С1Д и А1Д1СВ. 


Вариант II

Часть А

1) Отрезок КС – перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, КВ перпендикулярно АВ.
а) Докажите, что треугольник АВС - прямоугольный.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей КАС и АВС. 
в) Найдите КВ, если АС=16, ВС=8. Угол КВС равен 45 градусам.

2) Основание АС равнобедренного треугольника лежит в плоскости α. Найдите расстояние от точки А до плоскости α, если АВ=20, АС=25, а двугранный угол между плоскостью треугольника и плоскостью α равен 45 градусам. 

3) Из точки А к плоскости α проведены наклонные АВ и АС и перпендикуляр АО. Наклонные образуют с этой плоскостью углы равные 60 градусам. Найдите ВС, если ВС=ВО, ОС=8. 

Часть Б

1) Отрезок КА – перпендикуляр к плоскости прямоугольника АВСД. Точка О - пересечение АС и ВД. КО перпендикулярно ВД.
а) Докажите, что АВСД - квадрат.
б) Перпендикулярность плоскостей КВД и КОА.
в) Найдите площадь прямоугольника АВСД, если КО=5, КА=3, угол ВКД равен 90 градусам.

2) Точка S удалена от вершин правильного треугольника на 48−−√см. Найдите двугранный угол SABC, если АВ=12.

3) Прямая АВ – ребро двугранного угла, равного 45 градусам. Прямые АА1 и ВВ1принадлежат разным граням данного угла. прямые АА1 и ВВ1 перпендикулярны прямой АВ. Каким может быть расположение прямых АА1 и ВВ1? Докажите свое утверждение. 

Часть В

1) Отрезок ДО – перпендикуляр к плоскости угла АВС, равного 90 градусам. Точка О лежит внутри угла, а точка Д равноудалена от его сторон.
а) Докажите, что прямая ВО делит угол АВС пополам.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей DAC и DOВ. 
в) Найдите DО, если АС=12 и DВ=16.

2) Равнобедренный треугольник АДС с углом Д равным 90 градусам, и равносторонний треугольник АВС имеют общее основание АС. Двугранный угол ВАСД - прямой. 
а) Найдите все углы между прямыми проведенными к вершинам треугольника АВС и этой плоскостью. 
б) Найдите углы треугольника образованного высотами треугольников АВС и АДС, опущенными к стороне АС.

3) В кубе АВСДА1В1С1Д1 постройте и найдите линейный угол между плоскостями сеченийС1Д1АВ и ДСВ1А1. 


Ответы на контрольную работу №2 

Контрольная работа №3

Многогранники

Вариант I

Часть А

1) Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 5см и катетом 4см. Найдите площадь боковой поверхности, если грань содержащая наименьший катет – квадрат.

2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 8см, и образует угол 30 градусов с плоскостью основания.
а) Найдите высоту пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности. 

3) Ребро правильного тетраэдра равно а. Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АВ и делящее его в отношении 1:3, и проходящей параллельно ребру ВС. Найдите площадь сечения.


Часть Б

1) Основание прямого параллелепипеда – ромб с диагоналями 48 и 20 см. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности.

2) Основание пирамиды - правильный треугольник с площадью равной 163√. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья наклонена к ней под углом 45 градусов. 
а) Найдите длину ребер пирамиды. 
б) Найдите площадь боковой поверхности.

3) Ребро куба АВСДА1В1С1Д1 равно а. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую АД1 и середину ВС. Найдите площадь сечения.


Часть В

1) Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 12 и 9 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро - квадрат.

2) Основание пирамиды – ромб с меньшей диагональю d и тупым углом α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Ребро куба АВСДА1В1С1Д1 равно а. Постройте сечения куба плоскостью, проходящей через середины ребер АА1, АД, А1В1. 


Вариант II

Часть А

1) Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 5см и катетом 12см. Найдите площадь боковой поверхности, если грань содержащая больший катет – квадрат.

2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро образует угол 45 градусов с плоскостью основания.
а) Найдите длину бокового ребра пирамиды. 
б) Найдите площадь боковой поверхности. 

3) Ребро правильного тетраэдра равно а. Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2, и проходящей параллельно ребру АВ. Найдите площадь сечения.


Часть Б

1) Основание прямого параллелепипеда – ромб с большей диагональю 30 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 градусов и равна 242√. Найдите площадь полной поверхности.

2) Основание пирамиды - равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 62√. Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны плоскости основания, а третья наклонена к ней под углом 30 градусов. 
а) Найдите длину ребер пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности.

3) Ребро куба АВСДА1В1С1Д1 равно а. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку В и середину ДА, параллельно А1Д. Найдите площадь сечения.


Часть В

1) Основание прямой призмы - равнобедренный треугольник с боковой стороной 26 см и основанием 20 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро - квадрат.

2) Основание пирамиды – ромб с боковой стороной равной а и острым углом α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Ребро куба АВСДА1В1С1Д1 равно а. Постройте сечения куба плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, ДД1, В1С1.

Ответы на контрольную работу №3 


Ответы на контрольную работу №1

Вариант I
Часть А
1. Да, если лежат в одной плоскости.
2. 16.
3. 30 см.

Часть Б
1. 
2. 3.
3. 60.

Часть В
1. 
2. 10.
3. 90.


Вариант II
Часть А
1. Нет.
2. 12.
3. 70.

Часть Б
1. 
2. КР=32; MN=12.
3. 70.

Часть В
1. 
2. 18.
3. 60.

Ответы на контрольную работу №2

Вариант I
Часть А
1. 116−−−√.
2. 6.
3. 6.

Часть Б
1. 12.
2. 45.
3. 90.

Часть В
1. 16.
2. 60.
3. 90.

Вариант II
Часть А
1. 410−−√
2. 7,52√.
3. 8.

Часть Б
1. 32.
2. 60.

Часть В
1. 8.
2. а) 45, 45, 30; б) 30,60,90.
3. 90.



Ответы на контрольную работу №3

Вариант I
Часть А
1. 36.
2. а) 4; б) 1615−−√.
3. а23√64.

Часть Б
1. 5952.
2. a) 43√, 47√, 47√; б) 323√+166√.
3. 1,125а2.

Часть В
1. 259,2.
2. d22∗tg(α2)∗cos(β).
3. 3а23√4.


Вариант II
Часть А
1. 360.
2. а) 62√; б) 723√.
3. а23√36.

Часть Б
1. 14441−−√+360.
2. а) 3, 35√, 35√; б) 18+182√.
3. 9а28.

Часть В
1. 1104.
2. a2sin(α)cos(β).
3. 3а23√4.