«Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости»
методическая разработка по геометрии (10 класс)

Название урока

«Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости»

Предмет

Геометрия

Класс

10 класс

Тип урока:

Урок усвоения новых знаний

УМК

Геометрия, 10 – 11:учебник для общеобразовательных  учреждений / Л.С. Атанасян,  В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2015 г.

Цели урока

Для учителя

Для ученика

Создать условия учащимся для формирования представлений о перпендикулярных прямых в пространстве.

Рассмотреть  теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Создать условия учащимся для формирования умений распознавать изученные объекты.

Создать условия учащимся для овладения умением применять изученные понятия и теоремы при решении задач.

Иметь представление о перпендикулярных  прямых в пространстве.

Овладеть умением указывать перпендикулярные  прямые на рисунке, в окружающем пространстве.

Применять изученные теоремы при решении задач.

Планируемые образовательные результаты

Личностные результаты:

• самопознание;
• формирование целостного мировоззрения;
• креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач.  

Метапредметные результаты 

Регулятивные универсальные учебные действия 

• различать способ и результат действия;
• осуществлять итоговый и пошаговый контроль по результату.

Познавательные универсальные учебные действия 

• проводить сравнение, сериацию и классификацию по заданным критериям;
• строить речевое высказывание в устной и письменной форме.

Коммуникативные универсальные учебные действия 

• договариваться и приходить к общему решению совместной деятельности;
• контролировать действие партнера

Предметные результаты 

• знать определение перпендикулярных прямых в пространстве, перпендикулярных прямой и плоскости; формулировки основных теорем о перпендикулярности прямых;
• уметь использовать теоретический материал по теме  «Перпендикулярные прямые в пространстве» при решении задач; уметь распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире перпендикулярность прямых и плоскостей, объяснить изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах.

Средства обучения

Компьютерное оборудование (компьютер, проектор), электронные образовательные ресурсы (компьютерная презентация), учебник, рабочая тетрадь.

Формы работы на уроке

Фронтальная, индивидуальная, групповая

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Метапредметные результаты (П-познавательные, Р – Регулятивные, К- коммутативные, Л-личностные)

Организацион-ный

Приветствие учителем учащихся, проверка готовности кабинета и учащихся к уроку, проверка отсутствующих.

Слушают учителя.

Проверяют наличие необходимых принадлежностей, порядок на рабочем месте.

К-Умение слушать .

Л-Умение выделять нравственный аспект поведения, самоопределение к деятельности.

Актуализация знаний, мотивация учебной деятельности

Устная работа

Учитель задает учащимся вопросы:

1.Какие прямые на плоскости называются перпендикулярными?

2. Обратите внимание на экран.

(Слайд №2)

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, ∠BAD=300. Найдите углы между прямыми АВ и A1D1; A1B1 и AD; AB и B1C1.

Отвечают на вопросы.

К - Умение слушать, излагать свое мнение

П - Поиск и выделение необходимой информации.

Р- Осуществлять итоговый и пошаговый контроль по результату.

Изучение нового материала

Первичное закрепление материала.

Изучение нового материала

Закрепление изученного материала

Рассмотрим модель куба.(Слайд №3)

Как называются прямые АВ и ВС? Почему?

Найдите угол между прямыми АА1 и DC; ВВ1 и AD.

Как, по вашему мнению, называются эти скрещивающиеся прямые?

Действительно,  прямые  АА1 и DC и прямые ВВ1 и AD перпендикулярные.

Ребята, а теперь попробуйте сформулировать тему урока.

Мы приступаем к изучению новой главы «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Сегодня на уроке введем понятие перпендикулярных прямых в пространстве; докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой; дадим определение перпендикулярности прямой и плоскости; докажем теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости; научимся применять изученные понятия и теоремы при решении задач. Итак, тема урока: «Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости».

Мы выяснили, что прямые  АА1 и DC и прямые ВВ1 и AD перпендикулярные.

Сформулируйте определение перпендикулярных прямых в пространстве.

Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а b .

Какое возможно взаимное расположение перпендикулярных прямых в пространстве?

Приведите пример перпендикулярных прямых в окружающей обстановке.

Слайд №4

В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Рассмотрим прямые АА1, СС1 и DC.

Прямая АА1 параллельна прямой СС1, а прямая СС1 перпендикулярна прямой СD. Нами установлено, что АА1 перпендикулярна СD.

Запись на доске и в тетрадях:

АА1‖СС1, СС1⊥СD, АА1⊥СD

Попробуйте сформулировать этот вывод  в общем виде.

Слайд №5

Какое утверждение называется леммой?

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано:a ‖ b, a ⊥ c

Доказать: b ⊥ c

Доказательство:

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠АМС=90о.

По условию, b ‖ a, а по построению а ‖ МА, поэтому b ‖ МА.

Итак,  прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90о.

Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90о, то есть b ⊥ с. Лемма доказана.

Задача №117. В тетраэдре АВСD ВС⊥AD. Докажите, что AD⊥MN, где М и N – середины ребер АВ и ВС.

Что можем сказать о параллельности прямых MN и ВС?

Слайд №6

Найдите угол между прямой АА1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, AD, AC, BD, MN.

Итак, прямая АА1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (АВС). В этом случае, говорят, что прямая АА1 перпендикулярна плоскости (АВС).

Сформулируйте определение прямой перпендикулярной к плоскости.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Обозначение: а ⊥ α

Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Непокосившийся телеграфный столб стоит прямо, то есть перпендикулярно к плоскости земли. Также расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т.д.

Рассмотрим  две теоремы, в которых  устанавливается связь между параллельностью и перпендикулярностью к плоскости.

1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
2. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Предложить учащимся работу в группах малого состава по 2 человека (по партам). Часть групп доказывают первую теорему, а остальные вторую теорему. При разборе теорем учащиеся пользуются учебником стр.35-36. Доказательство теорем ребята записывают в тетрадь.

Пригласить двух учащихся, по желанию, к доске для разбора теорем у доски. (Использовать слайды №6 и №7)

Задача №120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК=b.

Учитель задает вопросы:

Что можно сказать о равенстве треугольников АОК, ВОК, СОК, DОК?

Тогда что можно сказать о равенстве отрезков АК, ВК, СК, DK?

Применяя какую теорему, можно найти стороны в прямоугольном треугольнике?

Слушают.

Отвечают на вопросы.

Формулируют тему урока.

Формулируют определение перпендикулярных прямых в пространстве.

Приводят примеры перпендикулярных прямых в окружающей обстановке.

Отвечают на вопросы учителя.

Слушают доказательство леммы и записывают доказательство в тетрадь.

Один учащийся выполняет задание у доски, а остальные в тетрадях.

Запись на доске и в тетрадях:

Дано: ABCD – тетраэдр;

М ∊ АВ: АМ=ВМ,

N ∊ АС: АN=NC; ВС⊥АD

Доказать: AD⊥MN

Доказательство:

MN – средняя линия АВС  MN ‖ BC.

По лемме, так как ВС⊥AD, то MN⊥AD.

Т. к. ВС⊥AD(по лемме)⇒ MN⊥AD.

Отвечают на вопросы учителя.

Учащиеся работают в парах, разбирают доказательство теорем по учебнику.

Два ученика из класса доказывают теоремы у доски.

Один учащийся выполняет задание у доски, а остальные в тетрадях.

Дано: АВСD – квадрат, АВ = а, АС∩BD = О, ОК⊥(АВС), ОК=b.

Найти: АК, ВК, СК, DK

Решение:

Треугольники АОК, ВОК,

СОК, DОК равны по двум катетам, так как прямая ОК –перпендикуляр к плоскости квадрата АВСD, ОК⊥АС, ОК⊥BD.

Запись на доске и в тетрадях:

ОК⊥(АВС) → ОК⊥АС, ОК⊥BD.

∆ АОК, ∆ ВОК, ∆ СОК, ∆ DОК равны по двум катетам.

Отрезки АК, ВК, СК, DK равны.

Запись на доске и в тетрадях:

АК=ВК= СК= DK

Применяя теорему Пифагора,

.

Ответ: АК=ВК= СК= DK=

К -  Устанавливать причинно-следственные связи.  Планирование успешного сотрудничества, взаимодействие, общие способы работы;

П - Поиск и выделение необходимой информации.  Строить речевые высказывания в устной и письменной форме

Р -   Планировать деятельность 

Л - Самоопределение с целью получения наивысшего результата

П- Выбор наиболее эффективных способов решения, знаково-символические действия.

Умение структурировать знания. Контроль и оценка процесса и результатов деятельности. Владеть общим приемом решения задач.

Л -Аргументированно оценивать свои и чужие высказывания 

П  – Анализировать, доказывать, делать выводы

Р -Уметь работать по коллективно, проговаривать  последовательность действий на уроке.

К - Понимать позицию другого человека

П -  Осуществлять поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием учебной литературы.

Владеть смысловым чтением. Произвольно и осознанно владеть общим приемом доказательства теорем

Р - Уметь оформлять запись доказательства теорем, проговаривать  последовательность действий.

К -  уметь сравнивать решения, вести диалог

Л - Самоопределение с целью получения наивысшего результата

П - Преобразование символьных форм, перевод с одного языка на другой. Выбор наиболее эффективных способов решения.

Р -  Учитывать правило в планировании и контроле способа решения.

Подведение итогов

Учитель задает вопросы:

1. Какие две прямые в пространстве называются перпендикулярными?
2. Какую лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой мы изучили?
3. Какие две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости, мы  изучили?

Отвечают на вопросы учителя

Р - Контроль и оценка способов своей деятельности

Л - Самооценка на основе критерий успешности

Рефлексия

Отношение к уроку – продолжи предложение

1Сегодня я узнал…
2. Было интересно…
3. Было трудно…

Рассказывают, что

знают, что нового

узнали на уроке,

какую работу выполняли.

Осуществляют самооценку учебной деятельности

К -Выражение своих мыслей  с достаточной полнотой и точностью.

П -Рефлексия способов и условий действий

Р- Контроль и оценка своей деятельности в рамках урока

Л- Нравственно-этическое оценивание усваиваемого содержания.

Выставление отметок

Учитель выставляет ученикам отметки за урок.

Домашнее задание

П.15 – 16, №116, 119.

Учащиеся записывают домашнее задание в дневники

Р -  Уметь вносить необходимые коррективы при заполнении дневника  

Л - Готовность к самообразованию и самовоспитанию

Слайд №1

                                                                         Слайд №2

Слайд № 3

Слайд №4

Слайд №5

Слайд №6

Слайд № 6

Слайд №7