Научно-исследовательская работа " Удивительный мир многогранников"
творческая работа учащихся по геометрии

Городская сессия научного общества учащихся

Секция «Прикладная математика»

Тема: «Удивительный мир многогранников»

Адыкаева Айсура Алексеевна, 5 Д класс,

МБОУ «Лицей №1 им.М.В. Карамаева»

Научный руководитель:

 Букачакова Радмила Раджевна

Учитель математики

г.Горно-Алтайск

2021

Введение

 На уроках  введение в геометрию  мы познакомились с правильными многогранниками. Учились строить изображения многогранников, определять количество вершин, граней и ребер, устанавливать соответствие между многогранником и его разверткой и приводили примеры из окружающего мира. И мне захотелось больше узнать «Существуют ли другие многогранники? И где в окружающем мире их можно встретить?»

Я решила изучить различные виды многогранников.

• Узнать о применении многогранников и многогранных форм в окружающем нас мире.
• Изготовить модель многогранников  и найти его применение в своей личной жизни.

Я считаю, что мой проект является актуальным, потому что в нем говорится о многогранниках вокруг нас.

Цель исследования: познакомиться с видами многогранников, их применением в окружающем мире.

Объект исследования: многогранники.

Предмет исследования: многогранники и многогранные поверхности в окружающем мире.

Задачи:

- изучить исторический материал по данной теме;

- ознакомится с различными видами многогранников;

- рассмотреть область применения многогранников;

- изготовить модели многогранников.

Методы исследования: сбор информации, обработка данных, исследование, сравнение, анализ.

Виды многогранников

В течение многих веков математики проявляли живейший интерес к многогранникам. Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью, но и большой практической ценностью. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне.

Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней – рёбра многогранника, а концы рёбер – вершины многогранника.

Бывают выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Невыпуклый многогранник расположен по разные стороны от плоскости одной из его граней.

Правильные многогранники – это выпуклые многогранники, у которых все грани правильные и равные многоугольники. Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются «платоновыми» телами. Оказывается, что правильных многогранников ровно пять - ни больше ни меньше. Ведь для того, чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник, в каждой вершине, согласно его определению, должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником.

Древнегреческий ученый Архимед (287 г. до н.э. – 212 г. до н.э.) обобщил понятие правильного многогранника и открыл новые математические объекты – полуправильные многогранники. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда.  Множество архимедовых тел можно разбить на несколько групп. Первую из них составят пять многогранников, которые получаются из платоновых тел в результате их усечения. Так могут быть получены пять архимедовых тел: усечённый тетраэдр, усечённый гексаэдр (куб), усечённый октаэдр, усечённый додекаэдр и усечённый икосаэдр. Вторая группа архимедовых тел представлена двумя многогранниками, являющимися результатом пересечения двух платоновх тел подходящих размеров и расположенных так, что их центры совпадают. Это кубооктаэдр - результат пересечения куба и октаэдра и икосадодекаэдр - результат пересечения икосаэдра и додекаэдра. В результате усечения кубооктаэдра и икосододекаэдра получены следующие два многогранника – ромбокубооктаэдр и ромбоикосододекаэдр. Дальнейшее видоизменения могут превратить их в два других многогранника- усеченный кубооктаэдр и усеченный икосододекаэдр. Последние два архимедовых тел- «курносый» куб и «курносый» додекаэдр. Термин курносый означает, что каждую грань многогранника окружили треугольники, что каждое ребро заменили парой треугольников, а в каждой вершине добавили еще один многоугольник.

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Это правильные невыпуклые многогранники, у которых грани пересекаются. Их всего четыре. Иоганн Кеплер (1571 – 1630 гг.) - немецкий математик, астроном, оптик, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, впервые описал малый звездчатый

додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр. А спустя 200 лет Луи Пуансо Пуансо (1777-1859) построил большой икосаэдр и большой додекаэдр.

Многогранники вокруг нас.

1. Многогранники в искусстве.

Исторически математика играла важную роль в изобразительном искусстве.

Леонардо да Винчи (1452 — 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

Правильные многогранники - имели особое очарование для голландского художник Морица Корнилиса Эшера (1898-1972). Во многих его работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. На гравюре "Четыре тела" он изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Почтовые марки охватывают все значимые события в мире. Не обошли вниманием художники - филателисты и изображения многогранников. Почтовая марка, посвященная Леонарду Эйлеру с изображением икосаэдра, выпущена в 1983 г., в ГДР, к 200- летию ученого.

На выпущенной в 1980 году в Венгрии марке, изображен математик и астроном Иоганн Кеплер и его модель Вселенной на базе правильных многогранников.

Выпущенная в Монголии марка, содержит копию гравюры Альбрехта Дюрера «Меланхолия». Один из множества элементов гравюры многогранник – усеченная сверху и снизу призма.

2. Многогранники в архитектуре

История развития многогранников архитектуре уходит глубоко в историю. Многогранники начали использовать в архитектуре давно, более 7 тыс. лет. Великая пирамида в Гизе - эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из семи чудес древности.

У Китая свои особенности использования многогранников в архитектуре. В основе лежит обязательно многогранник, который и служит основой для здания.

Многогранники не только придают прочность и устойчивость архитектурным сооружениям, но и красоту, изящество. Многие здания настолько красивы и сложны по своей форме, что требуют большого количества времени, сил. Современные архитекторы приобрели навык применения изящества, состоящие из множества сложных элементов, требующих большой работы.

Памятник правильным многогранникам в Германии Стеклянная пирамида Лувра в Париже

Здание национальной библиотеки г. Минск

В нашем городе элементы многогранников присутствуют на многих зданиях: национальный театр, здание банка, здание судебного департамента. Торговый центр, Купольный отель «Вдох» в Чемале.

3. Многогранники в химии и биологии

Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ. Кристаллы многих металлов так же имеют форму куба (алюминий, серебро, свинец и др.)

Поваренная соль

Интересно, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов. Чтобы установить форму вируса, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.

Вирус краснухи

Вирус ветряной оспы

Бактериофаг

4. Многогранники в природе

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе.

Построенные пчелами соты представляют собой правильные шестиугольные призмы.

С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. Снежинки - это звездчатые многогранники.

Мир кристаллов - мир не менее красивый и разнообразный. С кристаллами человечество познакомилось в глубокой древности. Связано это, в первую очередь, с их часто реализующейся в природе способностью самоограняться, т. е. самопроизвольно принимать форму изумительных по совершенству полиэдров. Даже современный человек, впервые столкнувшись с природными кристаллами, чаще всего не верит, что эти многогранники не являются делом рук искусного мастера.

Кристалл алмаза Кристалл рубина

Кристалл можно вырастить в домашних условиях.

Растворить соль в теплой воде. (Можно использовать поваренную соль (тогда кристалл будет прозрачный), но более красивый кристалл получается при использовании медного купороса (тогда кристалл будет синим). Можно использовать и другие вещества (сахар и различные соли)).

Когда соль перестанет растворяться в вашем растворе (получится перенасыщенный раствор), перелить его в другую емкость (лучше всего в прозрачную, так как тогда вы сможете легче наблюдать за ростом кристалла).

Опустить в раствор нитку с кристалликом соли на конце (это «затравка» для роста большого кристалла) и зафиксировать так, чтобы он не касался стенок и дна сосуда.

Постепенно наш кристалл будет расти и, когда он достигнет нужного размера, аккуратно вытащите его и обсушите.

5. Многогранники в жизни человека

С многогранниками мы знакомы с детских лет. О них напоминают окружающие нас предметы: кирпич, комната, книга, аквариум, различные упаковки и др.

Головоломки

Футбольный мяч

В современном мире многие предметы интерьера имеют формы многогранников.

Многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений.

Модели многогранников.

Практическим этапом моей работы стало изготовление моделей многогранников и применение их в моей личной жизни.  Процесс изготовления моделей оказался очень увлекательным, что мне пришла мысль изготовить из одного многогранника -  фоторамку.

Чаще всего при создании моделей многогранников из плоских разверток используют такие развертки, в которых грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания развертки вдоль ребер. Например, при создании моделей правильных многогранников чаще всего используют следующие развертки. Я же решила каждую грань вырезать в виде рамки установить свои фотографии и заламинировать.

Заключение

При написании исследовательской работы я изучила дополнительную литературу и расширила свои знания по данному вопросу: узнала, что многогранники имеют красивые формы, они обладают богатой историей, познакомилась с видами многогранников. Решая поставленную проблему, я убедилась, что многогранники – это не просто геометрические тела, они окружают нас в жизни, в природе, в искусстве, архитектуре, науке. Многогранник – это величайшее открытие человечества. Систематизировав полученную информацию, я заметила, что в окружающем мире преобладают правильные многогранники.

Практическим этапом моей работы стало изготовление «Фоторамки» из модели многогранника. Процесс изготовления моделей оказался очень увлекательным. Модели выполнены из разверток и в технике оригами.

Считаю, что полученные в ходе исследования знания и навыки пригодятся мне в старших классах при изучении темы «Многогранники».  А выполненные мною модели могут быть использованы на уроках математики, как наглядный материал.

Цель моей работы достигнута.

Список литературы и Интернет – ресурсов

Бунимович Е.А.Математика 5. – М.: Просвещение, 2016

Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов. – М: Мирос 1992.

Мир многогранников http://www.sch57.msk.ru:8101/collect/smogl.htm

История математики http://mschool.kubsu.ru/