Геометрия, 9 класс. Технологические карты уроков по учебнику Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, Е.Г.Позняка, .....
материал по геометрии (9 класс)

Цель деятельности учителя

Создать условия для обобщения и систематизации сведений, необходимых при изучении геометрии в 9 классе,

повторения некоторых свойств треугольников и четырехугольников, закрепления знаний учащихся в ходе решения задач

Термины и понятия

Параллелограмм, прямоугольник, трапеция, ромб, треугольник, площади, теорема Пифагора

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют систематическими знаниями о плоских фигурах и их свойствах

Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры
и контрпримеры.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ресурсы

• Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев,
Э. Г. Позняк, И. И. Юдина. М.: Просвещение, 2018*.

• Готовые чертежи к заданиям

I этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Совместная деятельность

Повторить изученный в 8 классе материал

(Ф) Теоретический опрос:

– Дайте определение параллелограмма. Перечислите его свойства и признаки.

– Дайте определение прямоугольника. Перечислите его свойства и признаки.

– Дайте определение ромба. Перечислите его свойства и признаки.

– Дайте определение трапеции. Назовите виды трапеций. Перечислите свойства равнобедренной трапеции

II этап. Решение задач

Цель деятельности

Совместная деятельность

Систематизировать теоретические знания при решении задач на повторение

(Г) 1. Решение задач:

1) Докажите, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на высоте, проведенной к основанию.

2) Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к его основанию, или на ее продолжении.

3) Докажите, что треугольник является равнобедренным, если две его медианы равны.

4) Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то центр вписанной в него окружности лежит на одной из медиан этого треугольника, а центр описанной окружности – на той же медиане или ее продолжении.

5) Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

(П) 2. Решение задач по готовым чертежам.

1) Дано: NQ = MQ. 4) Дано: MLKN – параллелограмм. MN : ML = 2 : 1.

Найти: . Найти: SMLKN.

Рис. 1 Рис. 4

2) Дано: KMTF – трапеция. 5) Дано: ТMNK – трапеция. МK = 15, МЕ = 9.

Найти: sinРK, соsРK. Найти: STMNK.

Рис. 2 Рис. 5

3) Дано: АВСD – параллелограмм. 6) Найти: NC.

Найти: SАВСD.

Рис. 3 Рис. 6

7) Найти: ВС. 8) Найти: LM. 9) Найти: MN.

Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Какие темы повторили на уроке?

– Что еще, по вашему мнению, предстоит повторить на следующем уроке?

(И) Домашнее задание: повторить материал пунктов 15; 17–20; 30; 42–46; 49–55; решить задачи № 167, 163, 502, 513

Цель деятельности учителя

Создать условия для обобщения и систематизации сведений, необходимых при изучении геометрии в 9 классе, повторения некоторых свойств треугольников и четырехугольников, закрепления знаний учащихся в ходе решения задач

Термины и понятия

Параллелограмм, прямоугольник, трапеция, ромб, треугольник, высота; окружность, вписанная в треугольник; центральный угол, вписанный угол, хорда

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Имеют систематические знания о плоских фигурах и их свойствах

Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры и контрпримеры.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Чертежи к задачам

I этап. Решение задач

Цель деятельности

Совместная деятельность

Обобщить и систематизировать знания по изученному материалу 8 класса

(Ф/И) 1. Обсуждение вопросов учащихся по домашнему заданию.

(П) 2. Решение задач.

1) Найдите длины отрезков, соединяющих середины сторон трапеции с равными диагоналями, если ее основания равны 7 см и 9 см, а высота равна 8 см.

2) Вычислите площадь треугольника АВС, если AB = 8,5 м, АС = 5 м, высота АN = 4 м и точка N лежит на отрезке BC.

3) Вершины четырехугольника ABCD являются серединами сторон четырехугольника, диагонали которого равны
6 дм и пересекаются под углом 60°. Вычислите площадь четырехугольника ABCD.

4)

Рис. 1

Дано: РВАD = РВСD = 90°, РСВD = РАDВ.

Доказать: АВ = СD.

(Ф) 3. Решение задач по готовым чертежам.

1) Дано: ΔMEN – прямоугольный. 3) Дано: ΔАВС – прямоугольный, 5) Дано: РNMC = 75°,

Найти: OK. АВ = 52. ИNM : ИMC = 2 : 1.

Найти: РАВС. Найти: РО.

Рис. 2 Рис. 4 Рис. 6

2) Дано: ΔLMN и вписанная 4) Дано: АВ + СЕ = СD. 6) Найти: RE.

в него окружность. Найти: OD.

Найти: РN.

Рис. 3 Рис. 5 Рис. 7

7) Дано: EL зк NK 8) Дано: АВСD – ромб.

Найти: MN. Найти: BF.

Рис. 8 Рис. 9

II этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Какие темы повторили на уроке?

– Задайте три вопроса по теме урока

(И) Домашнее задание: решить задачи № 515, 517, 524

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятий вектора, его начала и конца, нулевого вектора, длины вектора, коллинеарных, сонаправленных, противоположно направленных, равных векторов

Термины и понятия

Вектор, ненулевой вектор, равенство векторов, коллинеарные векторы, сонаправленные векторы, противоположно направленные, длина вектора

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют формулировать определения и иллюстрировать понятия вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов

Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры и контрпримеры.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Чертежи к задачам

I этап. Актуализация опорных знаний. Вводное повторение

Цель деятельности

Совместная деятельность

Организовать повторение изученного материала по геометрии 8 класса

(Ф/И) 1. Устный опрос по теории:

1) Сформулируйте определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

2) Дайте понятие равнобедренного треугольника, назовите его свойства, признаки равенства треугольников.

3) Дайте определение средней линии треугольника и сформулируйте ее свойство.

4) Сформулируйте теорему Пифагора и обратную ей теорему.

5) Назовите формулу для вычисления площади треугольника.

6) Дайте понятие параллелограмма, свойств и признаков параллелограмма, ромба, прямоугольника.

7) Дайте определение трапеции, назовите виды трапеций.

8) Как вычисляется площадь параллелограмма, трапеции, треугольника, ромба?

9) Назовите четыре замечательные точки треугольника.

(Ф) 2. Решение задач по готовым чертежам.

1) Дано: АВСD – квадрат. 3) Дано: АВСD – трапеция.

Найти: РАМСK, SАМСK. Найти: РАВСD, SАВСD.

Рис. 1 Рис. 3

(Ответ: РАМСK = 16, SАМСK = 12.) (Ответ: РАВСD = 12 + + , SАВСD = + 6.)

2) Дано: АВСD – прямоугольник. 4) Дано: РАBС, BM = 2, AK = 4, KC = 3, РB = 60°.

Найти: РАВО, SАВО. Найти: РАОС, РАВС.

Рис. 2 Рис. 4

(Ответ: РАВО = 16, SАВО = 12.) (Ответ: РАОС = 120°, РАВС = 18.)

II этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие вектора

(Ф) Материал рекомендуется изложить в виде лекции:

1. Понятие векторных величин (или коротко – векторов).

2. Примеры векторных величин, известных учащимся из курса физики: сила, перемещение материальной точки, скорость и другие (учебник, рис. 240).

3. Определение вектора (рис. 241, 242).

4. Обозначение вектора двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например, или обозначение одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: (рис. 243, а, б).

5. Понятие нулевого вектора: любая точка плоскости также является вектором; в этом случае вектор называется нулевым; обозначают: (рис. 243, а).

6. Определение длины или модуля ненулевого вектора . Обозначение: , . Длина нулевого
вектора = 0.

7. Нахождение длин векторов, изображенных на рисунках 243а и 243б.

8. Выполнение практических заданий № 738, 739.

9. Рассмотрение примера движения тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении (учебник, п. 80, рис. 244).

10. Введение понятия коллинеарных векторов (рис. 245).

11. Определение понятий сонаправленных векторов и противоположно направленных векторов, их обозначение
(рис. 246).

12. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

13. Определение равных векторов: если и , то .

14. Объяснение смысла выражения: «Вектор отложен от точки А» (рис. 247).

15. Доказательство утверждения, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (рис. 248).

16. Выполнение практического задания № 743.

17. Решение задачи № 749 по готовому чертежу на доске (устно)

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навык решения задач на закрепление изученной темы

(Ф/И)

1. Решить задачу № 740 (а) на доске и в тетрадях.

2. Решить задачу № 744 (устно).

3. Решить задачу № 742.

4. Решить задачу № 745 (выборочно).

5. По заготовленному чертежу решить задачу
№ 746 (устно).

6. Доказать прямое утверждение в задаче
№ 750

№ 750.

Рис. 5

По условию , то AB || CD, значит, по признаку параллелограмма АВDС – параллелограмм, а диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит, середины отрезков AD и BC совпадают

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– С каким понятием познакомились на уроке?

– Назовите векторные величины из физики

(И) Домашнее задание:

1. Решить задачи по готовым чертежам:

1) Дано: АС = 13. 2) Найти: РВАD, РВСD.

Найти: АМ, МС.

Рис. 6 Рис. 7

2. № 740 (б), 747, 750 (обратное утверждение), 751

Цель деятельности учителя

Создать условия для обучения откладыванию вектора, равного данному

Термины и понятия

Вектор, ненулевой вектор, равенство векторов, коллинеарные векторы, сонаправленные векторы, противоположно направленные, длина вектора

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют формулировать определения и иллюстрировать понятия вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов

Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры и контрпримеры.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Задания для самостоятельной и парной работы.

• Готовые чертежи к задачам

I этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

(Ф) 1. Проверка домашнего задания. К доске вызываются двое учеников и демонстрируют решение задач по готовым чертежам.

2. Обсуждение вопросов по выполнению домашнего задания.

3. Теоретический опрос:

Рис. 1 Рис. 2

1) Назовите все векторы, изображенные на рисунках.

2) Среди изображенных векторов укажите коллинеарные, сонаправленные, противоположно направленные, равные

II этап. Мотивация к деятельности

Цель деятельности

Совместная деятельность

Научить откладывать от заданной точки вектор, равный данному

(И) Самостоятельно прочитайте в учебнике п. 81. (Один из учеников у доски комментирует прочитанное.)

(Ф/И)

1) Постройте три попарно неколлинеарных вектора . Выполните задания: постройте вектор, коллинеарный вектору , сонаправленный с вектором , противоположно направленный вектору ; отложите от точки О вектор, равный вектору .

2) Дан прямоугольник АВСD со сторонами 3 и 4. Найдите длину вектора

III этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень усвоения теоретического материала

(И) Самостоятельная работа с самопроверкой. Первое задание проверяет учитель.

Вариант I

1. Даны векторы:

Рис. 3

Отложите от точки А вектор:

1) равный ;

2) сонаправленный ;

3) противоположно направленный .

2. АВСD – ромб. Равны ли векторы: а) ; б) ; в) ?

Вариант II

1. Даны векторы:

Рис. 4

1) равный ;

2) сонаправленный ;

3) противоположно направленный .

2. АВСD – квадрат. Равны ли векторы: а) ; б) ; в) ?

Ответы:

Вариант I Вариант II

2. а) ; б) ; в). 2. а) ; б) ; в)

IV этап. Решение задач на повторение

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Повторить материал 7–8 классов

(П) Решить задачу.

Найти периметр описанной около окружности прямоугольной трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см, а радиус окружности равен 4 см

Краткое решение:

1) Найдем бо́льшую боковую сторону по теореме Пифагора:

2) Около окружности можно описать трапецию, если суммы длин противоположных сторон равны:

х + х + 6 = 8 + 10; х = 6.

3) Р = 8 + 6 + 12 + 10 = 36 см.

Ответ: 36 см

V этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Оцените свою работу на каждом этапе урока.

– Какой этап оказался для вас наиболее сложным? Почему?

(И) Домашнее задание: № 748, 749, 752

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятия суммы двух векторов, рассмотрения законов сложения векторов, обучения построению суммы двух данных векторов с использованием правила треугольника и параллелограмма

Термины и понятия

Вектор, сумма векторов, разность векторов, правило треугольника, правило параллелограмма

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять векторы, находить сумму и разность векторов, строить сумму и разность векторов

Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Задания для фронтальной работы

I этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить правильность выполнения домашнего задания

(Ф/И)

Проверить решение задачи № 752.

а) Если , то и .

Ответ: верно.

б) Если , то , то есть коллинеарные.

Ответ: верно.

в) Если , то , значит – не может быть.

Ответ: неверно.

г) Если , то не обязательно , так как может быть, что .

Ответ: неверно.

д) Если , то , так как сонаправлен с любым вектором.

Ответ: верно

II этап. Учебно-познавательная деятельность

Цель деятельности

Совместная деятельность

Научить строить сумму векторов, используя правило треугольника и правило параллелограмма

(Ф)

1. Рассмотреть пример п. 82 о перемещении материальной точки из точки А в точку В, а затем из точки В в точку С (рис. 249).

Записать: .

2. Ввести понятие суммы двух векторов (рис. 250); правило треугольника .

3. Устно провести доказательство по рис. 251.

4. Записать в тетрадях:

1) для любого вектора справедливо равенство ;

2) если А, В и С – произвольные точки, то (правило треугольника).

5. Выполнить практическое задание № 753.

6. Рассмотреть законы сложения векторов.

7. Рассмотреть правило параллелограмма (рис. 252) и частное использование этого правила в физике, например при сложении двух сил

III этап. Практическая работа. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения

задач

(Ф/И)

1. Начертите попарно неколлинеарные векторы. Постройте векторы.

2. Решите № 759 (а) без помощи чертежа.

3. Упростите выражения:

1) ; 2) .

(П)

4. Найдите вектор из условий:

1) ;

2) .

5. Докажите, что четырехугольник ABCD – параллелограмм, если , где Р и х – произвольные точки плоскости

№ 759 (а).

Докажите, что .

Доказательство:

– равенство верно.

1) ; 2) .

1) ;

2) .

Доказательство:

; , получим, что векторы равны, а это значит, что и , тогда по признаку параллелограмма ABCD – параллелограмм

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Какие правила для построения суммы векторов изучили на уроке? В чем их отличие?

– Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: № 754, 759 (б) (без чертежа), 763 (б, в)

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятий суммы трех и более векторов, разности векторов, для обучения построению суммы двух и нескольких векторов с использованием правила многоугольника, разности векторов

Термины и понятия

Вектор, сумма векторов, правило треугольника, правило параллелограмма, правило многоугольника, разность векторов

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять векторы, находить сумму и разность векторов, строить сумму и разность векторов

Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Задания для самостоятельной работы

I этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Выявить уровень усвоения теоретического материала

(Ф) 1. Решение задач (устно).

1) Найдите вектор x из условия:

а) ; б)

2) Упростите выражение:

а) ; б)

(И) 2. Самостоятельная работа (письменно).

Вариант I

1. Начертите четыре попарно неколлинеарных вектора Постройте вектор

2. Упростите выражение:

Вариант II

1. Начертите пять попарно неколлинеарных векторов Постройте вектор

2. Упростите выражение:

Работа выполняется на листках и сдается учителю на проверку

II этап. Работа по учебнику

Цель деятельности

Совместная деятельность

Развивать умения работать самостоятельно (используя текст учебника, разобрать новый материал)

(И/Ф)

1. Используя рис. 253, разобрать сложение нескольких векторов.

2. Дать понятие о том, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

3. По рис. 254 в учебнике рассмотреть построение суммы шести векторов.

4. Определить, в чем заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов.

5. Записать в тетради правило многоугольника: если Ai, A2, ..., An – произвольные точки плоскости, то

6. Рассмотреть рис. 255 (а, б).

При сложении нескольких векторов сумма данных векторов может быть равна нулевому вектору, если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора

III этап. Мотивация к деятельности

Цель деятельности

Совместная деятельность

Дать задания, способствующие пониманию новой темы

(Ф)

– Что значит из числа a вычесть число b?

– Найдите вектор из равенства: а) ; б) .

– Сформулируйте правило вычитания двух отрицательных чисел.

– Укажите вектор, противоположный вектору .

– Упростите выражение: а)

IV этап. Учебно-познавательная деятельность

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие разности векторов и научить строить разность векторов

(Ф)

1. Предложить учащимся самим сформулировать определение разности двух векторов.

2. Дать определение разности двух векторов (формулирует учитель): .

3. Рассмотреть задачу о построении разности двух векторов (рис. 256).

4. Ввести понятие вектора, противоположного данному (рис. 257).

5. Провести доказательство теоремы о разности векторов: для любых векторов и справедливо равенство .

6. Решить задачу о построении разности векторов и другим способом (рис. 258)

V этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения

задач

(Ф/И)

1. Выполнить на доске и тетрадях практическое задание № 755, 756.

2. Решить задачу № 761 (без чертежа).

3. Решить № 762.

4. Решить задачу № 766 по рис. 259 (устно).

5. Решить задачу № 764 (а) на доске и в тетрадях.

6. Решить № 765 и 772

№ 762.

Рис. 1

Дано: ΔАВС – равносторонний со стороной а.

Найти: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Решение:

а)

б) Проведем CD зз АВ и BD зз AC. ABCD – параллелограмм (по определению) и смежные стороны АВ = АС = а, значит, ABCD – ромб. По правилу параллелограмма , то есть = АD, АD – диагональ ромба, значит:
АD = 2АО, АО ⊥ ВС и О – середина ВС.

Из прямоугольного ΔАОС (РО = 90°) по теореме Пифагора:
АО2 = АС2 – ОС2 = а2 – , то есть , АD = 2 · АО = 2 · .

в) Проведем DE ззBC и DE = BC. Тогда и

(как противолежащие стороны параллелограмма). Тогда , CDEB – ромб по строению со стороной а и CDEB = ABDC, значит, диагональ CE = AD =

г) По правилу треугольника: , значит, , то есть . .

д) По правилу треугольника: , значит, , то есть . .

Ответ: а; ; ; а; а.

№ 765.

Воспользуемся правилами:

1) ;

2) , ;

и тем, что , например, правило треугольника: .

№ 772.

Дано: АВСD – параллелограмм, Х – любая точка плоскости.

Доказать: .

Доказательство:

(по правилу треугольника).

(по правилу треугольника).

Получаем:

, . Сравнивая левую и правую части уравнения, получаем , а это является верным равенством, так как и (так как
АВ ззСD и АВ = СD, как противолежащие стороны параллелограмма

VI этап. Итоги урока Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Используя какие правила, можно найти сумму двух векторов, трех и более векторов?

– Как найти разность векторов?

– Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: № 760, 774, 757, 764 (б), 767

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятия умножения вектора на число; для рассмотрения основных свойств умножения вектора на число

Термины и понятия

Вектор, коллинеарные векторы, сонаправленные, противоположно направленные

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять векторы, находить вектор, который больше или меньше данного вектора в несколько раз

Познавательные: умеют создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач.

Регулятивные: умеют осуществлять контроль по результату и способу действий на уровне произвольного внимания и вносить необходимые коррективы.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Задача для парной работы;

• задания для проверочной работы;

• чертежи для задач

I этап. Мотивация к деятельности

Цель деятельности

Постановка учебной деятельности

Дать задачу, приводящую к формулировке новой темы

Тему урока на доске можно не писать. После решения задачи учащиеся могут сами ее сформулировать.

(П) Решите задачу.

Лодка движется прямолинейно с некоторой скоростью и обгоняет плот, плывущий в том же направлении со скоростью в три раза меньшей скорости лодки. Навстречу им движется катер со скоростью в два раза меньшей скорости лодки. Сделайте рисунок к данной задаче

II этап. Учебно-познавательная деятельность

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие умножения ненулевого вектора на число

(Ф) 1. Определение произведения вектора на число, его обозначение: (рис. 260).

2. Запись в тетрадях:

1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

2) для любого числа k и любого вектора векторы и коллинеарные.

3. Основные свойства умножения вектора на число:

Для любых чисел k, l и любых векторов , справедливы равенства:

1) (kl) = k () (сочетательный закон) (рис. 261);

2) (k + l) = + (первый распределительный закон) (рис. 262);

3) k( + ) = + (второй распределительный закон) (рис. 263).

Рассмотренные нами свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях.

Например:

p = 2(a – b) + (c + a) – 3(b – c + a) = 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = –5b + 4c

III этап. Закрепление изученного материала. Решение задач

Цель деятельности

Совместная деятельность

Cовершенствовать навыки решения задач

(Ф/И)

1. Выполнить практические задания № 776 (б, г, д), 777.

2. Решить задачи № 779, 781 (а, в) на доске и в тетрадях.

3. Решить задачу № 780 (б)

IV этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения

задач

(Ф/И)

1. Выполнить практическое задание № 756.

2. Решить задачу № 766 по рис. 259 (устно).

3. Решить задачу № 764 (а) на доске и в тетрадях.

4. Решить № 765 и 772.

5. Решить задачи по готовым чертежам:

1)

Рис. 1

Дано: АВСD – параллелограмм, . Выразить через и векторы .

2)

Рис. 2

Дано: АВСD – прямоугольник,, Е – середина ВС, F О АВ, AF : FB = 3 : 2, Р – середина ВО.

Выразить через и векторы

3)

Рис. 3

Дано: АВСD – трапеция,

Выразить через и векторы

6. Решить задачу № 782 на доске и в тетрадях.

7. Решить задачу № 802 на доске и в тетрадях

№ 764.

Решение:

a) (AB + BC – MC) – (MD – KD) = (AB + BC) + (MD – MC) –

– KD = (AC + CD) – KD = AD – KD = AD + DK = AK.

Ответ: AK

V этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень усвоения материала

(И) Проверочная работа с самопроверкой. (Учитель заранее готовит правильные ответы.)

1) Построить: а) ; б) 2; в) ; г) (рис. 4).

Рис. 4

2) Дан параллелограмм АВСD.

Построить векторы:

VI этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Что нового узнали на уроке?

– Сформулируйте три вопроса по уроку

(И) Домашнее задание: повторить материал пунктов 76–83; ответить
на вопросы 1–17, с. 208–209 учебника; решить задачи № 783, 804, 775, 776 (а, в, е), 781 (б), 780 (а)

Цели деятельности учителя

Создать условия для того, чтобы на конкретных примерах показать применение векторов при решении геометрических задач, для обучения решению задач; способствовать развитию логического мышления учащихся

Термины и понятия

Векторы

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять векторы при решении
задач

Познавательные: умеют создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач.

Регулятивные: умеют осуществлять контроль по результату и способу действий на уровне произвольного внимания и вносить необходимые коррективы.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Задания для самостоятельной работы

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

(Ф/И)

1. Обсудить вопросы учащихся по выполнению домашнего задания.

2. Самостоятельно выполнить задания с последующим обсуждением.

1) Упростите выражение .

2) Из условия найдите вектор .

3) В трапеции ABCD ABъъ CD, AB = 3CD. Выразите через векторы и векторы и где М – середина ВС, а N – точка на стороне АВ, такая, что AN : NB.

3. Заполнить пропуски при решении задачи:

Дано: АВСD – параллелограмм, Е О АВ, АЕ : ЕВ = 3 : 2, .

Выразить: и через и .

Решение:

тогда = …

Так как АЕ : ЕВ = 3 : 2, то ЕВ = … АВ, поэтому = … следовательно, = …

II этап. Работа по учебнику

Цель деятельности

Совместная деятельность

Совершенствовать умение работать

самостоятельно

(используя учебник, разобрать задачи на применение векторов)

(Ф)

1. Дать понятие о том, что векторы могут использоваться для решения геометрических задач. Рассмотреть вспомогательную задачу (п. 84, с. 208).

2. Разобрать по рис. 264 решение задачи 1 и 2 в учебнике на с. 204

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Совместная деятельность

Совершенствовать навыки решения

задач

(Ф/И)

1. Решить задачу № 784 на доске и в тетрадях.

2. Решить задачу № 786 на доске и в тетрадях

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Задайте три вопроса по уроку

(И) Домашнее задание: № 785, 788

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятия средней линии трапеции и доказательства теоремы о средней линии трапеции

Термины и понятия

Трапеция, средняя линия

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять векторы при доказательстве теоремы о средней линии трапеции

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, выводы.

Регулятивные: умеют осуществлять контроль по результату и способу действий на уровне произвольного внимания и вносить необходимые коррективы.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: проявляют критичность мышления

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Задания для индивидуальной работы

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

(Ф/И)

1. Обсудить вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Ответить на вопросы:

1) Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы и противоположно направленные векторы.

2) Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?

3) Могут ли векторы и быть неколлинеарными?

4) Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число

II этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие средней линии трапеции
и доказать соответствующую теорему

(Ф/И)

1. Определение трапеции. Виды трапеций.

2. Определение средней линии трапеции.

3. Доказательство теоремы о средней линии трапеции (проводит учитель).

При доказательстве теоремы целесообразно использовать результат задачи 2, решенной на предыдущем уроке

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навык решения задач

(Ф/И)

1. Решить на доске и в тетрадях задачу № 793.

2. Решить задачу № 795.

3. Решить задачу № 799 на доске и в тетрадях

№ 793.

Рис. 1

Дано: АВСD – трапеция, АВ = 13 см, CD = 15 см, PABCD = 48 см,

М – середина АВ, N – середина CD.

Найти: MN.

Решение:

1) PABCD = AB + BC + CD + AD, P = 48 см, АВ = 13 см, CD = 15 см, значит, BC + AD + 13 + 15 = 48; BC + AD = 48 – 28; BC + AD = 20.

2) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, значит, MN = = 10 см.

Ответ: 10 см.

№ 795.

Рис. 2

Дано: окружность с центром в точке О, АВ – диаметр, а – касательная к окружности (касается в точке Е), ВD ⊥ а, АС ⊥ а, АС = 18 см,

ВD = 12 см.

Найти: АВ.

Решение:

1) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому ОЕ ⊥ а.

2) АС ⊥ а и В ⊥ а, значит, АС ъъ ВD, то есть ABCD – трапеция.

3) ОЕ ⊥ а, АС ⊥ а, ВD ⊥ а, значит, ОЕ ъъ АС ъъ ВD и АО = ОВ (как радиусы), значит, по теореме Фалеса СЕ = ЕD, а это означает, что ОЕ – средняя линия трапеции ABCD.

4) Средняя линия трапеции ABCD равна полусумме оснований, поэтому ОЕ = = 15 (см).

5) ОЕ = 15 см и ОЕ – радиус, значит, диаметр АВ = 2 · ОЕ = 2 · 15 = = 30 (см).

Ответ: 30 см.

№ 799.

Рис. 3

Дано: ABСD – равнобедренная трапеция, АВ = CD, BK ⊥ AD, KD = = 7.

Найти: среднюю линию.

Решение:

1) EF – средняя линия трапеции, EF З BK = P, EF З CM = S

(CM ⊥ AD).

2) Пусть KM = a, тогда ВС = а (так как KBCM – прямоугольник). Пусть AK = b, тогда MD = b ( тогда ΔABK = ΔDCM по гипотенузе АВ = CD и острому углу РА = РD).

3) В ΔABK ЕР – средняя линия, значит, ЕР = b.

4) В ΔDCM FS – средняя линия, значит, FS = b. EF ъъ ВС, значит, PS ⊥ BK, PBCS – прямоугольник, PS = BC = a.

5) EF = EP + PS + SF = b + a + b = a + b = KM + MD = KD = 7.

Ответ: 7

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Что нового узнали на уроке?

– Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: решить задачи № 787, 794

Цель деятельности учителя

Создать условия для организации и проведения упражнений на основе использования понятия средней линии трапеции и доказательства теоремы о средней линии трапеции

Термины и понятия

Трапеция, средняя линия

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять векторы при доказательстве теоремы о средней линии трапеции

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы.

Регулятивные: умеют осуществлять контроль по результату и способу действий на уровне произвольного внимания и вносить необходимые коррективы.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: проявляют критичность мышления

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Задания для самостоятельной работы

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания; определить уровень владения учебным материалом при решении задач

(Ф/И)

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

(И)

2. Организовать выполнение самостоятельной работы с самопроверкой. (Учитель заранее готовит короткое решение.)

Вариант I

Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание трапеции на два отрезка, меньший из которых равен 2 см. Найдите большее основание трапеции, если ее средняя линия равна 8 см.

Вариант II

Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные 2 см и 6 см. Найдите основание трапеции

Краткое решение:

Вариант I

Рис. 1

1) АН = ЕD = 2 см.

2) МN = (ВС + АD) = 8 см.

3) ВС + AD = 16 см.

4) ВС = НЕ, значит, ВС = х, тогда х + 2 + х + 2 = 16, х = 6, значит, ВС = 6 см, AD = 10 см.

Ответ: 10 см.

Вариант II

Рис. 2

1) Пусть высота из вершины В пересекает MN в точке Е, а из вершины С – в точке О.

2) Тогда МЕ = ON = 2 см.

3) ВС = ЕО = 4 см.

4) АD = 12 см.

Ответ: 12 см

II этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения

задач

(П) Решить № 809

№ 809.

Рис. 3

Дано: АВСD – трапеция, РА = 90°, РС = 120°, АС = а, CD = а.

Найти: среднюю линию трапеции.

Решение:

1) РС = 120°, значит, РD = 60°, так как РС + РD = 180° (как внутренние односторонние при параллельных прямых ВС, AD и секущей CD).

2) ΔАСD равнобедренный, так как АС = CD, значит, РDАС =
= РD = 60°, то есть ΔАСD – равносторонний треугольник (так как у него все углы равны), AD = а.

3) ΔАСD = 60° (по п. 2), РВСD = 120°, поэтому РАСВ = 60°.

Рассмотрим ΔАВС: РВ = 90° (по условию), РАСВ = 60°, значит, РВАС = 180° – 90° – 60° = 30°, ВС = АС = а, так как в прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.

4) ВС = а, АD = а. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть .

Ответ:

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Какой этап урока был для вас наиболее трудным? Почему?

(И) Домашнее задание: № 804,796

Цель деятельности учителя

Создать условия для доказательства леммы о коллинеарных векторах и теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам

Термины и понятия

Лемма, разложение вектора

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять векторы при доказательстве теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы.

Регулятивные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: проявляют критичность мышления

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Чертежи для задач

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие у учащихся при выполнении домашнего задания

(Ф/И)

1. Ответить на вопросы учащихся.

2. Обсудить выполнение домашнего задания (два ученика у доски).

3. Устно решить задачу по заранее заготовленному на доске чертежу.

Дан параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке О, а также отрезки MP и NQ, соединяющие соответственно середины сторон AB и CD, BC и AD. Требуется выразить:

1) вектор через вектор ;

2) вектор через вектор ;

3) вектор через вектор ;

4) вектор через вектор .

– Можно ли для любой пары коллинеарных векторов подобрать такое число, что один из векторов будет равен произведению второго вектора на это число?

II этап. Изучение новой темы

Цель деятельности

Совместная деятельность

Доказать лемму и теорему о разложении вектора

(Ф)

1. Формулировка леммы о коллинеарных векторах.

Для понимания учащимися формулировки леммы полезно обсудить, во-первых, почему важно условие и, во-вторых, будет ли верно утверждение, если рассматривать произвольные (в том числе и неколлинеарные) ненулевые векторы.

2. Доказательство леммы.

3. Решение задачи по чертежу параллелограмма ABCD, выполненному на доске. (Тем самым можно подвести учащихся к мысли о возможности выражения вектора через два данных неколлинеарных вектора.)

Точки M и Q – середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD. Выразите:

– вектор через и ;

– вектор через и ;

– вектор через и ;

– вектор через и .

4. Рассмотрение теоремы о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам. (Полезно обратить внимание на роль леммы в доказательстве.)

III этап. Закрепление изученной темы

Цель деятельности

Совместная деятельность

Совершенствовать навыки решения

задач

(Ф/И)

Решить на доске и в тетрадях:

1. № 911 (а, б); 912 (б, в).

2. № 915 (по готовому чертежу) и 916 (а, б)

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Подведите итог урока.

– Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: № 911 (в, г), 912 (ж, е, з), 916 (в, г)

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятий координат вектора, суммы и разности двух векторов

Термины и понятия

Вектор, координаты вектора, метод координат

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы.

Регулятивные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: проявляют критичность мышления

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Задания для самостоятельной работы

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить уровень сформированности теоретических знаний

(Ф/И)

1. Теоретический опрос:

– доказать лемму о коллинеарных векторах;

– доказать теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

2. Проверка домашнего задания.

3. Решение задач (устно).

1) Назвать числа х и у, удовлетворяющие равенству:

2) Решить задачу № 913.

4. Решение задач № 911 (в) и 912 (и) учащимися у доски

II этап. Изучение новой темы

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие координат вектора

(Ф) 1. Напомнить, как задается прямоугольная система координат, и начертить ее.

2. Ввести координатные векторы и (рис. 275).

3. Сформировать понятие о том, что нулевой вектор можно представить в виде . Его координаты равны нулю: (0; 0).

4. Сформировать понятие о том, что координаты равных векторов соответственно равны.

5. Рассмотреть правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число (доказательства указанных правил учащиеся могут рассмотреть самостоятельно).

6. Записать в тетрадях правила:

Если – данные векторы, то:

1) ;

2) ;

3)

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Совместная деятельность

Совершенствовать навыки решения

задач

(Ф/И)

1. Решить задачу № 917 на доске и в тетрадях.

2. Решить задачу № 918 по рис. 276 (устно).

3. Решить задачу № 919 (самостоятельно).

4. Решить задачу № 920 (а, в) на доске и в тетрадях.

5. Решить задачи № 922–925, используя правила, записанные в тетрадях (устно).

6. Записать утверждение задачи № 927 без доказательства.

7. Решить задачу № 928

IV этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень понимания изученной темы

(И) Учащиеся решают на листках самостоятельную работу и сдают на проверку учителю.

Вариант I

Решить задачи № 912 (а, г), 920 (г), 988 (а, б), 921 (а, в), 914 (а).

Вариант II

Решить задачи № 912 (в, д), 920 (д), 988 (в, г), 921 (б, г), 914 (б)

V этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Задайте три вопроса по данной теме

(И) Домашнее задание: № 798, 795, 990 (а)

Цель деятельности учителя

Создать условия для рассмотрения связи между координатами вектора и координатами его начала и конца, для разбора задачи о нахождении координат середины отрезка, о вычислении длины вектора по его координатам и нахождении расстояния между двумя точками

Термины и понятия

Вектор, координаты вектора, метод координат, координаты середины отрезка, длина вектора, расстояние между точками

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы.

Регулятивные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: проявляют критичность мышления

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Задания для самостоятельной работы

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Выявить уровень теоретических знаний и трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

(Ф/И) 1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Указать ошибки, допущенные учащимися при выполнении самостоятельной работы.

3. Организовать выполнение самостоятельной работы проверяющего характера с взаимопроверкой.

Вариант I

1. Даны векторы и . Найдите координаты векторов:

а) ; в) ;

б) ; г) .

2. Среди векторов , , , укажите пары коллинеарных.

Вариант II

1. Даны векторы и . Найдите координаты векторов:

а) ; в) ;

б) ; г) .

2. Среди векторов , , , укажите пары коллинеарных

1. а) ; в) ;

б) ; г) .

2. и ; и .

1. а) ; в) ;

б) ; г) .

2. и ; и

II этап. Изучение новой темы

Цель деятельности

Совместная деятельность

Рассмотреть формулы для нахождения координат середины отрезка, координат вектора, длины вектора, расстояния между точками

(Ф/И)

Работа по учебнику. Учащиеся самостоятельно изучают п. 92 на с. 230–231, делают необходимые записи в тетрадях

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения

задач по изученной теме

(Ф/И)

1. Решить № 934, 936, 938 (устно).

2. Решить № 939, 941

№ 939.

Рис. 1

Дано: М(3; –2).

Найти: а) MK; б) ME; в) MO.

Решение:

а) MK ⊥ ОХ, MK = 2;

б) ME ⊥ OY, ME = 3;

в) ОМ = = .

Ответ: 2; 3; .

№ 941.

Рис. 2

Дано: М(4; 0); N(12; –2); Р(5; –9).

Найти: РMNP.

Решение:

1)

2) РMNP =

Ответ:

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Какие простейшие задачи в координатах рассмотрели на уроке?

– Задайте три вопроса по теме урока

(И) Домашнее задание: № 935, 952

Цель деятельности учителя

Создать условия для закрепления знаний учащихся в ходе решения задач, обучения решению задач в координатах

Термины и понятия

Вектор, координаты вектора, метод координат, координаты середины отрезка, длина вектора, расстояние между точками

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом; умеют применять метод координат для решения задач

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы.

Регулятивные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий; умеют контролировать процесс и результат учебной деятельности.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

Карточки для индивидуальной работы

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить уровень теоретических знаний по теме

(И/Ф)

1. Двое учащихся работают по карточкам у доски:

Карточка 1

1) Вывести формулы координат середины отрезка.

2) Решить задачу № 942.

Карточка 2

1) Вывести формулу расстояния между двумя точками.

2) Решить задачу № 937.

2. С остальными учащимися проводится устная работа по решению задач:

1) Найдите координаты вектора , равного разности векторов и , если (–5; 6), (0; – 4).

2) Найдите координаты вектора , равного сумме векторов и , если (–3; 7), (4; – 5).

3) Найдите координаты середины отрезка DK, если D(–6; 4), K(2; –8).

4) Найдите длину отрезка CP, если С(3; –2), P(–5; 4).

5) Найдите длину вектора , равного + , если (5; 0) и (0; –12).

6) Найдите координаты вектора 3, если (4; –2); вектора –2, если (–2; 5)

II этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения

задач

(П)

1. Решить задачу № 947 (а).

2. Решить задачу № 946 (б).

(Ф/И)

3. Решить задачу № 948 (б) на доске и в тетрадях.

4. Решить задачу № 950 (б) на доске и в тетрадях.

5. Решить задачу № 951 (а)

№ 947 (а).

Решение:

Найдем длины сторон треугольника АВС по формуле расстояния между точками:

АВ =

ВС =

АС =

Так как АВ = АС, то по определению равнобедренного треугольника ∆АВС – равнобедренный. Найдем его площадь; проведем высоту АМ ⊥ ВС:

SΔABC = BC · AM; AM – высота и медиана в равнобедренном треугольнике.

Пусть М (x; y), тогда х = 3, у = –1.

Значит, точка М (3; –1). Найдем длину АМ = .

SАВС = 13.

Ответ: 13

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Какие формулы повторили на уроке?

– Оцените свою работу на уроке

(И) Домашнее задание: повторить материал пунктов 88 и 89; решить задачи № 947 (б), 949 (а), 951 (б), 953

Цель деятельности учителя

Создать условия для выведения уравнения окружности

Термины и понятия

Окружность, центр окружности, радиус, диаметр

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом; умеют применять метод координат

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы.

Регулятивные: понимают и сохраняют учебную задачу; умеют контролировать процесс и результат учебной деятельности.

Коммуникативные: понимают и воспринимают на слух объяснение учителя, работают в со-трудничестве.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Тест

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Выявить трудности при выполнении домашнего задания, уровень знаний по теме

(Ф/И)

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Организовать выполнение теста с самопроверкой:

Вариант I

1. Если А(с; d), B (m; n); C(x; y) – середина отрезка АВ, то:

а) , ;

б) , ;

в) , .

2. Если , (k № 0), то:

а) ; б) ; в) .

3. Если , то:

а) ; б) ;

в) .

4. Если , , , то:

а) ; б) ; в) .

5. Если , то:

а) С(b; d), D(a; c); б) C(a; b), D(c; d); в) C(c; d), D(a; b).

6. Если , , то:

а) ; б) ; в) .

7. Если , то:

а) M(a; c), N(b; d); б) M(a; b), N(c; d); в) M(b; d), N(a; c).

Вариант II

1. Если А (а; b), B (c; d), то:

а) ;

б) ;

в) .

2. Если , , , то:

а) ; б) ; в) .

3. Если А (е; с), B (т; п), то:

а) ;

б) ;

в) .

4. Если А(е; р), B(т; п), , то:

а) С – середина АВ;

б) А – середина ВС;

в) В – середина АС.

5. Если , то:

а) ; б) ; в) .

6. Если , , то:

а) ; б) ; в) .

7. Если , (k № 0), то:

а) ; б) ; в)

II этап. Учебно-познавательная деятельность

Цель деятельности

Совместная деятельность

Вывести уравнение окружности

(Ф)

1. Ответить на вопросы:

– Принадлежит ли точка В (2; –8) графику функции y = –4x?

– Функция задана уравнением y = 5 – x. Какая линия служит графиком этой функции?

– Какой фигурой является множество точек, равноудаленных от данной точки?

2. Обратить внимание учащихся на то, что им уже известны графики некоторых функций. В частности, графиком линейной функции y = kx + b является прямая линия, а уравнение y = kx + b называется уравнением этой прямой.

3. Вспомнить уравнения параболы и гиперболы и их графики.

4. Дать понятие уравнения произвольной линии в ознакомительном плане. При этом важно добиться понимания учащимися следующего: чтобы установить, что данное уравнение является уравнением данной линии, нужно доказать, что: 1) координаты любой точки линии удовлетворяют данному уравнению и 2) координаты любой точки, не лежащей на данной линии, не удовлетворяют этому уравнению.

5. Ввести уравнение окружности радиуса r с центром С в заданной прямоугольной системе координат (рис. 286):

(х – х0)2 + (у – у0)2 = r2, где С(х0; у0).

Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат О (0; 0) имеет вид: х2 + у2 = r2.

6. Обратить внимание учащихся на то, что не любое уравнение второй степени с двумя переменными задает окружность. Например, уравнение 4х2 + у2 = 4 в прямоугольной системе координат задает не окружность, а эллипс (с этой

фигурой учащиеся знакомились в курсе черчения), уравнение х2 + у2 = 0 задает единственную точку – начало координат, а уравнению х2 + у2 = –4 не удовлетворяют координаты ни одной точки, поэтому это уравнение не задает никакой фигуры

III этап. Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Закрепить полученные знания при решении простых задач

(Ф/И)

1. Решить задачу № 959 (а, б, д).

2. Решить задачу № 960 (устно).

3. Решить задачу № 961 на доске и в тетрадях.

4. Решить задачу № 964 на доске и в тетрадях

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Сформулируйте три вопроса по теме урока.

– Для чего данная тема изучается в геометрии?

(И) Домашнее задание: решить задачи № 962, 963, 965, 966 (а, б), 1000

Цели деятельности учителя

Создать условия для закрепления знаний учащихся в ходе решения задач; способствовать развитию логического мышления учащихся

Термины и понятия

Окружность, центр окружности, радиус, диаметр

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом; умеют применять метод координат

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы.

Регулятивные: понимают и сохраняют учебную задачу; умеют контролировать процесс и результат учебной деятельности.

Коммуникативные: понимают и воспринимают на слух объяснение учителя; умеют работать в паре, группе.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ресурсы

• Задания для математического диктанта

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень теоретических знаний

(И) Математический диктант с последующей самопроверкой.

1. Найдите координаты центра окружности, если АВ – диаметр, А(2; –4), В(–6; 8).

2. Вычислите радиус окружности с центром в начале координат, проходящей через точку (12; –5).

3. Как называется геометрическая фигура, состоящая из множества всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки?

4. Как называется хорда, проходящая через центр окружности?

5. Напишите уравнение окружности с центром в точке (–2; 2) и радиусом 13.

Ответы: 1) (–2; 2); 2) 13; 3) окружность; 4) диаметр; 5) (х + 2)2 + (у – 2)2 = 169

II этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения

задач

(П)

1. Решить № 969 (а).

2. Решить № 970, 971.

(Г) Решить № 1002 (а)

Пары представляют свои решения, обсуждают возникшие вопросы.

№ 1002 (а).

Решение:

Координаты точек A, В и С должны удовлетворять уравнению окружности (x – а)2 + (у – b)2 = r2.

Подставив в это уравнение координаты данных точек, получим систему трех уравнений относительно неизвестных а, b и r:

(1 – а)2 + (–4 – b)2 = r2 (1),

(4 – а)2 + (5 – b)2 = r2 (2),

(3 – а)2 + (–2 – b)2 = r2 (3).

Вычтем из уравнения (1) сначала уравнение (2), а затем уравнение
(3). Получим систему двух линейных уравнений с неизвестными а
и b, которую учащиеся могут решить самостоятельно.

Подставив эти значения в любое из уравнений, например в уравнение (1), находим значение r2 и записываем искомое уравнение:

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Оцените свою работу в паре, группе.

– Какой этап урока был наиболее трудным?

(И) Домашнее задание: повторить материал пунктов 93–94; решить задачи № 969 (б), 981 (решение есть в учебнике), 1002 (б)

Цель деятельности учителя

Создать условия для выведения уравнения прямой

Термины и понятия

Прямая, уравнение прямой

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом, навыками устных, письменных, инструментальных вычислений; умеют применять метод координат

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы.

Регулятивные: понимают и сохраняют учебную задачу; умеют контролировать процесс
и результат учебной деятельности.

Коммуникативные: понимают и воспринимают на слух объяснение учителя.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Задачи для фронтальной работы

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

(Ф)

1. Ответить на вопросы учащихся.

2. Продемонстрировать решение № 1002 (б) (один ученик у доски).

3. Провести самостоятельную работу (контролирующая, 10–15 мин).

Вариант I Вариант II

Решить задачи № 959 (г), 968, 960 (б). Решить задачи № 959 (в), 967, 960 (в)

II этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Вывести уравнение прямой

(И)

Учащиеся самостоятельно работают по учебнику. Для более продвинутых учащихся обязателен вывод уравнения прямой, для менее подготовленных – только формула

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения

задач

(И/Ф)

1. Решить на доске и в тетрадях № 973, 975, 976.

2. Решить устно задачи.

1) Окружность задана уравнением (х – 1)2 +

+ у2 = 9. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси ординат.

2) Окружность задана уравнением (х + 1)2 +

+ (у – 2)2 = 16. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси абсцисс

№ 973.

Рис. 1

Дано: А(4; 6); В(–4; 0); С(–1; –4), CM – медиана ΔАВС.

Написать уравнение прямой СМ.

Решение:

1)

2) Так как М(0; 3) и С(–1; –4) лежат на прямой 1, заданной уравнением ах + bу + с = 0, то их координаты должны удовлетворять этому уравнению.

М(0; 3): 3b + с = 0; b = .

С(–1; –4): –а – 4b + с = 0; а = – 4b + с; .

Подставим значения b и а в исходное уравнение.

7х – у + 3 = 0 – искомое уравнение.

№ 975.

а)

Рис. 2

Дано: l: 3х – 4у + 12 = 0.

Найти: А(х; у); В(хi; yi).

Решение:

а) если l З Ox = A, то А(х; 0), следовательно,

3х – 4 · 0 + 12 = 0,

3х = –12,

х = –4, следовательно, А(–4; 0).

б)

Рис. 3

Если l З Oу = В, то В(0; у), следовательно,

3 · 0 – 4у + 12 = 0,

4у = 12,

у = 3, следовательно, В(0; 3).

№ 976.

Дано: l1 : 4х + 3у – 6 = 0; l2 : 2х + у – 4 = 0; l1 З l2 = А.

Найти: А(х; у).

Решение:

1) Решение:

Центр О (1; 0) и параллельная оси OY прямая x = 1.

2) Решение:

Центр А (–1; 2); прямая y = 2 параллельна оси OX

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– С какой темой познакомились на уроке?

– Зачем уравнение прямой изучается в геометрии?

(И) Домашнее задание: повторить материал пунктов 93–95; изучить материал пункта 96; вопросы 1–21, с. 244–245; решить задачи
№ 972 (б), 979; записать в тетрадях и разобрать решение задачи
№ 984 (с. 243)

Цель деятельности учителя

Создать условия для совершенствования навыков решения задач

Термины и понятия

Прямая, уравнение прямой, окружность, уравнение окружности, метод координат

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом, навыками устных, письменных, инструментальных вычислений; умеют применять метод координат

Познавательные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач.

Регулятивные: понимают и сохраняют учебную задачу; умеют контролировать процесс
и результат учебной деятельности.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, работать в группе.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению учебного предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ресурсы

• Задания для групповой работы;

• задания для математического диктанта

I этап. Актуализация заданий учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания; определить уровень знаний по теме

(Ф/И)

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Проверить решение № 979.

3. Провести математический диктант.

Вариант I

1. Лежит ли точка А(2; –1) на окружности, заданной уравнением (х – 2)2 + (у – 3)2 = 25?

2. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4; 5), а радиус равен 3.

3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку
М(3; –2) и параллельной оси ординат.

4. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, если она проходит через точку С(–2; 3).

5. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки М(–2; –1) и N(3; 1).