Задачи по теме "Теоремы Чевы и Менелая"
учебно-методический материал по геометрии (10 класс)

Задача 1

Точки M   и N   расположены соответственно на сторонах AB   и AC   треугольника ABC,  причём AM  :MB  = 1:2, AN :NC = 3:2.   Прямая MN   пересекает продолжение стороны BC   в точке F.   Найдите CF :BC.  

Задача 2

На медиане AA1   треугольника ABC   взята точка M,  причём AM  :MA1 = 1 :3.   В каком отношении прямая BM   делит сторону AC?  

Задача 3

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Задача 4

На сторонах BC,  AC   и AB   треугольника ABC   отмечены точки A1,  B1,  C1   соответственно, причем BA1 :AC1 = 1:2,  AB1 :B1C =1 :3,   AC1 :C1B =8 :3.   Отрезки BB1   и CC1   пересекаются в точке D.   Докажите, что ADA1B1   — параллелограмм.  

Задача 5

Через точку P,  лежащую на медиане CC1   треугольника ABC,   проведены прямые AA1   и BB1.   При этом точки A1   и   B1   лежат на сторонах BC   и CA   соответственно. Докажите, что A1B1 ∥ AB.  

Задача 6

В треугольнике ABC   на середине стороны AB   отмечена точка M.   Точка P   на продолжении стороны AC   за точку C   такова, что AC = CP.   Найдите меньший из отрезков, на которые прямая MP   делит сторону BC, если BC  =3.  

Задача 7

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Задача 8

Точки E   и F   — середины сторон BC   и AD   соответственно выпуклого четырёхугольника ABCD.   Отрезок EF   пересекает диагонали AC   и BD   в различных точках G   и H   соответственно. Докажите, что CG :GA = BH :HD.  

Задача 9

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.