Теоремы Чевы и Менелая
презентация к уроку по геометрии (10 класс) на тему

Слайд 1

Презентация к уроку Геометрия 10 класс Теоремы Чевы и Менелая Учитель математики МБОУ лицей №90 Корнилова Т. Ю. 2010г.

Слайд 2

Теоремы Чевы и Менелая « Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и по крайней мере столь же обширной, как анализ, геометрия в большей степени чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться ». Е. Т. Белл.

Слайд 3

ЧЕВИАНА Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой . Таким образом, если в треугольнике АВС X , Y и Z - точки, лежащие на сторонах ВС, СА, АВ соответственно, то отрезки А X , В Y , С Z являются чевианами. Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни Чевы , который в 1687 году опубликовал следующую очень полезную теорему

Слайд 4

Теорема Чевы Если три чевианы А X , В Y , С Z ( по одной из каждой вершины ) треугольнка АВС конкурентны, то

Слайд 5

Когда мы говорим, что три прямые ( или отрезка ) конкурентны , то мы имеем в виду, что все они проходят через одну точку, которую обозначим через Р.

Слайд 6

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Для доказательства теоремы Чевы вспомним, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников.  Ссылаясь на рисунок, мы имеем

Слайд 7

Теперь, если мы перемножим их, то получим .

Слайд 8

Теорема Менелая: Пусть точка А1 лежит на стороне ВС треугольника АВС, точка С1 – на стороне АВ, точка В1 – на продолжении стороны АС за точку С. Точки А1,В1 иС1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Слайд 9

А В1 В С А1 С1 Эта теорема Входит в золотой фонд древнегреческой математики. Она дошла до нас в арабском переводе книги «Сферика» Менелая Александрийского. Равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника, в любом направлении ( по часовой стрелке, против часовой стрелки ).

Слайд 10

Задача 1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3 BN ; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F . Найдите: отношение

Слайд 11

Решение По условию задачи МА = АС, NC = 3 BN . Пусть МА = АС = b , BN = k , NC = 3 k . Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая В F C А M N k 3k b b Ответ:2:3.

Слайд 12

Задача 2. Пусть AD – медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка K так, что AK : KD =3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.