Теорема Чевы и Менелая в задачах ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс)

Теорема Менелая, теорема Чевы – нужны на ЕГЭ или нет?

Анна Малкова

Эти две полезные теоремы – теорема Менелая и теорема Чевы - чаще применяются при решении олимпиадных задач, чем на ЕГЭ по математике. Однако в 2020 году в ряде вариантов ЕГЭ обнаружилась задача по планиметрии (№16), которую на первый взгляд невозможно решить без теоремы Менелая или теоремы Чевы. Но на самом деле, конечно, возможно. Например, в Санкт-Петербурге попались такие задачи.

Разберемся, что это за теоремы и как применяются. И действительно ли на ЕГЭ дали задачи на применение теорем, выходящих за рамки школьной программы. И можно ли эти задачи решить по-другому?

Теорема Менелая:

Пусть прямая пересекает произвольный треугольник  причем  – точка ее пересечения со стороной   – точка ее пересечения со стороной  и  – точка ее пересечения с продолжением стороны 

Тогда выполняется равенство:

Как это запомнить? Сначала рисуем треугольник  Затем прямую, пересекающую две его стороны и продолжение третьей. На этой прямой лежат точки  и  причем на стороне  должна лежать точка  на стороне  – точка  и на продолжении  – точка 

Затем записываем равенство так, как будто «обходим» весь треугольник  от точки  к точкам  и  и затем возвращаемся в точку  Но по дороге нам встречаются точки  и  – их тоже включаем в формулу.

Один из учащихся нашей ЕГЭ-Студии предложил такое мнемоническое правило: пусть точки  и  – это города, а точки  и  – заправки, где можно пополнить запас бензина. Тогда правило звучит так: «Едем из города в город, заезжаем на заправку!»Возможно, вы придумаете свое правило : -)

В некоторых задачах полезна обратная теорема Менелая.

Теорема (Менелая, обратная). Пусть дан треугольник  Предположим, что точка  лежит на стороне  точка  лежит на стороне  а точка  лежит на продолжении стороны  причём про эти точки известно, что

Тогда эти точки лежат на одной прямой.

Как правило, не так-то просто бывает доказать, что три точки лежат на одной прямой. Обычно мы используем для доказательства такого факта косвенные методы. Например, если для точек  и  выполняется равенство:  – то это означает, что точка  лежит на отрезке  Или, если нам удается доказать, что угол  – развернутый, это и будет означать, что точки  и  лежат на одной прямой. Обратная теорема Менелая дает еще один способ доказательства того, что три точки – в данном случае  и  – лежат на одной прямой.

Теорема Чевы

Пусть точки  и  лежат соответственно на сторонах  и  треугольника  причем отрезки  и  пересекаются в одной точке. В этом случае выполняется равенство:

Обратная теорема Чевы:

Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки  лежат соответственно на сторонах  и  треугольника  причём

Тогда отрезки  и  пересекаются в одной точке.

Как применяются теоремы Менелая и Чевы?

Вот задача Профильного ЕГЭ по математике 2020 года (№16), Санкт-Петербургский вариант.

На сторонах  и  треугольника  отмечены точки  и  соответственно, причём  Отрезки  и  пересекаются в точке 

а) Докажите, что  — параллелограмм.
б) Найдите  если отрезки  и  перпендикулярны, 

Докажем пункт (а) с помощью теоремы Менелая:

Пусть 

По теореме Чевы,

 тогда

 тогда 

Это значит, что  по двум углам и  то есть 

Рассмотрим треугольник 

Прямая  пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны 

По теореме Менелая,

тогда 

 по углу и двум сторонам, отсюда

Мы получили:

 — параллелограмм по определению.

Мы доказали то, что требовалось в пункте (а).
Но что делать, если теоремы Менелая и Чевы вы не проходили в школе? Ничего страшного, докажем без теорем Менелая и Чевы. Их легко заменят подобные треугольники.

Обозначим

Докажем, что  — параллелограмм.

Пусть  — середина 

Тогда 

Тогда  по углу и двум пропорциональным сторонам,

Проведём 

По теореме Фалеса 

Пусть 

 по двум углам;

Пусть 

 по 2 углам, 
тогда 

Это значит, что  по углу и двум сторонам и 

При этом 

Получим, что в четырёхугольнике :

Значит,  — параллелограмм.

Как видим, эти решения примерно одного уровня сложности.
А вот в пункте (б) нет необходимости применять теоремы Чевы и Менелая. Он легко решается с помощью обычной школьной геометрии.

б) Найдём , если 

Поскольку  получим, что  — прямоугольный.

Мы доказали в пункте (а), что  — трапеция, причём 

По условию, 

Тогда 

Пусть 

Тогда  — параллелограмм (по признаку паралелограмма)

 по теореме Пифагора из 

Найдём  из  по теореме косинусов.

Ответ: 17.

Вот еще одна задача, которую можно решить как с помощью теоремы Чевы, так и без нее.

На сторонах прямоугольного треугольника  с прямым углом  построены во внешнюю сторону квадраты  и  Докажите, что:

а) прямые  и  отсекают от катетов треугольника  равные отрезки
б) прямые  и высота треугольника  проведённая из вершины  пересекаются в одной точке.

Пункт (а) доказывается легко.

а) Пусть ,
.

Докажем, что .

Обозначим 

 по 2 углам,

, так как 

 получим:

 (1)

 по 2 углам,

 (2)

 отсюда 

Решим пункт (б) с помощью теоремы Чевы:

Запишем, чему равны длины отрезков  Для длин  и  воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Проверим выполнение равенства

Равенство выполняется.
Согласно теореме Чевы, это значит, что  и  пересекаются в одной точке.
А