Геометрия окружности
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9, 11 класс)

МОУ «СОШ № 97 им ГЕРОЯ СОВЕТСКОГО СОЮЗА В.Г. КЛОЧКОВА»

Геометрия окружности

Творческая работа

учителя математики

Бельченко Валентины Александровны

Саратов 2022

Содержание: стр.

1. Введение ____________________________________________________________________________2 - 3
2. §1. Метод вспомогательной окружности_______________________3 - 5
3. §2. Опорные задачи на метод вспомогательной окружности_______5 - 8
4. §3. Разработка факультативных занятий в 9-м классе по теме "Решение геометрических задач с использованием метода вспомогательной окружности"_______________________________________________8 - 18
5. Заключение___________________________________________________________________18
6. Литература __________________________________________________________________19

Введение.

Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов - иногда, даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься.

И. Д. Новиков

Геометрия, как учебный предмет, играет огромную роль в развитии познавательной активности и любознательности, логического мышления и пространственного воображения учащихся. Изучение геометрии формирует не только специальные геометрические знания учащихся, но и играет огромную роль в общем развитии личности, ее умении логически мыслить и доказательно обосновывать истинность утверждений в любой сфере деятельности.

Соприкосновение с геометрией носят познавательный, воспитательный, развивающий и вдохновляющий характер. При изучении геометрии и обучении геометрии происходит духовное развитие личности.

Причем хорошее геометрическое образование, пространственное воображение и логическое мышление – необходимые атрибуты не только математика, но и инженера, и экономиста, и дизайнера, и юриста, и программиста, а также специалистов многих других профессий.

Можно с полной уверенностью сказать, что из всех математических дисциплин именно занятие геометрией в наибольшей мере способствует развитию интуиции и воображения, а следовательно способствует творческому развитию личности, т.к. интуиция и воображение – основы любого творчества.

Для того, чтобы быстро и успешно справляться с решениями геометрических задач, необходимо владение свойствами ряда опорных геометрических конфигураций, которые часто используются в задачах, умения проанализировать предлагаемую в задачах фигуру, распознать в ней опорную конфигурацию и установить связи между ее элементами.

Все действия, о которых говорилось выше, могут осуществляться только в процессе решения задач. При этом важно уделять внимание геометрическим методам решения задач.

Одним из эффективных методов решения геометрических задач является метод дополнительных построений. Дополнительные построения позволяют свести задачу к другим задачам, решения которых хорошо известны или легко могут быть получены. Требуется большой опыт, изобретательность, геометрическая интуиция, чтоб догадаться, какие дополнительные лини следует провести. Иногда условие задачи подсказывает выбор дополнительного построения.

Одним из дополнительных построений, дающих ключ к решению ряда задач, является проведение вспомогательной окружности. Использование в решении планиметрических задач такого дополнительного построения можно рассматривать как специальный метод решения этих задач – метод вспомогательной окружности.

В данной работе рассматриваются суть метода вспомогательной окружности и решение с помощью этого метода задач, некоторые из которых использовались в ЕГЭ и ГИА.

Цель данной работы: изложить методические аспекты методов вспомогательной окружности, создать дидактический материал, необходимый для освоения этого метода с целью использования его при подготовке учащихся к ГИА и ЕГЭ.

§1. Метод вспомогательной окружности.

Суть метода заключается в том, что при решении планиметрических задач, когда требуется установить связь между данными и искомыми величинами, нередко полезно около треугольника или четырехугольника описать окружность, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными.

Анализ решения достаточно большого круга задач показывает, что использование вспомогательной окружности связано с характерными признаками фигуры, рассматриваемой в задаче.

Целесообразность применения метода зависит от этих признаков. А они основаны на теоремах и их следствиях, изучаемых в курсе геометрии 8, 9 классов.

1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

3) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

4) Угол, с вершиной внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых расположена внутри этого угла, а другая – внутри угла, вертикального к данному.

5) Угол, вершина которого расположена вне круга, а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках, измеряется полуразностью дуг, заключенного внутри угла.

6) Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной внутри этого угла.

7) В любой треугольник можно вписать окружность и притом единственную.

8. Около любого треугольника можно описать единственную окружность.
9. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность, центр которой – точка пересечения диагоналей.
10. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобочная.

В процессе изучения метода вспомогательной окружности необходимо научиться выделять и использовать те признаки, наличие которых в задаче приводит к построению вспомогательной окружности и с ее помощью устанавливать связи между необходимыми объектами и величинами, определенными условием задачи. Тем более, что задачи на использование метода вспомогательной окружности, частые гости на ЕГЭ и на экзаменах за курс основной школы.

Вот эти признаки.

1) Если дан правильный треугольник, то можно провести окружность с центром в любой из его вершин и радиусом, равным длине его стороны, либо описать около него окружность, которая разобьется вершинами треугольника на равные дуги по 1200 каждая.

2) Если дан прямоугольный треугольник, то вокруг него описывается окружность, центром которой является середина гипотенузы, а радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе этого треугольника.

3) Если удается установить, что суммы противоположных углов выпуклого четырехугольника равны, то вокруг него описывается окружность.

4) Если дан квадрат, прямоугольник или равнобедренная трапеция, то вокруг них описывается окружность.

5) Пусть около треугольника АВС описана окружность с центром О. Если точки О и С лежат по одну сторону от прямой АВ, то согласно свойству вписанного и центрального углов ; если же эти точки лежат по разные стороны от АВ, то . Обратно, если: 1) точки О и С лежат по одну сторону от АВ, и или 2) точки О и С лежат по разные стороны от АВ, и , то точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС.

6) При определенных условиях окружность можно описать и около четырехугольника. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 1800, а углы ABD и ACD, опирающиеся на одну и туже дугу, равны (рис. 1). Верно и обратное предложение.

Точки A, B, C, D лежат на одной окружности, если: 1) ABCD – выпуклый четырехугольник и сумма его противоположных углов равна 1800 или 2) точки В и С лежат по одну сторону от прямой AD и (то есть отрезок AD виден из точек В и С под равными углами).

§2. Опорные задачи на метод вспомогательной окружности

Задача 1. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1, ВВ1, СС1. Пусть Н – точка пересечения высот. Постройте треугольник А1В1С1 и перечислите все образовавшиеся четырехугольники, около которых можно описать окружность (рис. 2).

Ответ. ; ; ; ; ; .

Рассмотрим задачи решаемые данным методом.

Задача 2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты и . Доказать, что треугольник подобен данному треугольнику АВС с коэффициентом подобия, равным .

Решение. На стороне АС треугольника АВС как на диаметре опишем полуокружность, которая пройдет через основания высот и (рис. 3). Так как четырехугольник вписанный, то . Следовательно, и . Так как стороны и являются соответствующими сторонами в подобных треугольниках, то их отношение равно коэффициенту подобия. Но в прямоугольном треугольнике . Итак, и .

Задача 3. Через некоторую точку плоскости проведены три прямые так, что угол между любыми двумя из них равен 600.Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки плоскости на эти прямые, служат вершинами равностороннего треугольника.

Решение. Пусть три данные прямые пересекаются в точке О; М – произвольная точка плоскости; А, В, и С основания перпендикуляров, опущенных из точки М на данные прямые (рис. 4). Точки О, М, А, В и С лежат на одной окружности с диаметром ОМ (обоснуйте это). Теперь видно, что , поскольку оба они опираются на одну и туже дугу . Значит, . Точно так же , то есть треугольник АВС равносторонний.

Задача 4. Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины внутри него, различны и образуют равные углы со сторонами, выходящими из той же вершины. Доказать, что треугольник прямоугольный.

Решение. Пусть высота СН и медиана СМ треугольника АВС образует со сторонами АС и ВС равные углы (рис. 5). Опишем около треугольника АВС окружность. Достаточно доказать, что АВ – ее диаметр. Продолжим медиану СМ до пересечения с окружностью в точке D и рассмотрим треугольники АСН и DCB. Так как по условию и как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, то . Следовательно, диаметр окружности.

Центр окружности лежит на диаметре и на серединном перпендикуляре m к стороне АВ. Так как по условию CD не является высотой, то прямые m и имеют только одну общую точку М, которая является центром описанной окружности. Следовательно, АВ – диаметр окружности и .

Задача 5

С4. Точки D и Е — основания высот непрямоугольного треугольника ABC, проведенных из вершин А и С соответственно.

Известно, что = k, ВС = а и АВ = b. Найдите сторону АС.

Решение.

Из точек D и Е сторона АС видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром АС. Обозначим ∠АВС = a.

Если треугольник АВС остроугольный (рис. 1), то основания высот AD и
СЕ лежат на сторонах треугольника. Тогда четырехугольник AEDC — вписанный, поэтому ∠BDE = 180° - ∠CDE = ∠САЕ= ∠CAB.

Треугольники EDB и CAB подобны (по двум углам) с коэффициентом cosα,

т.е. cosα = k. Тогда по теореме косинусов

АС2 = ВА2 + ВС2 - 2ВА • ВС cos а = b2 + а2 - 2аbк.

Пусть теперь треугольник ABC тупоугольный и, например, ∠ACB тупой (рис.2).

Тогда четырехугольник AECD вписанный, и аналогично предыдущему получаем: cosα = k и АС2 = b2 + а2 - 2аbк

Аналогичный ответ получаем в случае, когда ∠CAB тупой.

Пусть теперь а > 90° (рис. 3). Тогда основания высот AD и СЕ лежат на продолжениях сторон ВС и АВ. Вписанные углы CDE и CAE опираются на одну и ту же дугу, поэтому

∠BDE = ∠CDE = ∠CAE = ∠CAB.

Треугольники EDB и CAB подобны (по двум углам) с коэффициентом

=cos(1800 - α) = - cos а т.е. cos а = - k.

Тогда AC2 = a2 + b2 + 2abk.

Ответ: ,

Задача 6.

Основание CD, диагональ BD и боковая сторона AD трапеции ABCD равны р. Боковая сторона ВС равна q. Найдите диагональ АС.

Решение: Окружность с центром в точке D и радиусом р проходит через точки А, В и С. Если СС1 – диаметр окружности, то АВСС1 – равнобедренная трапеция, АС1 = ВС = q.

Поскольку ∠САС1 = 900 (точка А лежит на окружности с диаметром СС1),

.

Следовательно, АС = .

Ответ: .

§3. Разработка факультативных занятий в 9-м классе по теме "Решение геометрических задач с использованием метода вспомогательной окружности"

Пояснительная записка

Для того, чтобы успешно справляться с решением геометрических задач, необходимо владение свойствами ряда опорных геометрических конфигураций, которые часто используются в задачах, умение проанализировать предполагаемую в задачах фигуру, распознать в ней опорную конфигурацию и установить связи между ее элементами, после чего применить тот или иной метод решения задачи.

Программа факультативных занятий позволяет повторить и систематизировать сведения о вписанных треугольниках и четырехугольниках, научиться выделять и использовать те признаки, наличие которых в задаче приводит к построению вспомогательной окружности, с ее помощью устанавливать необходимые связи между величинами, определенными условием задачи, сформировать навыки решения таких геометрических задач, научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, развивать наблюдательность, умение анализировать.

Тематический план

Методические рекомендации

На первом занятии учитель знакомит учащихся с целями и задачами данного курса. На первых двух занятиях повторяются и углубляются знания учащихся по теме "Окружность", изученный ими в 8 классе. Данный материал подробно изложен в учебниках Л.С. Атанасяна, И.Ф. Шарыгина. Учитель может использовать любой из этих учебников.

Повторение материала удобно проводить на готовых чертежах. Проверить усвоение материала можно с помощью тестов по геометрии –авторы :Т.М.Мищенко, А.Д.Блинков. Один из вариантов тестов приводится в занятии №2.

Тема "Вписанная и описанная окружности" предполагает повторение и углубление основных методов нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей, а так же элементов многоугольника, свойств и признаков описанных и вписанных четырехугольников, доказательство свойства биссектрисы угла треугольника с помощью вспомогательной окружности. Изучение прямой Эйлера, на которой лежат точка пересечения медиан, центр описанной окружности, точка пересечения высот треугольника. Этот материал подробно изложен в учебнике Шарыгина И. Ф.,7-9 класс, издательство "Дрофа", 2007год.

При изучении темы "Задачи, решаемые методом вспомогательной окружности" учитель рассматривает характерные признаки фигуры( когда около нее можно описать окружность) и рассматривает опорные задачи, которые изложены в учебном пособии Корнеевой А.В. " Методы решения планиметрических задач" и приведены в данной работе.

Заканчивается изучение курса решением задач повышенной сложности, задач ГИА и ЕГЭ.

Занятие 1, 2. Задачи на окружность.

Повторение основных теорем и формул, связанных с окружностью и кругом: формула площади круга; длины окружности; площади сегмента; теорема об отрезках касательных; градусная мера угла, вершина которого расположена вне круга, а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках; угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания; описанные и вписанные треугольники и четырехугольники.

Углы, вписанные в окружность (наглядно-поисковые задачи).

На каждом рисунке найдите неизвестные элементы фигур.

Ответы:

Домашнее задание:

1. Угол В, образованный хордами АВ и ВС, вписан в окружность радиуса 4 см. Угол АОС равен 1200. Найдите длину хорды АС (рис. 6)
2. Диаметр АС окружности равен 8 см, а хорда АD равна 4 см. Найдите величину угла DEC (рис. 7)

Тренировочные задачи.

1. На окружности отмечены точки M, N, P. Угол MNP равен 800, дуга NP равна 1100. Чему равен угол NPM?
2. Точки окружности Е, F, H делят ее на дуги в отношении 1 : 2 : 3. Найдите градусные меры углов треугольника EFH.
3. Угол KLM, вписанный в окружность, на 400 меньше центрального угла КОМ. Найдите каждый из данных углов.
4. В окружности по разные стороны от центра проведены параллельные хорды, равные 16 см и 24 см; расстояние между ними – 21 см. Найдите радиус окружности.
5. Хорды АЕ и FC пересекаются в точке N, лежащей внутри окружности; NC = 3FN, AE = 18 см, AN = NE. Найдите FN и NC.
6. Диаметр PQ окружности пересекается с хордой MN, равной 10 см, в точке Е; MN⊥PQ, PE : EQ = 1 : 4. Найдите длину диаметра окружности.
7. Из точки К, лежащей вне окружности, проведены касательная КЕ и секущая КМ, проходящая через центр О окружности, а точка М наиболее удалена от точки К. найдите длину секущей, если ∠ЕКМ = 600, ЕК = 5см

Ответы: 1. 450; 2. 300, 600, 900; 3. 400, 800; 4. 11,6 см; 5. 4,5 см, 13,5 см; 6. 12,5 см; 7. 10 см.

Занятие 3. Вписанная и описанная окружности. Прямая Эйлера.

Нахождение радиуса вписанной и описанной окружности, связь между радиусами окружностей (прямая Эйлера). Окружности, вписанные в четырехугольники и описанные около них.

Тренировочный тест.

1. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окружность. Точка касания D делит сторону АВ в отношении 1 : 2, считая от вершины А. найдите сторону АВ, если сторона АС равна 6 см.

Ответ: __________________

2. В прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см и 4 см, вписана окружность. Найдите радиус окружности.

Ответ: ____________________

3. Найдите больший угол треугольника, если две его стороны видны из центра описанной окружности под углами 100° и 120°.

Ответ:_____________________

4. Углы треугольника относятся как 3:4:5. Определите, как расположен центр описанной около этого треугольника окружности.

1. Внутри треугольника.

2. На одной из сторон треугольника.

3. Вне треугольника.
4. Определить невозможно.

5. Даны три прямые k, l и m. Прямые k и l пересекаются в точке А, прямые l и m пересекаются в точке В, а прямые k и m — в точке С. Определите, сколько существует окружностей, одновременно касающихся каждой из трех прямых k, l и m.

1. Ни одной. 2. Одна. 3. Три. 4. Четыре.

6. Центры вписанной и описанной окружностей треугольника лежат на одной из его высот и не совпадают. Определите вид треугольника.

1. Равнобедренный. 2. Равносторонний.
3. Разносторонний. 4. Определить невозможно.

7. В параллелограмм, диагонали которого не равны, вписана окружность. Определите вид этого параллелограмма.

1. Прямоугольник. 2. Ромб, отличный от квадрата.
3. Квадрат. 4. Определить невозможно.

8. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 27 см. Найдите его периметр.

Ответ:

9. В четырехугольнике ABCD угол CBD равен 50°, угол ADC равен 60° и угол ABD равен 70°. Найдите угол CAD.

Ответ: ________________________

10. (Дополнительная задача.) В треугольнике ABC проведены биссектрисы углов ВСА и ABC, которые пересекают стороны
треугольника в точках М и Е соответственно. Точка О — точка
пересечения биссектрис. Найдите угол ВАС, если точки А, М, О и Е лежат на одной окружности.

Ответ: ______________________

Ответы к тесту: 1. 9 см; 2. 1 см; 3. 700; 4. 1; 5. 2; 6. 1; 7. 2; 8. 54см; 9. 500; 10. 600.

Занятие 4 - 6. Задачи, решаемые методом вспомогательной окружности (из сборника заданий для проведения экзамена в 9 классе, авторы А.Д.Блинков, Т.М.Мищенко)

Вариант 8 задача 15

Вне квадрата, на его стороне, построен прямоугольный треугольник, у которого сторона квадрата является гипотенузой. Докажите, что биссектриса прямого угла этого треугольника проходит через центр квадрата.

Решение. Прямоугольный треугольник AFB построен на стороне квадрата ABCD. Около треугольника AFB опишем окружность с центром в точке М – середине стороны АВ (рис. 1). Эта окружность проходит через центр квадрата О, так как MF = АВ = МО. Следовательно, ∠AFO = ∠АМО = 450, так как угол АМО – центральный, а угол AFO – вписанный, и опирается на ту же дугу. Значит, FO биссектриса угла AFB, т.е. биссектриса прямого угла треугольника AFB проходит через центр квадрата, что и требовалось доказать.

Вариант 9 задача 15

Высота, биссектриса и медиана треугольника, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на четыре равные части. Найдите углы треугольника.

Решение. Пусть АВС – данный треугольник, СМ, СК и СН – его медиана, биссектриса и высота соответственно (рис. 2). Рассмотрим окружность с центром О, описанную около этого треугольника. Луч СК пересекает описанную окружность с точке L. Так как СК – биссектриса угла АСВ, то дуги AL и BL равны. Значит, точка L лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ. Значит, прямые ML и CH параллельны.

Отсюда ∠HCL = ∠MLC, как накрест лежащие при параллельных прямых, ∠MCL = ∠HCL по условию, значит, ∠MCL = ∠MLC. Следовательно, треугольник MCL – равнобедренный и МС = ML. Значит, точки М и О совпадают, т.е. треугольник АВС – прямоугольный с прямым углом С. Пусть ∠ВСН = , тогда ∠АСВ = 4; 4 = 900; =22,50. ∠ВСН = ∠САВ = 22,50, ∠СВА = 67,50.

Ответ: 900; 22,50 и 67,50.

Вариант 10 задача 13

В выпуклом четырехугольнике ABCD точки E, F и G – середины сторон АВ, ВС и AD соответственно, причем GE⊥AB, GF⊥BC. Найдите угол ACD.

Решение. Мак как каждый из отрезков GE и GF является одновременно высотой и медианой в треугольниках AGB и BGC соответственно (рис. 3), то эти треугольники – равнобедренные, т.е. AG = BG = CG = DG. Следовательно, точка G – центр окружности, описанной около данного четырехугольника ABCD. Отсюда ∠ACD = 900, так как это вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности.

Ответ: 900.

Вариант 11 задача 14

В шестиугольнике ABCDEF АВ = AF, ВС = CD, DE = EF. Докажите, что биссектрисы углов А, С и Е пересекаются в одной точке.

Решение. В шестиугольнике ABCDEF проведем диагонали BD, DF и FB (рис.4). по условию треугольники BAF, BCD и DEF – равнобедренные. Биссектриса угла А шестиугольники содержит биссектрису равнобедренного треугольника BAF, проведенную к основанию, поэтому является серединным перпендикуляром к отрезку BF. Аналогично биссектрисы углов С и Е данного шестиугольника являются с серединными перпендикулярами к отрезкам BD и DF соответственно.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника BDF пересекаются в одной точке – центре О окружности, описанной около этого треугольника. Следовательно, рассмотренные биссектрисы углов шестиугольника пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Вариант 14 задача 15

Треугольник АВС – равносторонний со стороной, равной а. На расстоянии а от вершины А взята точка D. Найдите угол BDC.

Решение. Рассмотрим окружность с центром в точке А и радиусом а. Точки В, С и D лежат на этой окружности, следовательно, ∠BDC – вписанный. Так как ∠ВАС = 600 – центральный, то в зависимости от расположения точки D получим:

∠BDC = ∠BАС = 300 (рис. 5а) или ∠BDC = 1800 - ∠BАС = 1500 (рис. 5б)

Ответ: 300 или 1500.

Задачи ЕГЭ прошлых лет на метод вспомогательной окружности.

Задача 1. (Статград, репетиционный вариант). Острые углы прямоугольного треугольника равны 530 и 370. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Точка М – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Тогда ∠СВА – вписанный и ∠СВА = 530. Отсюда следует, что АС = 1060.

∠АМС – центральный => ∠АМС = 1060 ∠СМН = 1800 – 1060 = 740 ∠МСН = 900 – 740 = 160.

Задача 2. (Прасолов В.В. "Задачи по планиметрии").

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника АВС на гипотенузу АВ опущен перпендикуляр MN. Докажите, что ∠ MAN = ∠ MCN.

Доказательство:

Рассмотрим ACMN – четырехугольник. ∠АСМ + ∠ΑΝΜ = 1800, значит точки А, С, М, N лежат на одной окружности. ∠ΜΑΝ = ∠MCN – вписанные, опирающиеся на одну дугу NM.

Задача 3. (ГИА). В треугольнике АВС проведены высоты AN и ВМ и отмечена точка К – середина стороны АВ. Найдите АВ, если известно, что АСВ = 1050, а площадь треугольника MNK = 4

Решение: 1) AN⊥CB, BM⊥AC – высоты треугольников. Построим окружность с центром в точке К и радиусом КВ. точки N и М принадлежат окружности. Значит KN = KM = R =

2) В треугольнике СВМ

∠МСВ = (1800 – 1150) = 750.

Тогда ∠СВМ = 150 – вписанный. ∠MKN = 2 150 = 300 (центральный).

SΔNMK = sin∠ΝΚΜ = 4; АВ2 = 4 16 = 64; AB = 8

Ответ: 8

Задача 4. (ЕГЭ). Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине В и углом при вершине А. точка D – середина гипотенузы. Точка С1 симметрична точке С относительно прямой ВD. Найдите ∠АС1В.

Решение:

1. BD – серединный перпендикуляр к отрезку СС1. Значит DC = DC1
2. D – центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника АВС, отсюда CD = DA = DC1. Значит точка С1 принадлежит окружности.

Рассмотрим:

а) α = 450, то ∠BDC = 2∠ВАС = 900; BD⊥АС. Точка С отобразится в точку А, и угол АС1В не будет определен.

б) Пусть α>450, тогда центральный угол ∠BDC = 2α > 900. В этом случае точки С и С1 расположены по одну сторону от хорды АВ. В прямоугольном треугольнике ∠ВСА = 900 - α. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Поэтому ∠АС1В = ∠ВСА = 900 - α.

в) Пусть α < 450, тогда центральный угол ∠BDC < 900. В этом случае точки С и С1 расположены по разные стороны от хорды АВ. Четырехугольник АС1ВС вписан в четырехугольник, поэтому

∠АС1В = 1800 - ∠ВСА = 1800 – (900 - α) = 900 + α.

Ответ: 900 + α, если 00 < α <450; 900 + α, если 450 < α < 900; при α = 450 точка С1 совпадает с точкой А и угол не определен.

Задача 5.

Известно, что ВМ и CN – высоты треугольника АВС, при этом MN=10, и ВС = 26. Найдите расстояние между серединами отрезков MN и ВС.

Решение:

Пусть Р и Q – середины отрезков ВС и MN соответственно. Из точек М и N отрезок ВС виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром ВС. Точка Р – центр окружности, а Q середина хорды MN, поэтому PQ ⊥ MN. Из прямоугольного треугольника PQM находим, что

PQ = = 12

Ответ: 12

Заключение.

В данной работе рассмотрены методические аспекты изучения и решения задач методом вспомогательной окружности, рассмотрены и решены задачи с применением данного метода. Подобраны и созданы дидактические материалы для проведения факультативных занятий в 9-м классе на использование и освоение решения задач этим методом, что послужит хорошей подготовкой учащихся к ГИА.

Используемая литература.

1. "Дополнительные главы к школьному учебнику" Геометрия 8. Л.С.Атанасян. М.; "Просвещение" 1996
2. "Сборник заданий для проведения экзамена в 9 классе" Геометрия. А.Д.Блинков, Т.М.Мищенко. М.; "Просвещение" 2009
3. "Тематические тесты" Геометрия. Т.М.Мищенко, А.Д.Блинков. М.; "Просвещение" 2008
4. Геометрия 7-9 классы. И.Ф.Шарыгин; М., "Дрофа", 1997
5. Готовимся к экзаменам ГИА. Геометрия ГИА 2011. И.И.Баврин; М.; Дрофа. 2011
6. Математика № 21 – 2010. Е. Потоскуев. "О роли геометрии и проблемах при ее изучении в средней и высшей школе"
7. Математика в школе № 5 – 2007
8. Математика в школе. № 7 – 2001
9. Методы решения планиметрических задач. Часть 1. А.О.Корнева. Саратов: ГОУ ДПО "СарИПКиПРО", 2005.