Трапеция. Определение, свойства и примеры решения задач.
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс)

Трапеция и ее свойства. Примеры решения задач.

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные – боковыми сторонами трапеции.

Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Если боковые стороны равны, трапеция равнобедренная.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований трапеции к прямой, содержащей другое основание.

Трапеция называется равнобедренной (равнобокой, равнобочной), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции:

1) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: m=a+b2.

2) Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

3) Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности основания, а проекция диагонали – полусумме оснований.

Доказательство:

Трапеция ABCD на рисунке – равнобедренная, AB=CD,BH и CK – перпендикуляры к AD.

Тогда AH и KD – проекция боковых сторон на основание AD,AH=KD=AD−BC2.

AK – проекция диагонали AC на основание AD,AK=AH+HK=AH+BC=AD+BC2.

4) Замечательное свойство трапеции. Четыре точки: середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон – лежат на одной прямой.

5) Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Два из них, содержащие боковые стороны, имеют равные площади, а два других, содержащие основания, подобны.

Доказательство:

Площади треугольников ABD и ACD равны. У них одно и то же основание AD и равные высоты, S△ABD=S△ACD.

Площадь треугольника ABD равна сумме площадей треугольников APD и ABP, а площадь треугольника ACD равна сумме площадей треугольников APD и CPD.

S△ABD=S△APD+S△ABP,

S△ACD=S△APD+S△PCD.

Значит, S△ABP=S△PCD.

6) Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180 градусов.

7) Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны (как у параллелограмма).

Задачи ЕГЭ и  ОГЭ по теме «Трапеция»

1. Средняя линия трапеции равна 11, а меньшее основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: m=a+b2.

Значит, a+5=2⋅11=22,a=17.

Ответ: 17.

2. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Решение:

Заметим, что BCDE – параллелограмм, как как его противоположные стороны попарно параллельны. Значит, BE=CD,BC=ED.

Периметр треугольника равен сумме его сторон, a+b+c=15.

Периметр трапеции равен a+b+4+c+4=(a+b+c)+8=15+8=23.

Ответ: 23.

3. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции ее диагональ.

Решение:

Что мы видим на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция ABCD, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое – два треугольника, ABC и ACD, в которых проведены средние линии.

Напомним, что средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из △ACD находим, что x=5.

Ответ: 5.

4. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Решение:

Проведем PQ – среднюю линию трапеции, PQ=2,5 и PQ∥BC. Отсюда получаем, что M – середина отрезка AC, то есть PM – средняя линия треугольника ABC и PM=1. Аналогично, NQ=1.

x=MN=PQ−PM−NQ=0,5.

Ответ: 0,5.

5. Основания трапеции равны 3 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции ее диагональ (отрезок MQ на рисунке).

Решение:

Рассмотрим треугольник ACD, в котором проведена средняя линия MQ.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из △ACD находим, что MQ=AD:2=9:2=4,5.

Ответ: 4,5.

6. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой острого угла трапеции и образует со стороной CD угол 63∘. Найдите углы трапеции.

Решение:

Пусть ∠CAD=α, тогда ∠CAB=α и ∠BAD=2α, так как трапеция равнобедренная.

Сумма углов △ACD=3α+63∘=180∘, откуда α=39∘.

∠D=78∘, а ∠BCD=180∘−78∘=102∘, это больший угол.

Ответ: 102∘.

7. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке M. Известно, что площадь трапеции равна 38, площадь треугольника BCM равна 5, а площадь треугольника ADM в 3 раза больше. Найдите площадь треугольника ABM.

Решение:

Как мы доказали, треугольники ABM и CDM имеют равные площади.

Пусть S – площадь треугольника ABM. Тогда площадь треугольника CDM тоже равна S.

Если площадь треугольника BCM равна 5, то площадь треугольника ADM равна 5⋅3=15.

Площадь трапеции равна сумме площадей четырех треугольников, ABM,BCM,CDM и ADM.

S+5+S+15=38, отсюда S=9.

Ответ: 9.

8. Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны 2.

Решение:

Высота трапеции – это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины B. Так как сторона квадратной клетки равна 2 , то по теореме Пифагора получаем, что h=2.

Ответ: 2.

9. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150∘. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы ∠ABC и ∠BAH – односторонние, их сумма равна 180∘, и тогда ∠BAH=30∘.

Из △ABH найдем высоту BH. Катет, лежащий против угла в 30∘, равен половине гипотенузы. Получаем, что BH=3,5.

Площадь трапеции равна S=6+182⋅3,5=42.

Ответ: 42.

10. В равнобедренной трапеции основания равны 10 м и 24 м, боковая сторона 25 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

В равнобедренной трапеции проведем высоты. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Тогда основание каждого треугольника равно 7 и h2=252−72=(25−7)(25+7)=18⋅32.

Отсюда, h=18⋅32=9⋅64=3⋅8=24.

Ответ: 24.

11. Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135∘, а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем две высоты. Они разделят трапецию на три части: прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника с острым углом 45∘.

Каждый треугольник равнобедренный, поэтому h=1,4.

Нетрудно видеть, что верхнее основание трапеции равно 2, а нижнее – 4,8.

Отсюда площадь трапеции равна 2+4,82⋅1,4=4,76.

Ответ: 4,76.

12. Площадь трапеции равна 60 м2, а основания 8 м и 12 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Так как площадь трапеции S=a+b2⋅h, то 60=8+122⋅h, откуда h=6.

Ответ: 6.

13. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны и равны a. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем CE∥BD и DE – продолжение AD.

Так как BCDE – параллелограмм, то CE=a.

По теореме 10 получим, что SABCD=SACE=12a2.

Ответ: 12a2.

14. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD и является биссектрисой угла A. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20, а угол D равен 60∘.

Решение:

По условию задачи в прямоугольном △ACD:

∠D=60∘, следовательно, ∠CAD=30∘.

Так как AC – биссектриса, то ∠CAB=30∘, откуда ∠DAB=60∘, то есть, трапеция равнобедренная. ∠BCA=∠CAD=30∘ как накрест лежащие, поэтому △ABC – равнобедренный.

Обозначим длины боковых сторон △ABC буквой x.

Тогда AB=BC=CD=x, и AD=2x, так как в прямоугольном △ACD против угла в 30∘ лежит катет, равный половине гипотенузы.

Таким образом, периметр трапеции, равный 20, составляет 5x, отсюда

x=4 и AD=8.

Ответ: 8.

15. В равнобедренной трапеции ABCD с острым углом 60∘ меньшее основание BC равно 2, а боковая сторона AB равна 10. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке M. Во сколько раз площадь трапеции больше площади треугольника BCM?

Решение:

Нетрудно видеть, что △BCM равносторонний и BM=2, тогда AM=12 и △BCM подобен △ADM c коэффициентом k=12:2=6.

Пусть SBCM=S1,SADM=S2, тогда

S2=k2⋅S1=36⋅S1.

Площадь трапеции будет равна SABCD=S2−S1=36S1−S1=35S1=35SBCM.

Ответ: 35.

16. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90∘. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если основания равны 6 и 10.

Решение:

Продолжим боковые стороны до пересечения в точке E и отметим точки F и G – середины оснований трапеции.

Так как сумма углов при основании трапеции равна 90∘, то ∠BEC=90∘, поэтому EF и EG – медианы в прямоугольных треугольниках BEC и AED соответственно.

Известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, значит FG=EG−EF=AG−BF=5−3=2.

Ответ: 2.

17. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, если средняя линия трапеции равна 10, а ее площадь 24.

Решение:

Так как площадь трапеции равна S=mh, а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть h=2r, то 24=10⋅2r, откуда r=1,2.

Ответ: 1,2.

18. Периметр прямоугольной трапеции равен 32, а большая боковая сторона равна 10. Найдите радиус r вписанной в трапецию окружности.

Решение:

По свойствам описанной трапеции сумма ее боковых сторон равна сумме оснований, поэтому

AB+CD=32:2=16, откуда AB=16−10=6.

Сторона AB равна диаметру окружности, поэтому r=3.

Ответ: 3.

19. Около окружности описана трапеция, сумма боковых сторон которой равна 40. Найдите длину ее средней линии.

Решение:

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований. Если трапеция описана вокруг окружности, то в ней сумма оснований равна сумме боковых сторон, поэтому

m=a+b2=c+d2=402=20.

Ответ: 20.

20. В окружность вписана трапеция так, что диаметр окружности служит основанием трапеции, а вершины другого основания делят полуокружность на три равные части. Найдите тупые углы трапеции. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Так как AD – диаметр окружности, то дуга ABCD равна 180∘. Она делится на три равные части по 60∘.

Вписанный угол D опирается на дугу ABC, которая равна 120∘, отсюда ∠ADC=60∘ и, стало быть, ∠C=120∘=∠B.

Ответ: 120.