Теория и задания по теме "Вектора" (8-9 класс)
рабочие листы по геометрии (8, 9 класс)

Понятие вектора

Рассмотрим отрезок АВ

Точка А и точка В границы отрезка и этот отрезок мы можем назвать АВ или ВА.

Теперь зададим направление этого отрезка.

Например, стрелочкой покажу, что отрезок направлен от точки А в точку В.

В данном случае А является началом отрезка, точка В является концом отрезка.

Также могу задать направление в другую сторону, тот же самый отрезок АВ только направление задаю в другую сторону. 

В этом случае точка В начало отрезка, точка А конец отрезка.

Отрезок с заданным направлением называется вектор.

В этом случае вектор называется АВ

А – на первом месте начальная точка

В – на втором месте конечная точка

Стрелочка вверху говорит о том, что это направленный отрезок.

В этом случае вектор называется ВА

В – начальная точка

А – конечная точка

Если я рассмотрю просто точку на плоскости, назовём её М, эта точка тоже будет являться вектором.

Направление может быть в любую сторону. Это нулевой вектор, потому что начало вектора и конец вектора совпадают. В данном случае можно написать вектро ММ.

Вектор можно обозначать маленькими строчными буквами.

Длина вектора

В алгебре разбиалось такое понятик как модуль числа.

 2    = 2               Модуль числа 2 в переводе на язык учеников \то расстояние от начала отсчета до числа 2.

Расстояние, модуль и длина отрезка это в принципе одно и тоже.

Для того, чтобы найти длину вектора АВ.

Надо просто взять линейку, приложить и измерить этот отрезок. Длина отрезка, это расстояние от точки А до точки В.

Длина отрезка или длина вектора записывается так:

                                                                    |AB| = (допустим) 5 см

                                              |BА| = (допустим) 5 см

                      |ММ| = 0

Коллинеарные вектора

Рассмотрим прямую а и положим на неё несколько векторов,

первый вектор   b  , ещё один вектор  с  и вектор  d.

Рассмотрим две параллельные прямые с и d. Тоже отложим

несколько векторов: m,    k  и   h

   Векторы, которые располагаются на параллельных прямых тоже называются коллинеарными.

Получается, если векторы находятся на одной прямой или на параллельных прямых, такие векторы называются коллинеарными.

 Если векторы направлены в одну сторону, то они называются сонаправленными и записываются так:

b         c

Векторы направленные в разные стороны называются противоположно направленными и записываются так:

b         c

Получается по предыдущему рисунку:

m          h  - сонаправленные

m         k – противоположно направленные

Нулевой вектор будет сонаправлен с любым вектором который находится на плоскости

Равенство векторов

Если взять линейку и начать измерять каждый вектор, то они буду равны.

Есть определённые условия, которые должны выполняться для того, чтобы векторы были равными:

1. Длина вектора а должна быть равна длине вектора b

|  a  | = |  b  |

2. Вектор а должен быть сонаправлен с вектором b

а          b

Получается, что a   =   b

Векторы называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

1 задача

Прямоугольный треугольник АВС. Известно, что одна сторона 3 см, вторая 4 см. Найдите длину вектора ВС.

Решение:

| BC | =      16 + 9    =       25  = 5 см

2 задача

Квадрат со стороной 2 см. Известно, что точка О – точка пересечения диагоналей. Найдите длину вектора АО.

Решение:

Треугольник АСD

АС =       4 + 4     =  2       2

АО =           АС =       2

| АО | = АО =       2

Сложение и вычитание векторов

1. Рассмотрим любую точку на плоскости, точка А. От точки А я могу отложить вектор равный вектору а.

На параллельной прямой откладываю отрезок, длина которого равна отрезку а и направление вектора будет совпадать с направлением вектора а.

Могу сказать, что а    =  АВ

Также могу выбрать любую другую точку, например С, и от этой точке тоже отложить вектор равный вектору  а.

Получается, что а  = СD

2. Теперь рассмотрим правило по которому можно складывать векторы.

Например, у меня есть какое-то тело, которое движется из точки А в точку В, затем это тело передвигается в точку С.

В конечном результате тело из точки А переместилось в точку С. Результатом движения послужил вектор АС.

3. Например, ученик из школы сначала отправился в магазин, после этого он переместился домой, так вот результатом его движения стал путь из школы домой.

ШМ + МД = ШД

Правило сложения векторов в данном случае называется правило треугольника.

Правило треугольника заключается в том, что у меня есть два вектора а  и  b, для того, чтобы найти их сумму я выбираю любую точку на плоскости, дальше строю вектор равный вектору а   (вектор АВ), дальше строю вектор равный вектору b, но уже он будет начинаться из точки В (вектор ВС).

Результатом сложения вектора а  и  b  будет являться вектор АС.

4. Если у меня векторы будут направлены в одну сторону, то

KP =  c  +  d

1 задача

У меня есть два вектора, один 3 см, второй вектор 4 см. Чему равна сумма векторов?

| АВ | = 3 см

| ВС | = 4 см

| АВ + ВС | = | АС | =     32 + 42  = 5 (сумма векторов)

| АВ | + | ВС | = 3 + 4 = 7 (сумма длин векторов)

5. Правило параллелограмма

Выбираю любую точку, например М, дальше строю вектор равный вектору а из точки М, после строю вектор равный вектору b из точки И, затем достраиваю до параллелограмма и провожу диагональ MN. Вектор MN, это сумма векторов а и b.

Пример 1:

Тело двигалось из точки А в точку В, затем из точки В в С, потом из С в D, далее из D в К.

Результатом движения стал путь из А в К.

АК = АВ + ВС + СD + DK

Пример 2:

АВ + ВМ + MP + PD = AD

Пример 3:

AB + MP + CD + BC + DM = AB + BC + CD + DM + MP = AP

Вычитание векторов

ВА       АВ

| АВ | = | ВА |

АВ и ВА – противоположные вектора

АВ = - ВА

АВ + ВА = 0

Из какой точки вышли, в такую пришли

a  -  b =  a  + (- b)

Беру точку, откладываю от неё вектор  а  из конца вектора откладываю вектор, который равен по длине вектору  b , но направленный в противоположную сторону, это будет – b.

Задача 1

Упростить выражение:

АВ – KD + MD – MC + BC = AB + DK + MD + CM + BC = AB + BC + CM + MD + DK = AK