Применение интегралов в геометрии и физике.
методическая разработка по геометрии (10, 11 класс)

Дисциплина

Математика, физика

Специальность / профессия

08.02.15 Информационное моделирование в строительстве

Тема занятия

Примеры применения интеграла в геометрии и физике.

Содержание занятия

Неопределенный и определенный интеграл, вычисление площадей фигур и объёмов тел вращения, нахождение пути и работы с помощью определенного интеграла.

Тип занятия

Интегрированное занятие.

Формы организации учебной деятельности

Фронтальная, групповая, сообщения обучающихся, опережающие задания.

Учебная и дополнительная литература

1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы.
2. Учебник «Алгебра и начала математического анализа 11 класс» Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.
3. Учебник «Алгебра и начала математического анализа 11 класс» М.И. Башмаков.
4. Дидактические материалы/ М.И. Башмаков, Т.А. Братусь и др.
5. Интернет-ресурсы: Википедия.

Этапы занятия

Деятельность

преподавателя

Деятельность

студентов

Планируемые образовательные результаты

Типы оценочных мероприятий

1. Организационный этап занятия

Организация начала занятия:

-Отметить отсутствующих

-Проверить готовность аудитории к уроку

-Формирование команд, выбор капитанов.

-Постановка целей и задач урока.

-План работы на уроке.

Записывают тему урока. Проверяют наличие на столах раздаточного материала.

Цель: Обобщение и систематизация знаний, полученных при изучении темы: «Первообразная. Определённый интеграл». Расширить представления о практическом значении данной темы.

ОК- 01.

Создание рабочей обстановки, актуализация мотивов учебной деятельности

2. Основной этап занятия

Актуализация знаний

Устная работа

Найти неопределенный интеграл:

Вычислить определенный интеграл

Повторить площадь криволинейной трапеции и по готовым чертежам выразить, с помощью интеграла площади фигуры, изображённой на рисунке

ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-07

ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.5

Студенты слушают ответы своих товарищей и исправляют, если необходимо

Студенты у доски вычисляют интегралы и объясняют решение.

Устные ответы с последующей проверкой на слайдах

Мотивация учебной деятельности

Итог актуализации знаний: Постановка задачи.

Рассмотрим тело, образованное вращением этой криволинейной трапеции вокруг оси OX. Получится тело вращения. Научимся находить объем тела вращения.

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции, образованной функцией у=f(x) на отрезке  [a;b],вокруг оси ОХ, то его объём можно найти по формуле:

ОК-01, ОК-02,
ОК-03, ОК-05

Делают записи в тетради, анализируют формулу.

Изучение нового материала

Применение интеграла в геометрии

Предлагает решить задачу по готовому чертежу, помогает разобраться с исходными данными

Пусть тело образовано вращением параболы у=х2  на отрезке [0;2] вокруг оси ОХ. Найдите объём тела вращения.

ОК-01, ОК-02,

ОК-03, ОК-05, ОК-06, ОК-07, ПК-11, ПК-12, ПК-15

Делают чертеж в тетрадях, у доски один студент составляет интеграл и вычисляет объем тела вращения.

Предлагает студентам представить решение опережающих заданий, выданных на предыдущем занятии.

Подводит итоги

1.  С помощью интеграла вывести формулу объема цилиндра

2. С помощью интеграла вывести формулу объема конуса.

Записывают решение задач в тетрадь, задают вопросы.

Применение интеграла в физике:

Преподаватель физики говорит вступительное слово, настраивает на изучение новых фактов.

ОК-01, ОК-02,

ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07, ПК-11, ПК-12, ПК-15

Студенты слушают

Предлагает прослушать сообщения студентов на тему: «История интеграла» и «Применение интеграла»

Демонстрация слайдов

Выступление студентов с сообщениями.

Подведение итогов, обобщение сказанного ребятами на примере раздаточного материала

Анализируют таблицу

Предлагает две задачи о нахождении пути по заданной скорости. Задает наводящие вопросы, акцентирует внимание на основных моментах.

1. Скорость движения точки   м/с.
Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Решает студент у доски. Все записывают решение в тетрадь. Разбирают алгоритм решения при решении этих задач.

2. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью
v = (39,2—9,8t) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

Предлагает задачу о вычислении работы переменной силы. Рассматривает теоретические вопросы.

Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле

А=

При решении задач на вычисление работы силы часто используется
закон Г у к а: 

 F=k x,    

где F — сила (Н); х—абсолютное удлинение пружины ( м), вызванное силой F, k —коэффициент пропорциональности ( Н/м).

Записывают в тетрадь, вспоминают закон Гука, единицы измерения необходимых физических величин.

Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?

У доски студент, все записывают задачу в тетрадь.

Закрепление нового материала

Игра «Что? Где? Когда?»

1. Решить уравнение

2.

3.

4.

5. Вычислить интеграл на отрезке [-2; 4], если график функции  f(x) =

6.

7. То, что лежит в нем – получено в результате вращения фигуры, образованной графиками функций y = x вокруг оси ОХ на отрезке [0; 3]. Что это за тело? Каков его объем?

8. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, вычислить

9.

10. Какую работу надо затратить на сжатие пружины на 4 см, если известно, что сила в 2 Н сжимает эту пружину на 1 см?

11. Вычислить площадь, ограниченную линиями

12. Сложение (+) и умножение (∙) имеют по обратному действию, которые называется вычитанием и делением. Следующему математическому действию – возведению в степень – обратно, извлечение корня.

С какой математической операцией взаимосвязана операция интегрирования?

Слово «интеграл» придумал Якоб Бернулли (1690 г.). Оно переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Кто  был родоначальником интегрального и дифференциального исчисления?

В Древней Греции математики занимались решением задач на нахождение квадратур плоских фигур и кубатур тел.  Какие задачи к этим видам относим мы сейчас?

ОК-01, ОК-02,
ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07, ПК-11, ПК-12, ПК-15

Все задачи решают в тетради, в конце решения команды дают ответ. Первый правильный ответ=1 балл

Подведение итогов игры

Объявляют количество баллов, заработанных каждой командой.

Предлагает каждой команде под руководством капитана оценить работу и вклад каждого в занятие:
1) Работа на уроке

2) Записи в тетради

3) Выступление у доски

4) Решение задач у доски

Наибольший балл за урок «5» получают команды, занявшие 1 и 2 место, «4» получают команды, занявшие 3 и 4 место.

Капитаны обсуждают с командой и выставляют оценки каждому участнику команды, сдают ведомость преподавателю.

3. Заключительный этап занятия

Подведение итогов работы; фиксация достижения целей (оценка деятельности обучающихся); определение перспективы дальнейшей

работы

Подводит итог занятия. Объявляет оценки.

Проводит рефлексию:

Сегодня мы завершили тему «Интеграл», рассмотрели всё многообразие прикладных задач в физике, которые решаются с помощью интеграла, научились вычислять первообразные, интегралы рассмотрели применение интеграла на практике. Задачи, которые мы решили, могут встретиться вам на занятиях по специальным дисциплинам или в вашей будущей профессиональной деятельности. Думаю, вы с ними успешно справитесь.

− Что вы узнали на сегодняшнем занятии?

− Какой вывод о себе и своей учебной группе можете сделать?

− О чем по теме занятия вы хотели бы еще узнать?

− Довольны ли вы своим участием в занятии?

ОК 06

Комплексная оценка за все этапы урока

Отвечают на вопросы.

4. Задания для самостоятельного выполнения 

По математике:

Собрать цитату

По физике:

Решить задачи

1) Скорость движения тела задана уравнением V=(6t2+4)м/с. Найдите путь, пройденный за 5с от начала движения.

2) Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислите работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее 0,01м нужна сила 10 Н.

ОК-01, ОК-02,

ОК-03, ОК-05, ОК-07, ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.5

Фотографируют задание на раздаточном материале.