Применение элементов аналитической геометрии к решению стереометрических задач
методическая разработка по математике (10, 11 класс)

В данной работе рассмотрены возможности применения элементов аналитической геометрии к решению стереометрических задач.

Скачать:


Предварительный просмотр:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ЛИЦЕЙ № 14»

Бурмистрова А.В

Применение элементов аналитической геометрии к решению стереометрических задач

ТАМБОВ 2019

ВЫЧИСЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ И УГЛОВ

     Рассмотрим несколько геометрических задач, для решения которых необходимо вычислить те или иные расстояния или углы в пространстве (эти задачи предлагались на вступительных экзаменах в вузы). Задачи такого типа удобно решать с помощью скалярного произведения векторов. Основной метод решения заключается в том, что  в пространстве выбирается подходящий базис и составляется таблица умножения – таблица скалярных произведений векторов этого базиса. Имея такую таблицу и зная разложения векторов в выбранном базисе, вычислить длины этих векторов и углы между ними уже легко. Мы начнем с простой задачи, где этот метод напрашивается сам собой, а затем перейдем к более сложным задачам, продемонстрировав на них все основные случаи.

Задача 1. В треугольной пирамиде ABCD все ребра имеют одинаковую длину.  Точка M – середина ребра AD, точка О – центр треугольника ABC, точка N – середина ребра AB и точка K – середина ребра CD. Найдите угол между прямыми MO и KN.

     Решение.

 Примем длину ребра тетраэдра за единицу и выберем в качестве базиса векторы , , . Составим таблицу умножения для этого базиса (табл. 1). Разложим векторы  и  по векторам ,  и :                                                                                                                                                             

                                                                                                                                                                                         

                                                                   

                                                                                                 Таблица1

1

1

1

.

Угол φ между прямыми MO и KN вычисляется по формуле

.

Найдем , и , пользуясь таблицей 1:

;

= 

Отсюда cosφ=, φ=.

     Однако условие задачи не всегда позволяет выбрать базис с полностью определенной таблицей умножения. В этом случае нужно попытаться составить уравнение относительно недостающего элемента.

     Задача 2. Сторона основания правильной треугольной призмы  равна а, точки  и  являются центрами оснований  и  соответственно. Длина ортогональной проекции отрезка  на прямую  равна 5а/6. Определите высоту призмы.

     Решение. 

Выберем в качестве базиса векторы , ,  (рис. 1). Пусть . Таблица 2 – это таблица умножения для базиса (, , ).

                                                           Таблица 2

0

0

0

0

     Ортогональная проекция отрезка  на прямую  равна длине этого отрезка, умноженной на косинус угла φ между прямыми  и . Чтобы вычислить  и , разложим векторы  и  в базисе ( , ):

.

Используя таблицу 2, находим:

,

Поскольку  мы получаем уравнение

.

Отсюда .  

     Можно выделить четыре основных типа задач на вычисление расстояний и углов.

1. Расстояние от точки до прямой.

     Дано: точка; прямая l с направляющим вектором , точка А, принадлежащая прямой l; .

     Найти: расстояние от  очки M до прямой l.

     (Векторы  и  в условии задачи даны в том смысле, что известны их разложения в некотором базисе с заданной таблицей умножения.)

     Приведем схему решения этой задачи.

     Пусть N – ортогональная проекция точки M на прямую l (рис. 2). Тогда  Неизвестный коэффициент х находится из условия перпендикулярности векторов  и :  Искомое расстояние .

     Задача 3. В правильной треугольной пирамиде SABC (S – вершина, SA = 4) точка D лежит на ребре SC, а расстояние от точки A до прямой BD равно 2. Найдите объем пирамиды.

     Решение. Выберем базис из векторов , , .

Составим таблицу умножения для этого базиса, обозначив через φ плоский угол при вершине пирамиды (табл. 3). По условию расстояние от точки А до прямой BD равно 2. Вычислив это расстояние с помощью таблицы 3, мы получим уравнение, позволяющее найти .

Таблица 3

16

16

4

16

16

4

4

4

1

     Пусть N – проекция точки A на прямую BD (рис. 3). Тогда  Так как векторы  и  перпендикулярны, получаем ( Используя таблицу 3, после упрощений находим:

                                                                                         (1)

Вычислим теперь длину вектора :

.

Так как              

                                                                               (2)

Из равенств (1) и (2) получаем /9. Поэтому  = 55/64.

     Найдем теперь длину отрезка  - высоту пирамиды. Так как O – центр треугольника ABC,

откуда

Чтобы найти площадь основания пирамиды, вычислим :

Теперь искомый объем

     2. Расстояние от точки до плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

     Дано: плоскость α с базисом (), точка А, принадлежащая плоскости α, точка M, не лежащая в плоскости α, .

     Найти: расстояние от точки до плоскости α и угол между прямой и плоскостью α.

     Схема решения этой задачи такова.

     Пусть N  - ортогональная проекция точки M на плоскость α (рис. 4). Тогда  Неизвестные коэффициенты x, y находятся из условия перпендикулярности вектора  векторам  и :

     Зная x и y, находим расстояние от точки M до плоскости α, равное 

     Если  то угол между прямой AM и плоскостью α равен углу между векторами  и , а если , то прямая AM перпендикулярна плоскости α.

     Задача 4. В основании прямой призмы  лежит ромб ABCD с острым углом А = . Все ребра призмы имеют длину а. Точка К является ортогональной проекцией точки  на плоскость , а точка L – ортогональной проекцией точки К на плоскость  Найдите объем пирамиды DCLK.

     Решение. Примем за основание пирамиды DCLK треугольник CDL, лежащий в плоскости . Тогда отрезок KL – высота пирамиды (рис. 5). Следовательно,

где M – ортогональная проекция точки L на прямую DC.

                                                           Таблица 4

0

0

0

0

     Выберем в качестве базиса векторы , ,  и заполним таблицу 4 – таблицу умножения для этого базиса.

     Далее,

     Так как вектор перпендикулярен векторам  и , получаем систему

 

      Заменив вектор  его разложением в базисе ( , ) и воспользовавшись таблицей 4, придем после упрощений к системе уравнений 2x + y = 1, 3x + 4y = 1, откуда x = 3/5, y = -1/5.

     Следовательно, .

Аналогично

Так как  и то  откуда , и 5t + 1 = 0, откуда t = -1/5. Следовательно,

     Теперь можно найти высоту пирамиды :

      Осталось найти :

Так как  то , откуда , .

Таким образом,

     3. Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми.

     Дано: прямая  с направляющим вектором , точка , принадлежащая прямой ; прямая  с направляющим вектором , точка , принадлежащая прямой ;  

     Найти: расстояние и угол между прямыми l и l.

     Задачи этого типа решаются по следующей схеме.

     Косинус угла  между прямыми  и  находятся по формуле

Чтобы определить расстояние между прямыми  и , т.е. длину их общего перпендикуляра  (, , рисунок 6), представим  вектор   в виде  Неизвестные коэффициенты x, y находятся из условий перпендикулярности вектора  векторам  и :

Искомое расстояние – длина вектора , т.е.

     Задача 5. Основанием пирамиды SABC  является треугольник ABC, длина стороны которого равна 4 Боковое ребро SC перпендикулярно к плоскости основания и имеет длину 2. Найдите величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку С и середину ребра AB.

                                                                     Таблица 5

32

16

0

16

32

0

0

0

4

   

  Решение. Пусть M и N – середины ребер и (рис. 7). Выберем в качестве базиса векторы ,   Таблица умножения для этого базиса – это таблица 5. Найдем угол φ между прямыми SM и CN:

;

     Вычислим , , :

 = 12,  = ,  = .

     Следовательно, , φ = .

     Вычислим теперь расстояние между прямыми SM и CN, т.е. длину их общего перпендикуляра PQ (PSM, QCN):

     Из условия перпендикулярности вектора  векторам  и  получаем систему уравнений

3x + 3y = -1, x + 2y = 0,

откуда x = -2/3, y = 1/3.

     Следовательно,

 

     4. Угол между плоскостями.

   

  Угол между двумя плоскостями  равен углу между перпендикулярными им прямыми. Действительно, пусть плоскости α и β пересекаются по прямой с (рис.8). Через какую-нибудь точку, не лежащую на прямой с, проведем прямые a и b, перпендикулярные плоскостям α и β соответственно. Тогда плоскость, проходящая через прямые a и b, пересекает плоскости α и β по прямым  и , перпендикулярным прямой с (см. рис. 8). Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми  и , который, в свою очередь, равен углу между прямыми a и b (так как прямые  a,  b, ,  лежат в одной плоскости и a,  b).

     Таким образом, задача нахождения угла между плоскостями сводится к вычислению угла между прямыми.

      Задача 6. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 1, ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, SA = . Плоскость α параллельна прямым SB и AC, плоскость β параллельна прямым SC и AB. Определите величину угла между плоскостями α и β.

    Таблица 6

3

0

0

0

1

0

1

Решение. Выберем в качестве базиса векторы , , . Таблица 6 – это таблица умножения для векторов этого базиса. Если  и  - ненулевые векторы, перпендикулярные плоскостям α и β соответственно , а φ – угол между этими плоскостями, то

     В качестве вектора  можно взять любой ненулевой вектор, удовлетворяющим условиям  

     Запишем вектор  в виде  Так как , , мы получаем систему уравнений

     С помощью таблицы 6 приводим эту систему к виду

6x – 2y z = 0,  y + 2z = 0.

     Число уравнений в этой системе меньше числа неизвестных. Это объясняется тем, что вектор  условием α не определен однозначно. Решение такой системы сводится к выражению двух неизвестных через третье. Выразим x и y через z: y = -2z, x = -1/2z.

     Положив теперь, например, z = -2, найдем x и y: x = 1, y =4. Вектор  - один из ненулевых векторов, перпендикулярных плоскости α.

     Аналогично будем искать ненулевой вектор , перпендикулярный плоскости β: , ;

так что

, .

     Можно взять u = -2. Тогда v = 4, t =1, так что  (Выражение для вектор  можно было получить из выражения для вектора , заметив, что условие, задающее плоскость β, получается из условия, задающего плоскость α, перестановкой точек B и C.)

     Теперь вычисляем  :

  .

Таким образом, .

     Упражнения

     1. В параллелограмме ABCD точка K – середина стороны BC, а точка M – середина стороны AD. Найдите AD, если AK = 6, AM = 3,  = .

Ответ: 4

     2. В правильном тетраэдре ABCD отрезок MN соединяет середину ребра AC с центром грани BDC, а точка E – середина ребра AB. Найдите угол между прямыми MN и DE.

Ответ:.

     3. В основании треугольной призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, длины катетов AB и AC которого равны α. Боковые ребра , ,  образуют с плоскостью основания углы в , а диагональ  боковой грани  перпендикулярна ребру AC. Найдите объем призмы, если длина диагонали  равна .

Ответ:.

     4. В правильной треугольной призме  длина стороны основания равна а, длина бокового ребра равна а/2. Точка D является ортогональной проекцией середины ребра  на плоскость , а точка E – ортогональной проекцией точки D на плоскость . Найдите объем пирамиды

Ответ:.

     5. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD имеет длину a, боковое ребро – длину 2а. Рассматриваются отрезки с концами на диагонали BD основания и боковом ребре SC, параллельные плоскости SAD.

     a) Один из этих отрезков проведен через точку M диагонали BD такую, что DM : DB = 1 : 3. Найдите его длину.

     б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.

Ответ: а), б).

МЕТОД КООРДИНАТ.

Задача 1. В основании треугольной пирамиды SABC  лежит прямоугольный треугольник АВС с катетами СА=4, СВ=3. Вершина пирамиды S проектируется в точку С, причем SC=1. На ребрах пирамиды взяты точки М – на СА, N – на СВ, Р – на SA, причем MC = 1, NC = NB, SP = PA. Найти величину угла, образуемого плоскостью сечения пирамиды, проходящей через точки M, N, P, с плоскостью основания.

Решение.

Взаимно перпендикулярные ребра пирамиды CS, СА и СВ позволяют связать с ними прямоугольную систему отсчета, поместив начало в вершине С. Тогда плоскость сечения проходит через три точки, координаты которых нам известны, а именно М(1, 0, 0), N(0,, 0), P(2, 0, ).

Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, будем искать в виде

. Это так называемое «уравнение плоскости в отрезках». Числа а, b и с  - это координаты точек пересечения плоскости с соответствующими осями координат, точнее говоря, координаты этих точек имеют вид (а, 0, 0), (0, b, 0), и (0, 0, с).

Подставляя в это уравнение последовательно координаты точек М, N, P, получим три уравнения для определения чисел а, b и с :

Отсюда находим а=1, b= и с= , т.е. секущая плоскость имеет уравнение  или .

Известно далее, что коэффициенты (3, 2, -6), стоящие при x, y, z в уравнении плоскости, можно рассматривать как координаты вектора , перпендикулярного этой плоскости. Аналогично, координаты вектора , перпендикулярного плоскости  основания пирамиды, равны (0, 0, 1). Поэтому, используя формулу для выражения косинуса угла между векторами через их скалярное произведение и длины, можно вычислить этот угол, который как раз и равен углу между рассматриваемыми плоскостями. Имеем: , т.е. .

Задача 2. Через три точки O, E, F, лежащие на поверхности куба ( - боковые ребра), проведена плоскость сечения. Найти величину угла, образуемого его плоскостью с плоскостью основания куба, если известно, что О – центр грани  куба, Е и F принадлежат ребрам  и ВС, соответственно, причем  и .

Решение.

Приняв за начало координат вершину В куба, направим ее оси x, y, z соответственно по векторам . Тогда точки Е, О и F, через которые проводится сечение, имеют координаты,  , .

Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, будем искать в виде

.

Числа а, b и с  - это координаты точек пересечения плоскости с соответствующими осями координат, точнее говоря, координаты этих точек имеют вид (а, 0, 0), (0, b, 0), и (0, 0, с).

Подставляя в это уравнение последовательно координаты точек Е, О, F, получим три уравнения для определения чисел а, b и с :

Отсюда находим а=, b= и с=. После этого уравнение плоскости можно записать следующим образом: .

Известно далее, что коэффициенты (9, 4, -5), стоящие при x, y, z в уравнении плоскости, можно рассматривать как координаты вектора , перпендикулярного этой плоскости. Аналогично, координаты вектора , перпендикулярного плоскости  основания куба, равны (0, 0, 1). Поэтому, используя формулу для выражения косинуса угла между векторами через их скалярное произведение и длины, можно вычислить этот угол, который как раз и равен углу между рассматриваемыми плоскостями. Имеем: , т.е. .

Задача 3. Доказать, что расстояние  от точки до плоскости  вычисляется по формуле: .

Решение.

Проведем , где . Координаты точки В обозначим через .Векторы и  коллинеарны, поэтому угол между ними равен или . Пользуясь скалярным произведением, получим: . Но , тогда ,

отсюда . В последнем равенстве перейдем к координатам: . Раскроем скобки в числителе и заменим выражение числом , так как . Получим: .

Задача 4. Длина ребра куба равна 1. На ребре KL взята точка А так, что длина отрезка КА равна . На ребре ММ1 взята точка В так, что длина отрезка М1В равна . Через центр куба О и точки А и В проведена плоскость . Точка Р – проекция вершины К1 на плоскость . Найти длину отрезка АР.

Решение.

Треугольник АК1Р – прямоугольный, так как по условию. Поэтому .

Найдем координаты точек А, В, О, К1:

 ;;

Из  находим . Длину отрезка К1Р найдем, как расстояние от точки К1 до плоскости , воспользовавшись формулой , где () – координаты точки К1, а числа a, b, c, d  - координаты уравнения , определяющего плоскость .

Чтобы найти значения a, b, c, d  , подставим в уравнение плоскости координаты точек А, В, и О. Получим систему:

 . Решая эту систему, находим:   и . Подставив найденные значения a, b  и  c, получаем уравнение плоскости : .

Теперь определим К1Р=. И, наконец, находим АР: .

Задача 5. Дан куб  с ребром 1. Найти радиус сферы, проходящей через вершину А, середины ребер DC и ВВ1 и центр грани .

Решение.

 Введем систему координат с началом в вершине А, выбрав оси так, чтобы вершины В, D и А1 имели координаты В(1, 0, 0), D(0, 1, 0), А1(0, 0, 1), координаты середин ребер DC и ВВ1 соответственно , , центра грани А1В1С1D1 - .

Напомним, что уравнение сферы с центром  и радиусом r имеет вид . Последнее уравнение можно преобразовать к виду . Поскольку сфера содержит начало координат, то d = 0. Для а, в, и  с легко получить систему уравнений:

Решив эту систему, найдем . Таким образом, уравнение сферы примет вид: , или . Искомый радиус равен .

Задача 6. Дан куб  с ребром 1.Две сферы одинакового радиуса касаются друг друга, причем центр первой сферы совпадает с вершиной D1, а центр второй расположен внутри куба, и она касается ребер трехгранного угла с вершиной А. Определить радиус сфер.

Решение.

 Введем систему координат с началом в вершине А, выбрав оси так, чтобы вершины D, B и А1 имели координаты D(1, 0, 0), B(0, 1, 0),

А1(0, 0, 1), тогда координаты центра первой сферы (точки D1)  - (1, 0, 1). Пусть R – радиус сфер. Поскольку вторая сфера касается ребер трехгранного угла с вершиной А, то расстояние от ее центра (точки Е) до каждого из ребер этого угла также равно R. В силу симметрии точка Е лежит на диагонали АС1 куба и ее координаты равны между собой. Поэтому достаточно ограничиться поиском одной из координат точки Е. Пусть М – ортогональная проекция точки Е на ось Oy. Тогда длина АМ и есть ордината точки Е, ЕМ=R. Прямая СВ – проекция прямой С1В на плоскость АВС и . Значит, по теореме о трех перпендикулярах, С1ВАВ. Но тогда треугольники  АЕМ и АСВ подобны по двум углам. Поэтому  или . Таким образом, ордината точки Е равна . Тогда координаты точки Е.

Сферы касаются друг друга, поэтому расстояние между их центрами равно 2R. Но . Следовательно, . Откуда  (второй корень уравнения отрицателен).

     Упражнения.

1. Дан куб  с ребром 1. На ребре АА1 взята точка Е так, что длина отрезка АЕ равна . На ребре ВС взята точка F так, что длина BF равна . Через центр куба и точки Е и F проведена плоскость . Найдите расстояние от вершины В1 до плоскости .

Ответ:.

2. Основанием пирамиды SABC является равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, длина гипотенузы АВ которого . Боковое ребро пирамиды SC перпендикулярно плоскости основания и его длина равна 2. Найдите величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра АС, а другая проходит через точку С и середину ребра АВ.

Ответ:; .

3. Дан куб  с ребром 1. На ребре АD как на диаметре построена сфера. Вторая сфера, лежащая внутри куба, касается первой сферы  и граней трехгранного угла с вершиной А1. Определить радиус второй сферы.

Ответ:.

4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна , а высота – 3. Вершина А куба  находится в центре основания пирамиды, а вершина С1 – на высоте пирамиды, а ребро СD лежит в плоскости одной из боковых граней. Найти длину ребра куба.

Ответ:.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

  1. В.М. Клопский, З.А.Скопец, М.И. Ягодовский. Геометрия. 9 – 10 классы.  – М.:, «Просвещение», 1982.

  1. М.В. Лурье. Геометрия. Техника решения задач. Учебное пособие. – М.: Издательский отдел УНЦ ДО, ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 240 с. – (Серия «В помощь абитуриенту»).

  1. В.В. Ткачук. Математика – абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2003. – 910 с.

  1. В.В.Прасолов, И.Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. – М.: «Наука», 1989.

  1. И.Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии. Стереометрия. Библиотечка «Квант». – М.: «Наука», 1984.

  1. Н.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский, Т.Н. Маслова, И.Ф. Орловская, Р.И. Позойский, Г.С. Ряховская, Н.М. Федорова – под общей редакцией М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы.  Минск, изд-во «Вышейшая школа», 1990.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка по теме: "Применение аналитической геометрии к решению стереометрических задач".

ВЫЧИСЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ И УГЛОВ       Рассмотрим несколько геометрических задач, для решения которых необходимо вычислить те или иные расстояния или углы в пространст...

Урок по геометрии в 11 классе «Различные способы решения стереометрических задач».

Задачи части «С» Единого государственного экзамена по стереометрии в последнее время большей частью посвящены вычислению расстояний и углов в пространстве. Такие задачи часто встречаются в практике, п...

Тема 36. ГЕОМЕТРИЯ.ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также  абитуриентов к вступительным э...

Методическая разработка по теме: "Применение векторно-координатного метода в решении стереометрических задач"

    Учёные всегда стремились упростить себе жизнь – придумывали новые, простые методы решения, универсальные для множества задач, позволяющие быстро решить даже самую трудную задачу. ...

Методическая разработка по теме: "Применение векторно-координатного метода в решении стереометрических задач"

    Учёные всегда стремились упростить себе жизнь – придумывали новые, простые методы решения, универсальные для множества задач, позволяющие быстро решить даже самую трудную задачу. ...

Программа внеурочной деятельности "Практикум решения стереометрических задач". Пропедевтика стереометрических знаний на примере качественных стереометрических задач.

Всем известная трудность в изучении стереометрии, возникающая у учащихся 10 классов, в значительной степени объясняется низким уровнем развитием их пространственных представлений. Ученики теряю...

Применение координатно-векторного метода при решении стереометрических задач

Мастер-класс по теме "Применение координатно-векторного метода при решении стереометрических задач". Разбор задач ЕГЭ...