Урок по геометрии в 11 классе «Различные способы решения стереометрических задач».
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Урок  по геометрии  в 11 классе  «Различные способы решения стереометрических задач».

Цель урока: создание условий для формирования навыка решения стереометрических задач различными способами.

Задачи урока:

• способствовать развитию наглядно-образного мышления, внимания;
• развивать умение высказывать собственные суждения, аргументировать свою точку зрения;
• воспитывать умение  планировать свою работу, искать рациональные пути решения задач.

ТСО: компьютер,  мультимедийный проектор, презентация к уроку (Приложение1)

Комментарии: на уроке рассматриваются задачи ЕГЭ типа «С2», можно использовать данный материал для организации итогового повторения.

Ход урока

I. Организационный момент.

Задачи части «С» Единого государственного экзамена по стереометрии в последнее время большей частью посвящены вычислению расстояний и углов в пространстве. Такие задачи часто встречаются в практике, поэтому им уделено особое внимание.  Рассмотрим  разные методы решения этих задач. (слайд 1)

II. Актуализация знаний.

1. Что называется расстоянием от точки до прямой, между параллельными прямыми? (слайд 2)
2. Что называется расстоянием от точки до плоскости? (слайд 6)

III. Тренировочные упражнения.

1. Задача 1

В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки D₁ до прямой PQ, где P и Q – середины соответственно ребер A₁B₁ и BC. (слайд 3)

Решение.

1 способ (поэтапно-вычислительный)

Пусть D₁H  PQ, где HPQ, R -  середина ребра AB. Найдем D₁H. (слайд 4)

ΔBRQ -  прямоугольный,  QR=

ΔPQR -  прямоугольный, PQ =

ΔDCQ - прямоугольный, DQ =

Δ D₁DQ- прямоугольный,  D₁Q =

D₁P = DQ =

В треугольнике D₁PQ по теореме косинусов ; ;  .

D₁H= D₁P 

D₁H= = .

Ответ: .

2 способ (координатный).

 Учитель задает вопрос: Как еще можно найти длины сторон в треугольнике D₁PQ?

Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке А (слайд 5).

Найдем координаты точек  P(0; 0.5; 1), Q(0.5; 1;0), D₁(1;0;1), тогда

PQ =  , D₁Q= ,  D₁P=

Далее решение аналогично 1 способу.   В треугольнике D₁PQ по теореме косинусов ; ;  .

D₁H= D₁P 

D₁H= = .

Ответ: .

1. Задача 2

В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки C₁ до плоскости AB₁C. (слайд 7)

Решение.

1 способ (поэтапно-вычислительный)  (слайд 8)

            Так как прямая A1C1  параллельна АС, то прямая A1C1 параллельна плоскости  AB1C. Поэтому искомое расстояние h равно расстоянию от произвольной точки прямой A1C1  до плоскости AB1C. Например, расстояние от центра О1 квадрата A1B1C1D1 до плоскости AB1C равно h.

Пусть Е – основание перпендикуляра, опущенного из точки О1 на прямую В1О, где О – центр квадрата ABCD. Прямая О1Е лежит в плоскости           ВВ1 D1 D, а прямая АС перпендикулярна этой плоскости. Поэтому О1ЕАС и О1Е – перпендикуляр к плоскости AB1C, а  О1Е = h.

Так как   В1О1 =,    О1О = 1, то ОВ1 = .

SΔABC=  О1Е В1О= В1О1 О1О  или    h, откуда   h=.

Ответ: .

            2 способ (метод объемов) (слайд 9)

            Рассмотрим пирамиду С1В1АС и найдем ее объем двумя способами.

V= SΔACC1 В1О1= SΔACB1 h;     SΔACC1=;    В1О1 =;  SΔACB1=.

h=.

Ответ: .

3 способ (координатный)

Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке С (слайд 10)

С(0;0;0), В1(1;0;1), А(1;1;0), С1(0;0;1). Составим уравнение плоскости. Проходящей через точки А, С и В1. Для этого подставим координаты этих точек в общее уравнение плоскости Ax + By +Cz + D = 0. Получим систему  или

Отсюда находим уравнение   Ax –Ay – Az = 0;     x – y – z = 0

По формуле находим расстояние  от С1 до плоскости AB1C:

d =        

Ответ: .

IV. Итог урока.

V. Домашнее задание.

1. В тетраэдре ABCD, все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой, проходящей через точку В и середину ребра CD.
2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания  которой  равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки С до прямой SF.
3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребра которого равны 4, а точки E и F- середины ребер AB и B₁C₁ соответственно, а точка P  расположена на ребре CD  так, что CP = 3PD. Найдите расстояние от точки A₁ до плоскости треугольника EPF.
4. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD  с вершиной P сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины А до грани PCD.