Открытый урок по теме "Сумма углов треугольника"
план-конспект урока по геометрии (7 класс)

Открытый урок по геометрии в 7 классе по ФГОС

Тема: «Сумма углов треугольника»

Тип урока: урок «открытия» нового знания (проблемно-диалогический)
УМК: Л.С. Атанасян и др. «Геометрия 7–9»
Время: 40 минут

1. Цели и планируемые результаты

Образовательная (предметная)

• доказать теорему о сумме углов треугольника;
• сформировать умение применять теорему к решению задач на нахождение неизвестных углов;
• ввести понятие внешнего угла треугольника и его свойства.

Развивающая (метапредметная)

• развивать логическое мышление, умение анализировать, сравнивать, обобщать;
• формировать навыки учебно-исследовательской деятельности (выдвижение гипотезы, её проверка, доказательство);
• развивать регулятивные навыки (целеполагание, планирование, самоконтроль).

Воспитательная (личностная)

• воспитывать познавательный интерес к геометрии;
• формировать культуру математической речи, аккуратность при оформлении решений;
• развивать коммуникативные навыки работы в парах и группах.

Планируемые результаты (по ФГОС )

2. Оборудование и материалы

• Проектор, экран, презентация (слайды с чертежами, анимацией доказательства);
• Транспортиры, линейки, простые карандаши;
• Раздаточные материалы:

• модель треугольника (вырезанного из бумаги) для каждого ученика (или карточка с треугольником);
• рабочий лист с таблицей для практической работы;
• набор карточек с задачами на готовых чертежах;
• лист самооценки;

• Интерактивная доска (или магнитно-маркерная) для записей.

I. Организационный момент (1 мин)

Учитель: «Здравствуйте, ребята! Садитесь. Проверьте, пожалуйста, наличие на партах транспортира, линейки, карандаша. Я вижу, что вы готовы к уроку. У нас сегодня необычный урок – мы совершим небольшое открытие. Удачи!»

II. Актуализация знаний (5–6 мин)

Учитель: «Для начала давайте вспомним основные понятия, которые нам сегодня пригодятся.»

Вопросы:

1. «Что такое треугольник?» – фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, их соединяющих.
2. «Назовите элементы треугольника.» – вершины, стороны, углы.
3. «Какие виды треугольников по углам вы знаете?» – остроугольные, прямоугольные, тупоугольные.
4. «Что называется смежными углами? Чему равна их сумма?» – смежные углы в сумме дают 180°.
5. «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то какие углы равны?» – накрест лежащие, соответственные, односторонние в сумме 180°.

Устный счёт по готовым чертежам (слайды):

• Найти угол, если даны смежные углы (например, один равен 70°, найти другой).
• Найти угол при параллельных прямых.

III. Создание проблемной ситуации и практическая работа (7–8 мин)

Учитель: «А теперь представьте, что перед вами три разных треугольника. Как найти сумму их углов?» (Ответы: измерить углы транспортиром, сложить.)

Учитель: «Давайте проведём небольшое исследование. Каждый из вас получает карточку с треугольником. Ваша задача – измерить все его углы с помощью транспортира и найти сумму. Работаем в парах – проверяйте друг друга.»

Практическая работа:

• У каждого ученика или пары на столе лежит треугольник (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный – разный).
• Учащиеся измеряют углы, записывают результаты в рабочий лист.
• Обсуждают: у кого какие получились суммы? (Обычно около 180° с погрешностью 1–2°).

Учитель: «У всех получилось примерно 180°. Возникает вопрос: это случайность или закономерность? Как вы думаете, всегда ли сумма углов треугольника равна 180°?» (Ответы: предположения.)

Учитель: «А можно ли доказать это утверждение, не измеряя каждый раз? Сегодня мы это сделаем. Как вы думаете, как будет называться тема нашего урока?»

Учащиеся формулируют тему: «Сумма углов треугольника».

Учитель: «Какую цель мы поставим перед собой?» (Ответ: доказать, что сумма углов треугольника равна 180°, и научиться применять это свойство.)

IV. Открытие нового знания (10 мин)

1. Доказательство теоремы (классическое)

Учитель: «Чтобы доказать теорему, нам потребуются знания о параллельных прямых. Давайте вспомним аксиому параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.»

На доске: чертеж ∆ABC.

Учитель: «Через вершину B проведём прямую a, параллельную стороне AC. Обозначим углы: ∠1 = ∠A, ∠2 = ∠B, ∠3 = ∠C. Также обозначим углы, которые образуются при пересечении секущими AB и BC с прямой a.»

Пошаговое доказательство (с анимацией или поэтапным построением):

1. ∠1 = ∠4 (накрест лежащие при a ∥ AC и секущей AB).
2. ∠3 = ∠5 (накрест лежащие при a ∥ AC и секущей BC).
3. Углы ∠4, ∠2 и ∠5 образуют развёрнутый угол (180°).
4. Заменяем ∠4 на ∠1, ∠5 на ∠3: получаем ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
5. Или ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Что и требовалось доказать.

Запись в тетрадях: оформление теоремы, дано, доказать, доказательство.

2. Следствия из теоремы

Учитель: «Из доказанной теоремы вытекают важные следствия. Запишем их в тетрадь.»

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (следствие из теоремы, но оно уже было доказано ранее, можно упомянуть).
2. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60° (так как все углы равны, сумма 180° ⇒ каждый 60°).
3. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90° (т.к. прямой угол 90°, остальные два в сумме 90°).
4. В треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов (иначе сумма ≥ 180°).

3. Внешний угол треугольника

Учитель: «Познакомимся с новым понятием – внешний угол треугольника. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним. Посмотрите на чертёж: угол 4 – внешний при вершине A. Каким свойством он обладает?»

Свойство: «Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.» (доказывается на основе теоремы).

V. Первичное закрепление (10–12 мин)

Устные задачи на готовых чертежах (слайды)

1. В треугольнике углы равны 40° и 60°. Найти третий угол. (80°)
2. Один угол треугольника равен 90°, второй 35°. Найти третий. (55°)
3. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найти каждый угол. (40°, 60°, 80°)

Письменные задачи (разбор у доски с комментариями)

Задача 1. В треугольнике ABC ∠A = 50°, ∠B = 70°. Найдите ∠C.
Решение: ∠C = 180° – 50° – 70° = 60°.

Задача 2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 100°. Найдите остальные углы.
Разбор:

• Если угол при вершине = 100°, то углы при основании = (180 – 100)/2 = 40° каждый.
• Если угол при основании = 100°, то это невозможно, т.к. сумма двух таких углов уже 200° > 180°. Значит, только первый случай. Ответ: 100°, 40°, 40°.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике один из острых углов в 2 раза больше другого. Найдите все углы.
Решение: пусть меньший острый угол = x, тогда больший = 2x. Их сумма = 90°, значит 3x = 90°, x = 30°. Углы: 90°, 30°, 60°.

Задача 4 (на внешний угол). В треугольнике два угла равны 50° и 70°. Найти внешний угол при третьей вершине.
Решение: внешний угол при третьей вершине равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т.е. 50° + 70° = 120°.

VI. Физкультминутка (1–2 мин)

Учитель: «Немного отдохнём. Встаньте. Выполним упражнения: потянитесь, сделайте наклоны в стороны, повороты головы. Разомните кисти рук.» (Возможно, предложить упражнения для глаз – посмотреть вдаль, на кончик носа, вверх-вниз.)

VII. Самостоятельная работа с самопроверкой (5–7 мин)

Учитель: «А сейчас проверим, как вы усвоили материал. На партах лежат карточки с двумя вариантами. Выполните задания в тетради. На выполнение – 5 минут. Затем проверьте себя по образцу на слайде.»

Вариант 1:

1. В треугольнике два угла равны 30° и 70°. Найдите третий угол.
2. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании.
3. Один из острых углов прямоугольного треугольника на 20° больше другого. Найдите все углы.

Вариант 2:

1. В треугольнике один угол равен 110°, а два других равны между собой. Найдите эти углы.
2. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 50°. Найдите угол при вершине.
3. Один из острых углов прямоугольного треугольника в 4 раза меньше другого. Найдите все углы.

Эталон на слайде: после выполнения учащиеся обмениваются тетрадями, проверяют по образцу, выставляют оценки (критерии: за каждое верно решённое задание – 1 балл, максимум 3 балла).

VIII. Итог урока. Рефлексия (3 мин)

Учитель: «Давайте подведём итог. Какая теорема была доказана сегодня?» (Сумма углов треугольника равна 180°.)

Вопросы для закрепления:

• Чему равна сумма углов любого треугольника?
• Как найти неизвестный угол, если известны два других?
• Какое свойство внешнего угла?
• Может ли в треугольнике быть два тупых угла? Почему?

Рефлексия («Лесенка успеха»):

• На листе самооценки (или на полях тетради) нарисуйте лесенку из трёх ступенек.
• На верхнюю ступеньку встаньте, если всё поняли и можете объяснить другому;
• на среднюю – если поняли, но есть некоторые вопросы;
• на нижнюю – если нужна помощь.

Учитель: «Урок окончен. Благодарю за работу!»

IX. Домашнее задание (1–2 мин)

Обязательное (для всех):

• § 30 (теорема и доказательство) – выучить;
• № 223 (а, б) – найти неизвестные углы треугольника по готовым чертежам;
• № 224 – задача на применение теоремы.

Дополнительное (по желанию/повышенной сложности):

• № 228 – задача на нахождение углов с использованием внешнего угла;
• № 230 – задача с практическим содержанием (измерить углы треугольника на местности).

Творческое (по желанию):

• Подготовить сообщение «Из истории открытия теоремы о сумме углов треугольника» (Евклид, Прокл, Лобачевский и др.).

5. Оценивание на уроке

• Активность на этапе «открытия» – фронтальная оценка.
• Практическая работа – проверка правильности измерений (качество выполнения).
• Решение задач у доски – устная оценка, комментирование.
• Самостоятельная работа – оценка по количеству верных заданий (3 балла – «5», 2 балла – «4», 1 балл – «3»).
• Лист самооценки – даёт представление о степени усвоения материала.

6. Самоанализ урока (для учителя)

После урока учитель анализирует:

• Достигнуты ли поставленные цели?
• Реализован ли деятельностный подход? (Ученики сами выполняли исследование, выдвигали гипотезу, участвовали в доказательстве.)
• Все ли этапы урока выдержаны по времени?
• Активно ли работали ученики? Были ли включены слабые учащиеся?
• Какие затруднения возникли? Как их можно предотвратить в следующий раз?
• Насколько эффективной была рефлексия?
• 7..Приложения (раздаточный материал)

Приложение 1. Рабочий лист для практической работы.

Задание: измерьте углы в каждом из трёх предложенных треугольников и вычислите сумму. Сделайте вывод.

Приложение 2. Карточки для самостоятельной работы (2 варианта)

(Содержание приведено выше в пункте VII)

Приложение 3. Лист самооценки