проект по теме "Системы счисления"
творческая работа учащегося по информатике и икт (10 класс) по теме

 

Проектная работа по информатике ученицы 10 класса Муниципального образовательного учреждения «Технико-экономического» лицея. Чемеричко Ирина А Руководитель проекта учитель информатики: Николаева Н.Н. В работе собраны теоретический и практический материал по теме. рассмотрено большое количество примеров и методов перевода чисел из одной системы счисления в другую.      

Скачать:

ВложениеРазмер
Microsoft Office document icon proekt.doc1003 КБ

Предварительный просмотр:

Проектная работа по теме:

« Представление информации в компьютере. Система счисления».

                                                     

                                                   г. Новороссийск 2010-2011

                                                                         учебный год

Проектная работа

по информатике

ученицы 10 класса

Муниципального образовательного учреждения

«Технико-экономического» лицея.

Чемеричко Ирина Александровна

Руководитель проекта учитель информатики: Николаева Н.Н         

Содержание

1.История

2.Как представляются в компьютере целые числа

3.Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами

4.Система счисления

5.Способ записи чисел в позиционных системах счисления

6.Системы счисления

7.Основы машинной арифметики

8.Перевод из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

9.Перевод из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную

10.Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную

11.Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную

12.Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную

13.Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно

14.Самостоятельные работы

Введение

Я выбрала эту тему, потому что мне было очень интересно узнать, как компьютер получает информацию, как он производит арифметические действия над числами. Еще мне хотелось узнать, что такое система счисления, ее виды, как считали в разные века, в разных странах люди. Как переводить одну систему счисления в другую.

   Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведем свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рублей) и т.д. и т.п. Числа, цифры... они с нами везде. А две тысячи лет назад, что знал человек о числах? А пять тысяч лет назад? Вопрос не простой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет тому назад люди могли записывать числа, могли производить над ними арифметические действия. Но записывали они числа совершенно по другим принципам, нежели мы в настоящее время. В любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов. В математике и информатике принято символы, участвующие в записи числа, называть цифрами. Но что же люди понимают под словом «число»? Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, число было «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали. Отвлеченное понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Появление дробных чисел было связано с необходимостью производить измерения (сравнения с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона). Но так как единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине, то возникла практическая потребность ввести более «мелкие» числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики. Для повседневных вычислений используется десятичная система счисления, предшественницей которой является индусская десятичная система, возникшая примерно в XII-м столетии. В современной науке с развитием компьютерной техники на первые роли выдвинулась двоичная система счисления. Ее зачатки наблюдаются у многих народов. Например, у древних египтян широкое распространение получили методы умножения и деления, основанные на принципе удвоения. Изобретение двоичного способа нумерации приписывают китайскому императору Фо Ги, жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры. Оказывается, к открытию двоичной системы счисления имели отношение многие математики, в частности, Фибоначчи.

Как представляются в компьютере целые числа?

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.

Целые числа без знака

Обычно  занимают  в  памяти  компьютера  один  или  два  байта.     В  однобайтовом  формате  принимают  значения  от  000000002   до   111111112.     В двухбайтовом формате - от  00000000 000000002   до   11111111 111111112.
 

-Примеры: 

а) число 7210 = 10010002 в однобайтовом формате:

Описание: 0048

б) это же число в двухбайтовом формате:

Описание: 0049

в) число 65535 в двухбайтовом формате:

Описание: 0050
 

Целые числа со знаком

Обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа.
 

Диапазоны значений целых чисел со знаком

Формат числа в байтах

Диапазон

Запись с порядком

Обычная запись

1

-27 ... 27-1 

-128 ... 127 

2

-215 ... 215-1 

-32768 ... 32767

4

-231 ... 231-1 

-2147483648 ... 2147483647

Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины - семь разрядов.

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: 
прямой код,   обратный код,   дополнительный код.

Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией сложения.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково  -  двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Например:
 

Описание: 0051

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины. Например:

Описание: 0052

2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями. Например:
 

Описание: 0053

3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду. Например:
 

Описание: 0054

Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами?

Сложение и вычитание

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:
 
Описание: 0055
Получен правильный результат.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
 
Описание: 0056
Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = -7
10.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Описание: 0057
 
Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7)
переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4. А и В отрицательные. Например:
 
Описание: 0058

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -1110 вместо обратного кода числа -1010) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = -1010.

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2n-1, где n — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2n-1 = 27 = 128). Например:
 
Описание: 0059

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (16210 = 101000102), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2n-1. Например:

Описание: 0060

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

Сложение дополнительных кодов. Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев:

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
 
Описание: 0061
 
Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = -7
10.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:
 
Описание: 0062
Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4. А и В отрицательные. Например:
 
Описание: 0063
Получен правильный результат в дополнительном коде.
Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

  • на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов — образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;
  • время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.
  • Умножение и деление
  • Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции — окончательный результат.
  • Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения. 
  • Для иллюстрации умножим 1100112 на 1011012.
  • Описание: 0064
  • Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.

Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). 

Существуют системы позиционные и непозиционные.


В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.


В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число.
Любая позиционная система характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно,
возможно бесконечное множество позиционных систем

Десятичная система счисления:

Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 - основание системы, и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д.

Двоичная система счисления:

В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Например, при подаче сигнала тока возможны 2 случая - есть сигнал (1) и нет сигнала (0).

Восьмеричная система счисления:

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное).

Шестнадцатеричная система счисления:

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное).

Условимся записывать основание системы счисления справа от числа.

Способ записи чисел в позиционных системах счисления

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и таким образом мы продвигаемся от одного числа к другому.

Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание можно принять любое натуральное число, начиная с двойки - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.


Позиционной системы счисления с основанием 1 быть не может.

Продвижением цифры  называют замену ее следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 - значит заменить ее на 2, продвинуть цифру 2 - значит заменить ее на 3 и т.д. Но в позиционной системе счисления цифр ограниченное количество, как же продвинуть старшую цифру (например 9 в десятичной системе счисления)?

Продвижение старшей цифры означает замену ее на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются по правилу счета: 

для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа(в младшем разряде); если после продвижения какая-либо цифра стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от нее (по умолчанию слева 0).

Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, считают одинаково, "по-арабски". Но так было не всегда. Еще каких-то пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о какой-нибудь Африке или Америке.

Но тем не менее числа люди все равно как-то записывали. У каждого народа была своя собственная или позаимствованная у соседа система записи чисел. Одни использовали буковки, другие - значки, третьи - закорючки. У кого-то получалось удобнее, у кого-то не очень.

Ведь не так-то просто даже имея цифры (значки, которыми записываются числа), записать какое-нибудь число. Для этого нужна система счисления (способ записи чисел с помощью цифр). (Сразу хочу предупредить, что системы счисления бывают непозиционными и позиционными или аддитивными и мультипликативными).

Самая простая система счисления была еще у древних людей. Какое число нужно записать, столько сделают засечек на палке, или в кучку камешков положат. Но это удобно, пока числа небольшие. Вы только представьте себе число 1 000 записанное с помощью кучки камушков, а 1 000 000?. Неудобно?

Тогда стали люди придумывать как по другому записывать большие числа. Для начала решили, что каждые 10 палочек заменять загогулинкой, и счет пошел легче! Так появилась аддитивная система счисления.

Но люди никогда не стоят на месте, они постоянно чего-нибудь изобретают. Не захотелось людям вырисовывать по десятку палочек да загогулинок, и решили каждое круглое число обозначить по-особому. Но для этого потребовалось большое количество цифр-символов, и, чтобы не изобретать велосипед, решили использовать алфавит. Так и появилась на свет алфавитная аддитивная система счисления. Такая система очень долго использовалась по всей Европе, и во многих государствах за ее пределами.

Но далеко не все народы делали свои записи с помощью алфавита или слоговых знаков (об алфавитах и слоговых знаках здесь). В Китае иероглифы не позволили появиться такой системе счисления, и тогда ученые изобрели немного другую систему, названную мультипликативная система счисления. Эта система имела одно очень важное свойство: в ней одна и та же цифра, в зависимости от расположения в записи числа могла иметь разные значения. Именно такой системой счисления мы с Вами сейчас и пользуемся.

Системы счисления

Система счисления - очень сложное понятие. Оно включает в себя все законы, по которым числа записываются и читаются, а так же те, по которым производятся операции над ними.

Самое главное, что нужно знать о системе счисления - ее тип: аддитивная или мультипликативная. В первом типе каждая цифра имеет свое значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10-1+10 = 219;

Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:

Описание: 2chОписание: 10_3chОписание: 4chОписание: 100chОписание: 2chОписание: 10chОписание: 5ch

(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)
Здесь дважды использован иероглиф "2", и в каждом случае он принимал разные значения "2000" и "20".

 

2X1000 + 4X100+2X10+5 = 2425

Для аддитивной системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4 - 5 десятков), и порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5-1) = 4; VI = (5+1) = 6).

Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется "десятичная". В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления - десятичная.

Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. "Но на одной то руке всего пять Описание: глнолпальцев" - скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. Очень интересно понятие "дюжина". Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число - мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги.

А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему.

В разных цивилизациях считали по-разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда-то использовавшихся этим народом.

Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как "четырежды двадцать".

Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X - это две таких же руки.

Аддитивные системы счисления

В этой системе счисления для записи чисел используется уже не одна, а несколько цифр. Они могут изображаться так, как взбредет в голову, но только разные цифры должны выглядеть по-разному. Например в Египте единицы записывали палочками Описание: 1eg, а десяток палочек заменяли на изображение пут для коровОписание: 10eg, десяток пут - одна мерная веревкаОписание: 100eg, и т. д. Для того, чтобы прочесть число, нужно было сложить значения всех цифр. Поэтому такие системы назвали аддитивными (add добавлять, складывать англ.).

Описание: 1eg

Описание: 2eg

Описание: 3eg

Описание: 4eg

 

Описание: 9eg

Описание: 10eg

Описание: 10eg 

1

2

3

4

9

10

11

Такая система счисления уже годится для записи чисел, но она крайне неудобна для счета.

Вы только попробуйте перемножить два вот таких числа:

Описание: 1000eg

Описание: 100egОписание: 100egОписание: 100egОписание: 100eg

Описание: 10egОписание: 10egОписание: 10egОписание: 10egОписание: 10eg

Описание: 7eg

И

Описание: 1000egОписание: 1000eg

Описание: 10egОписание: 10eg

Описание: 6eg

А ведь всего-то это 1457  2026.Удобств для счета, как мы видим ни каких. Такой системой счисления пользовались Египтяне, Ацтеки, племена Майя.

Мультипликативные системы счисления

В таких системах счисления для записи чисел используется уже определенное количество цифр, которые могут принимать разные значения в зависимости от расположения в записи числа. Все цифры здесь изображаются определенными символами.

Например 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, …, 99, 100, 101 …

Запись числа 1999 означает, что 1 1000 + 9 100 + 9 10 + 9. Для того, чтобы "собрать" такое число используется умножение (multiplication англ.), из-за чего систему и назвали "мультипликативной".

Такие системы счисления были только у народов с очень хорошо развитой математикой. По сей день мы используем только такую систему счисления.

Такая система счисления годится для записи чисел, и она очень удобна для счета. Любое из действий арифметики и алгебры может быть выполнено легко. Для счета здесь не нужна большая сноровка.

Впервые такая система, вернее ее зачатки появилась в Древнем Вавилоне, почти в то же время она была изобретена в Китае, потом в Индии, откуда перекочевала на Аравийский полуостров, а затем и в Европу. Здесь эту систему счисления назвали Арабской, и под этим именем она разошлась по всему миру. Так что, говоря "арабские числа" надо иметь в виду, ну, хотя бы индийские.

Египетская нумерация

        Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад. Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку.

Описание: 1eg

1. Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки.

Описание: 5eg

Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем должно быть столько же палочек сколько и в верхнем, или на одну больше.

Описание: 10eg

10. Такими путами египтяне связывали коров

Описание: 10egОписание: 10egОписание: 10eg

Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.

Описание: 100eg

100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.

Описание: 1000eg

1 000. Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого цветка.

Описание: 10000eg

10 000. "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец.

Описание: 10_5eg

100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик.

Описание: 10_6eg

1 000 000. Увидев такое число обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф

Описание: 10_7eg

10 000 000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.

Описание: 1000egОписание: 100egОписание: 100egОписание: 5eg- 1207, Описание: 10_6egОписание: 10000egОписание: 10000egОписание: 1000egОписание: 1000egОписание: 1000egОписание: 10egОписание: 10egОписание: 9eg- 1 023 029

Попробуйте сложить эти два числа, зная, что более 9 одинаковых иероглифов использовать нельзя.

Древняя греческая нумерация

В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая нумерация. В этой нумерации числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок: Описание: 1eg,Описание: 2eg,Описание: 3eg,Описание: 4eg. Число 5 записывалось знаком Описание: 5_gr(древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте". Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков: Описание: 6789_gr.

Число 10 обозначалось Описание: 10_gr- заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000,.

Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая нумерация в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой. В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами греческого алфавита:

Описание: 1_9_gr

числа 10, 20, … 90 изображались следующими девятью буквами:ѓ

Описание: 10_90_gr

числа 100, 200, … 900 последними девятью буквами:

Описание: 100_90gr

Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка '. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше.

Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами.

Примерно по такому же принципу организованную систему счисления имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока.

Вавилонская нумерация

В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась позиционная нумерация, то есть такой способ записи чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Наша теперешняя нумерация тоже поместная. В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую у нас играет число 10, играет число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятиричной. Числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков: Описание: 1_babдля единицы, и Описание: 10_babдля десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например

Описание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_bab- 3; Описание: 10_babОписание: 10_bab- 20; Описание: 10_babОписание: 10_babОписание: 10_babОписание: 1_babОписание: 1_bab- 32

Описание: 10_babОписание: 10_babОписание: 10_babОписание: 10_babОписание: 10_bab

Описание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_bab

а это число 59.

Вавилонский способ обозначения чисел больше 60 очень похож на наш: В этом случае цифры записываются по разрядам, с небольшими пробелами между:

Описание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_bab

Описание: 1_babОписание: 1_bab

Так записывается число 302, то есть 5X60+2

 Описание: 1_bab

Описание: 1_babОписание: 1_bab

Описание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_bab

А это 1X60X60+2X60+5 = 3725

При отсутствии разряда вставлялся значек Описание: 0_bab, игравший роль нуля.

Описание: 1_babОписание: 1_bab

Описание: 0_bab

Описание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_bab

это запись числа 7203 (2X60X60+3)

        Однако отсутствие низшего разряда не обозначалось, и поэтому число 180 = 3X60 записывалось так Описание: 1_babОписание: 1_babОписание: 1_bab, а обозначать эта запись могла и 3, и 180, и 10800 (3X60X60), и т. д. Различать эти числа можно было только по смыслу текста.

Шестидесятеричная система счисления появилась у вавилонян позже десятеричной, ибо числа до 60 записываются в ней по десятичному принципу. Но до сих пор неизвестно, когда и как возникла у вавилонян шестидесятеричная система. На этот счет строилось множество гипотез, но ни одна не доказана. Шестидесятеричная запись целых чисел не получила широкого распространения за пределами Ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби проникли далеко за эти пределы: Ближний Восток, Средняя Азия, Северная Африка, Западная Европа пользовались ими. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей, т. е. До начала XVII века. Следы шестидесятеричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд

Нумерация индейцев Майя

Эта нумерация очень интересна тем, что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций Старого Света. Однако в ней использованы все те же принципы. Сначала эта нумерация обслуживала пятеричную систему счисления, а потом ее приспособили для двадцатеричной.

Описание: 1my

1

Описание: 9my

9

Описание: 2my

2

Описание: 10my

10

Описание: 3my

3

Описание: 11my

11

Описание: 4my

4

Описание: 12my

12

Описание: 5my

5

Описание: 13my

13

Описание: 6my

6

Описание: 15my

15

Описание: 7my

7

Описание: 19my

19

Описание: 8my

8

Описание: 20my

0 или 20

 Записывались цифры числа в столбик, начиная со знаков Описание: 20my, затем знаки Описание: 5my, а потом Описание: 1myбольших значений и заканчивая меньшими.

Описание: 19myОписание: 20myОписание: 20my

Описание: 16my

Описание: 3myОписание: 20my

59

16

23

 20+20+5+5+5+1+1+1+1 = 59; 5+5+5+1 = 16; 20+1+1+1 = 23

Такая запись числа аддитивна, то есть в ней используется только сложение.

Славянская кириллическая нумерация

Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. До XVII века эта форма записи чиcел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Описание: kiril

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Интереснее всего записывались числа второго десятка:

Описание: четыре на десять

Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре на десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре на десять. И так для всех чисел от 11 до 19. Таким образом у славян мы прослеживаем десятеричную систему счисления.

Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение:

Описание: 863k= 800+60+3

Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.

Для обозначения больших, чем 900 чисел использовались специальные значки, добавляемые к букве. Так образовывались числительные Тысяща - 1 000, Леон - 10 000, Одр - 100 000, Вран (ворон) - 1 000 000, Колода - 10 000 000, Тьма - 100 000 000.

Со словом "Тьма" связана поговорка "тьма-тьмущая", означающая немыслимо много. В "Слове о полку Игореве" мы встречаем фразу "орда покрыла вороновым крылом", которую можно истолковать как "побила большой силой", где "большой" можно сравнить с полумиллионом человек.

В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая "арабская нумерация"

Китайская нумерация

Эта нумерация одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную арабскую, которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта нумерация около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.

Описание: 1ch

1

Описание: 6ch

6

Описание: 2ch

2

Описание: 7ch

7

Описание: 3ch

3

Описание: 8ch

8

Описание: 4ch

4

Описание: 9ch

9

Описание: 5ch

5

 

0

 

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.

Описание: 10ch

Описание: 100ch

Описание: 10_3ch

10

100

1 000

 

Описание: однаОписание: тысяча- 1 000; Описание: пятьОписание: сотенОписание: четыреОписание: десяткаОписание: восемь- 548

Такая запись числа мультипликативна, то есть в ней используется умножение:

1x1 000 и 5x100+4x10+8

Самая простая система счисления

В этой системе счисления для записи чисел используется только одна цифра. Ее можно изобразить в виде палочки , кружочка , или любой другой фигуры. Числа будут записываться примерно так:

1

2

││

3

│││

4

││││

5

│││││ и т. д.

Такая система счисления использовалась, и до сих пор используется в основном народами, не имеющими письменности.

Но иногда такой системой счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество прошедших дней, или карандашом отмечая черточками в тетради количество проданных товаров.

Латинская (Римская) нумерация

Это, наверное, самая известная нумерация, после арабской. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д.

Возникла эта нумерация в древнем Риме. Использовалась она для аддитивной алфавитной системы счисления

I

1

V

5

X

10

L

50

C

100

D

500

M

1 000

Прежде знак M изображался знаком Ф, потому то 500 и стал изображать знак D как "половина" Ф. Так же построена и пары L и C, X и V.

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание.

CCXXXVII = 100+100+10+10+10+5+1+1 = 237

Но

XXXIX = 10+10+10-1+10 = 39

Есть правило, по которому нельзя записывать подряд 4 одинаковых цифры, такая комбинация заменяется комбинацией с правилом вычитания, например:

XXXX = XC (50-10)

IIII = IV (5-1)

CCCC = CD (500-100)

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. В языке же римлян ни каких следов пятеричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (скорее всего этрусков).

Такая нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы - до XVI века.

Новая, или арабская нумерация

Это, самая распространенная на сегодняшний день нумерация. Название "арабская" для нее не совсем верно, поскольку хоть и завезли ее в Европу из арабских стран, но там она тоже была не родной. Настоящая родина этой нумерации - Индия.

В различных районах Индии существовали разнообразные системы нумерации, но в какой-то момент среди них выделилась одна. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке - санскрите, использующем алфавит "Деванагари".

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка, или кружок, для указания пустующего разряда; и нумерация "Деванагари" превратилась в поместную десятичную систему. Как и когда совершился такой переход - до сих пор неизвестно. К середине VIII века позиционная система нумерации получает широкое применение. В это же время она проникает в соседние страны: Индокитай, Китай, Тибет, Среднюю Азию.

Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом Аль Хорезми. Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII веке. В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах она распространяется к XVI веку. Европейцы, заимствовав нумерацию у арабов, называли ее "арабской". Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Из арабского языка заимствовано и слово "цифра" (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место" (перевод санскритского слова "сунья", имеющего тот же смысл). Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто).

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.

Посмотрите, как записывали цифры у разных народов в глубокой древности:

Описание: istor_chisel

        

Системы счисления и способы перевода чисел из одной системы в другую.

В позиционной системе счисления любое число записывается в виде последовательности цифр:

A ( S ) = a n S N + an – 1  Sn  - 1 + a1 S1 + a0 S0

Например,                     103510=1*103+0*102+3*101+5*100;
                                      1010
2 = 1*23+0*22+1*21+0*20 = 10.

Основание позиционной системы счисления определяет ее название. В вычислительной технике применяются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы. В дальнейшем, чтобы явно указать используемую систему счисления, будем заключать число в скобки и в индексе указывать основание системы счисления.

В двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1. Любое двоичное число может быть представлено в следующей форме:

A 2= +(a m-12 m-1)+a m-22 m-2+...+a 0+a -12 -1+...+a -l2 -l)

Например, двоичное число 10101,101 2= 1*2 4+0*2 3+1*2 2+0*2+1+1*2 -1+0*2 -2+1*2 -3=21,625 10 

В восьмеричной системе счисления для записи чисел используется восемь цифр (0,1,2,3,4,5,6,7), а в шестнадцатеричной - шестнадцать (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).

Таблица для перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Двоичные числа

Восьмеричные числа

Десятичные числа

Шестнадцатеричные числа

0.0001

0.04

0.0625

0.1

0.001

0.1

0.125

0.2

0.01

0.2

0.25

0.4

0.1

0.4

0.5

0.8

0.001

0.1

0.125

0.2

1

1

1

1

10

2

2

2

11

3

3

3

100

4

4

4

101

5

5

5

110

6

6

6

111

7

7

7

1000

10

8

8

1001

11

9

9

1010

12

10

A

1011

13

11

B

1100

14

12

C

1101

15

13

D

1110

16

14

E

1111

17

15

F

10000

20

16

10

Для хранения и обработки данных в ЭВМ используется двоичная система, так как она требует наименьшего количества аппаратуры по сравнению с другими системами. Все остальные системы счисления применяются только для удобства пользователей.

В двоичной системе очень просто выполняются арифметические и логические операции над числами.

Таблица сложения:

0

+

0

=

0

0

+

1

=

1

1

+

0

=

1

1

+

1

=

10

Таблица умножения:

0

*

0

=

0

0

*

1

=

0

1

*

0

=

0

1

*

1

=

1

Много разрядные числа складываются, вычитаются, умножаются и делятся по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

Перевод числа из одной системы в другую выполняется по универсальному алгоритму, заключающемуся в последовательном делении целой части числа и образующихся целых частных на основание новой системы счисления, записанное в исходной системе счисления, и в последующем умножении дробной части и дробных частей получающихся произведений на то же основание, записанное в исходной системе счисления.

При переводе целой части получающиеся в процессе последовательного деления остатки представляют цифры целой части числа в новой системе счисления, записанные цифрами исходной системы счисления. Последний остаток является старшей цифрой переведенного числа.

При переводе дробной части числа целые части чисел, получающихся при умножении, не участвуют в последующих умножениях. Они представляют собой цифры дробной части исходного числа в новой системе счисления, изображенные числами старой системы. Значение первой целой части является первой цифрой после запятой переведенного числа.

Если при переводе дробной части получается периодическая дробь, то производят округление, руководствуясь заданной точностью вычислений.

При переводе чисел из любой системы счисления в десятичную удобнее пользоваться непосредственно формулой ( II ): (775)8 = 7*8(2) + 7*8 + 5 = (509)10

Для осуществления автоматического перевода десятичных чисел в двоичную систему счисления необходимо вначале каким-то образом ввести их в машину, Для этой цели обычно используется двоично-десятичная запись чисел или представление этих чисел в кодах ASCII.

При двоично-десятичной записи каждая цифра десятичного числа заменяется четырехзначным двоичным числом (тетрадой):

(983,65)10 = (1001 1000 0011, 0110 0101)2-10

При записи чисел в кодах ASCII цифрам от 0 до 9 поставлены в соответствие восьмиразрядные двоичные коды от 00110000 до 00111001.

ЭВМ, предназначенные для обработки экономической информации, например IBM AT, позволяют производить арифметические операции в десятичной системе счисления над числами, представленными в двоично-десятичных кодах и кодах ASCII.

Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления используются только программистами и операторами ЭВМ, так как представление чисел в этих системах более компактное, чем в двоичной, и перевод из этих систем в двоичную и обратно выполняется очень просто (основания этих систем представляют собой целую степень числа 2).

Для перевода восьмеричного числа в двоичное достаточно каждый восьмеричный разряд представить тремя двоичными (триадой), а для перевода шестнадцатеричного числа - четырьмя (тетрадой). 

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

а) исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (на 2 - при переводе в двоичную систему счисления или на 16 - при переводе в шестнадцатеричную); получается частное и остаток;

б) если полученное частное меньше основания системы счисления, в которую выполняется перевод, процесс деления прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);

в)  все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей перевода в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

г) формируется результирующее число: его старший разряд – полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа – первый остаток от деления, а старший – последнее частное.

Пример 1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления:

Описание: img_5

Таким образом, 1910 = 100112.

Пример 2Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления:

Описание: img_6

Таким образом, 1910 = 1316.

Перевод из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную

Пример 1.

 Выполнить перевод числа 1316 в десятичную систему счисления.

Имеем:

1316 =  1*161 + 3*160 = 16 + 3 = 1910.

Таким образом, 1316 = 1910.

Пример 2.

 Выполнить перевод числа 100112 в десятичную систему счисления.

Имеем:

100112 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16+0+0+2+1 = 1910.

Таким образом, 100112 = 1910

Пример 3.

Выполнить перевод числа 6538  в десятичную систему счисления.

Имеем: 

6538 = 6*82 + 5*81 + 3*80 = 384+40+3 = 42710

Таким образом, 6538  = 42710

        

Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:

а) исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;

б) каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей.

Пример

 Выполнить перевод числа 100112 в шестнадцатеричную систему счисления.

Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр.

 Имеем:

Описание: img_8

В соответствии с таблицей 00112 = 112 = 316 и 00012 = 12 = 116.

Тогда 100112 = 1316.

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

а) каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;

б) незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

Пример

 Выполнить перевод числа 1316 в двоичную систему счисления.

По таблице имеем:

  • 116 = 12 и после дополнения незначащими нулями двоичного числа 12 = 00012;
  • 316 = 112 и после дополнения незначащими нулями двоичного числа 112 = 00112.

Тогда 1316 = 000100112. После удаления незначащих нулей имеем 1316 = 100112.

Перевод  из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную

Таблица соответствия восьмеричных цифр и двоичного кода

Двоичный код

Восьмеричная цифра

Десятичный эквивалент

000

0

0

001

1

1

010

2

2

011

3

3

100

4

4

101

5

5

110

6

6

111

7

7

        Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на  триады  (для восьмеричной) или  тетрады  (для шестнадцатеричной)  и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

        

Например,

Описание: 0004

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр)

Например:

Описание: 0003

 цифр).

Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрод.

Например

 Перевести 175.248 в шестнадцатеричную систему счисления

Описание: ris11

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Перевести число 365 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.

  1. Перевести число 365 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

3. Перевести число 365 из десятичной системы счисления в двоичную систему                счисления.

4.Двоичное число 1110100 переведите в десятичную систему счисления.

Вариант 2

  1. Перевести число 313 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную              систему счисления.
  2. Перевести число 313 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.
  3. Перевести число 313 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.
  4. Двоичное число 10101011 переведите в десятичную систему счисления.

Вариант 3

  1. Перевести число 113 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.
  2. Перевести число 113 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.
  3. Перевести число 113 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.
  4. Двоичное число 1101000 переведите в десятичную систему счисления.

        

Вариант 4

  1. Перевести число 322 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.
  2. Перевести число 322 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.
  3. Перевести число 322 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.
  4. Двоичное число 11100111 переведите в десятичную систему счисления.

Рецензия

на экзаменационную работу

По

Тема

Рецензируемый

Анализ работы

Дата                                                                   Рецензент


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую систему счисления.

План-конспект урока с использованием ЭОР "Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую систему счисления"....

Урок-игра по информатике и ИКТ в 8 классе по теме: «Системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другие, арифметические операции в двоичной системе счисления»

Урок-игра по информатике и ИКТ в 8 классе по теме: «Системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другие, арифметические операции в двоичной системе счисления»...

Проект: Двоичная система счисления.

Проект: Двоичная система счисления....

Проект: Древние системы счисления

Проект: Древние системы счисления...

Проект: История систем счисления.

Проект: История систем счисления....

Проект: Недесятичные системы счисления.

Проект: Недесятичные системы счисления....

Проект: Позиционные системы счисления.

Проект: Позиционные системы счисления....