Численные методы решения уравнений
презентация к уроку по информатике и икт (11 класс) по теме

Слайд 1

Слайд 2

методы Метод касательных Метод половинного деления Метод хорд Метод комбинированный Метод итераций

Слайд 3

Пусть корень ξ уравнения f (x) отделён на отрезке [a, b] , причём b – a > ε Будем считать, что функция: 1)Непрерывна и монотонна на отрезке [a, b] 2) f (a) x f (b) < 0 Итак разделим отрезок [a, b] пополам, середина отрезка c = (a + b) / 2 Отрезок [a, b] разделен на два отрезка [a, c] и [c, b] , длина каждого = ( b – a) / 2

Слайд 4

x y a b c C = (a + b) / 2 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 b-a> ε [a; c] и [c; b] , длина отрезков (b - a) / 2 [a n ; b n ], длина ( b - a ) / 2 n (b-a)/2 n <= ε Приближенное значение корня C n = (a n + b n ) / 2 с погрешностью, не превышающей (b-a)/2 n+1 0 ξ

Слайд 5

a,b, ε f(a)*f(c)>0 a:=c x:=c ± ε ε :=(b-a)/2 c:=(a+b)/2 b:=c (b-a)≤ ε Методы

Слайд 6

y x F’ > 0 F’’ > 0 y x F’ > 0 F’’ < 0 y x F’ < 0 F’’ > 0 y x F’ < 0 F’’ < 0 I тип II тип

Слайд 7

Пусть корень уравнения F (x) = 0 отделен на отрезке [a, b] . Будем считать: F (x) непрерывна на отрезке [a; b] F (x) имеет на данном отрезке производные первого и второго порядков, производные сохраняют знак. F (a) * F (b) < 0

Слайд 8

y x 0 a b x 1 x 2 x 3 ξ A B

Слайд 9

y x 0 a b x 1 ξ A C B

Слайд 10

Треугольник AaX 1 подобен треугольнику ABC X 1 – a F (a) b – a F (a) – F (b) X 1 a b – a F (b) – F (a) F (a)

Слайд 11

x 2 = x 1 - (b – x 1 ) F (b) - F (x 1 ) F(x 1 ) x n + 1 = x n - (b – x n ) F (b) - F (x n ) F (x n )

Слайд 12

y x 0 a b x 2 ξ x 1 x 3 A B

Слайд 13

y x 0 a b x 1 ξ A C B X1 b b – a F (b) – F (a) F (b)

Слайд 14

x 2 = x 1 - (x 1 - a) F (x 1 ) – F (a) F (x 1 ) x n + 1 = x n - (x n - a) F (x n ) – F (a) F (x n ) Методы

Слайд 15

y x F’ > 0 F’’ > 0 y x F’ > 0 F’’ < 0 y x F’ < 0 F’’ > 0 y x F’ < 0 F’’ < 0 I тип II тип

Слайд 16

Пусть корень ξ уравнения F (x) = 0 отделен на отрезке [a, b] . Будем считать: F (x) непрерывна на отрезке [a; b] F (x) имеет на данном отрезке производные первого и второго порядков, производные сохраняют знак. F (a) * F (b) < 0

Слайд 17

y x 0 a = ξ 0 b ξ 1 ξ 2 A B F’ < 0 F’’ > 0 F(a) > 0 ξ ξ 3

Слайд 18

Уравнение касательной в точке A (a, F (a)) : y – F (a) = F’ (a)*(x – a). Полагая y = 0, x = ξ 1 , получим ξ 1 = a - F (a) F’ (a)

Слайд 19

y x 0 a b = ξ 0 ξ 1 ξ 2 A B F’ > 0 F’’ > 0 F(b) > 0 ξ ξ 3

Слайд 20

Если касательную к кривой провести в точке B (в правом конце) , то получим ξ 1 = b - F (b) F’ (b)

Слайд 21

x 1 = x 0 - F (x 0 ) F’ (x 0 ) x 2 = x 1 - F (x 1 ) F’ (x 1 ) x n + 1 = x n - F (x n ) F’ (x n ) Методы x 0 = a II тип x 0 = b I тип

Слайд 22

I тип Хорды b y x F’ > 0 F’’ > 0 a a 1 b b 1 a 1 a Касательные = (a F (b) – b F (a)) / (F (b) – F (a)) = b – F (b) / F’ (b) F’ < 0 F’’ < 0 y x a a 1 b 1 b

Слайд 23

II тип y x F’ > 0 F’’ < 0 a 1 a b 1 b y x F’ < 0 F’’ > 0 a 1 a b 1 b Хорды b a Касательные = (b F (a) – a F (b)) / (F (a) – F (b)) = a – F (a) / F’ (a) Методы