Конструирование в Компас 3D LT
статья по технологии (8 класс)

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ КОМПЬЮТЕРА

Изучив эту тему, вы узнаете:

·        основные понятия и операции формальной логики;

·        логические выражения и их преобразование;

·        построение таблиц истинности логических выражений;

·        основные логические устройства компьютера (регистр, сумматор).

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ

В предыдущих темах вы познакомились с устройством компьютера и узнали, что в процессе обработки двоичной информации процессор выполняет арифметические и логические операции. Поэтому для по­лучения представлений об устройстве компьютера необходимо позна­комиться с основными логическими элементами, лежащими в основе построения компьютера. Для понимания принципа работы таких эле­ментов начнем это знакомство с основных начальных понятий фор­мальной логики.

Сам термин «логика» происходит от древнегреческого logos, озна­чающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

Логика – наука  о законах и формах мышления.

Логика использует ряд основных понятий и описывает действия над ними, подчиняющиеся законам логики. К этим основным понятиям логики относятся следующие.

Высказывание (суждение) — некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно. Например, высказывание «сегодня хорошая погода» является истинным (принимает значение «ИСТИНА»), если светит Солнце, нет ветра и дождя и т. д. В против­ном случае это же высказывание будет ложным (принимает значение «ЛОЖЬ»). Рассуждая аналогично, в другом примере высказывания А>5, очевидно, приходим к тому, что оно истинно, если перемен­ная А принимает любое значение, большее 5, и ложно в противном случае. Заметим, что любое высказывание не может быть одновре­менно истинным и ложным, а принимает только одно из этих двух возможных логических значений: ИСТИНА или ЛОЖЬ. Эти значе­ния называются логическими постоянными, или логическими кон­стантами.

Утверждение — суждение, которое требуется доказать или опро­вергнуть, например, сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

Рассуждение — цепочка высказываний или утверждений, опреде­ленным образом связанных друг с другом, например, если хотите на­чать работать на компьютере, то необходимо сначала включить элек­тропитание.

Умозаключение — логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение.

Область знаний, которая изучает истинность или ложность выска­зываний (суждений), называется математической логикой. Утвер­ждения в математической логике называются логическими выраже­ниями.

Логическое выражение представляет собой запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих пе­ременных логическое выражение может принимать одно из двух воз­можных значений: ИСТИНА (логическая единица) или ЛОЖЬ (ло­гический ноль). Приведем некоторые примеры логических выраже­ний:

а > 5, где а — переменная, принимающая любое значение. При
значениях а > 5 это логическое выражение истинно (равно логической 1), иначе — ложно (равно логическому 0).

Компьютер имеет оперативную память объемом не менее 32Мб.
В одном компьютере это справедливо, то есть такое логическое
выражение истинно (равно логической 1), а в другом — это же
выражение может оказаться ложным (равно логическому 0).

Подобно тому, как для описания действий над переменными ве­личинами был разработан раздел математики — алгебра, так и для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики. Поскольку осно­вы такой алгебры были заложены в трудах английского математика Джорджа Буля (XIX век), то алгебра логики получила также назва­ние булевой алгебры. Вспомним, что ранее мы уже говорили о том, что решение любой задачи на компьютере сводится к выполнению процессором ряда арифметических и логических операций. Послед­ние как раз и выполняются над логическими выражениями на основе законов и правил булевой алгебры. Таким образом, математический аппарат булевой алгебры позволил формализовать действия над ло­гическими выражениями и явился базой для разработки логических элементов и, в целом, логических основ построения компьютеров.

Из сказанного становится ясно, что для лучшего понимания рабо­ты компьютера как инструмента обработки информации необходимо познакомиться с логическими выражениями, а также их преобразо­ванием с помощью логических операций, определенных в булевой ал­гебре.

ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Логические выражения могут быть простыми и сложными. Понятие и примеры простых логических выражений уже были рассмотрены выше. Но в основе логики работы компьютера, как правило, лежит преобразование сложных логических выражений. Для объяснения этого понятия нам понадобится ввести ряд операций алгебры логики (логических операций). Рассмотрим пять основных логических опе­раций. Предварительно заметим, что аргументами этих операций яв­ляются простые логические выражения, а их результат равен 1 или О (логические значения) и определяется по соответствующей таблице истинности.

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ определяет соединение двух логических выражений (высказываний) с помощью союза И. Эта операция называется также логическим умножением и обозна­чается символами & или л. Рассмотрим таблицу истинности, определяющую результат этой логической операции над двумя аргумен­тами — простыми логическими выражениями А и В, каждое из ко­торых может принимать логические значения 0 или 1.

В соответствии с таблицей истинности можно дать следующее определение: конъюнкцией называется логическая операция, ставя­щая в соответствие двум простым логическим выражениям новое — сложное логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных (простых) логических вы­ражения.

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ определяет логическое со­единение двух логических выражений (высказываний) с помощью союза ИЛИ. Эта операция называется также еще логическим сложе­нием и обозначается значком v. Рассмотрим таблицу истинности, определяющую результат этой логической операции над двумя аргу­ментами — простыми логическими выражениями А и В, каждое из которых может принимать логические значения 0 или 1.

В соответствии с таблицей истинности можно дать определение: дизъюнкцией называется логическая операция, ставящая в соответ­ствие двум простым логическим выражениям новое — сложное ло­гическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) логических вы­ражений.

Логическая операция ОТРИЦАНИЕ, или ИНВЕРСИЯ, определя­ется над одним аргументом (простым или сложным логическим вы­ражением) следующим образом: если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то его отрицание будет истинным. Данная опера­ция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО. Операция ОТРИЦАНИЕ обо­значается символом 1, а ее результат определяется следующей таб­лицей истинности:

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование).

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия. В разговорном языке эта операция выражается словами если... , то... Для ее обозначения в алгебре логики используется зна­чок следования =>. Результат операции импликации для условия А (первое логическое выражение) и условия В (второе логическое вы­ражение) определяется в соответствии со следующей таблицей истин­ности:

По определению результатом импликации является ЛОЖЬ тогда и только тогда, когда условие (А) истинно, а следствие (В) ложно.

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (равнозначность) определяет результат сравнения двух простых логических выраже­ний А и В, обозначается символом <=>. Результат этой операции — новое логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны.  Это  определение описывается  следующей таблицей истинности:

Сложным логическим выражением называется логическое выра­жение, составленное из одного или нескольких простых (или слож­ных) логических выражений, связанных с помощью рассмотренных логических операций.

Пусть, например, А, В и С — три простых логических выражения. Одним из примеров составленного из них сложного логического вы­ражения будет:

D = (АvВС)

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

1.     инверсия —  ⌐ ;

2.     конъюнкция — & (или );

3.     дизъюнкция — v;

4.     импликация — =>;

5.     эквивалентность — <=>.

Для изменения указанного порядка выполнения логических опе­раций используются круглые скобки.

ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦ  ДЛЯ СЛОЖНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

При изучении работы различных устройств компьютера приходится рассматривать такие его логические элементы, в которых реализуют­ся сложные логические выражения. Поэтому необходимо научиться определять результат этих выражений, то есть строить для них таб­лицы истинности.

Рассмотрим пример построения таблицы истинности для следую­щего сложного (составного) логического выражения D =   (В v С).

Сначала нужно установить число строк и столбцов такой таблицы, то есть спланировать форму таблицы. При определении числа строк необходимо некоторым регулярным образом перебрать все возмож­ные сочетания логических значений 0 и 1 исходных выражений А, В и С, из которых формируется заданное сложное логическое выра­жение. Мы уже ранее познакомились с заполнением таблицы истин­ности для двух аргументов. Поэтому целесообразно поступить следу­ющим образом: при добавлении третьего аргумента сначала запишем первые 4 строки таблицы, сочетая их со значением третьего аргумен­та, равным 0, а затем еще раз запишем эти же 4 строки, но теперь уже со значением третьего аргумента, равным 1. В результате в таб­лице для трех аргументов окажется 8 строк (+ девятая строка — шапка таблицы), и при таком подходе легко проверить, что мы действительно не повторили и не пропустили ни одного возможного сочетания логических значений аргументов — исходных выражений А, В, С.

Из этих рассуждений можно подметить некоторую общую закономерность: для любого числа N аргументов сложного логического выражения таблица истинности содержит 2N строк, а также строку за­головка (шапки таблицы).

Количество столбцов таблицы истинности для удобства последова­тельного ее построения выберем равным шести. Эти столбцы соответ­ствуют значениям исходных выражений А, В, С, промежуточных ре­зультатов  и (В v С), а также искомого окончательного результа­та — значения сложного арифметического выражения  (В v С).

Построим таблицу истинности для заданного сложного логическо­го выражения:

ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА КОМПЬЮТЕРА

Как известно, любая информация при обработке на компьютере пред­ставляется в двоичной форме, то есть кодируется некоторой после­довательностью 0 и 1. Поэтому упрощенно можно представить работу компьютера как некоторого устройства, производящего обработку двоичных сигналов, соответствующих 0 и 1. Такую обработку в лю­бом компьютере выполняют так называемые логические элементы, из которых составляются логические схемы, выполняющие различ­ные логические операции. Реализация любых логических операций над двоичными сигналами основана на использовании логических элементов трех типов: И, ИЛИ, НЕ.

Логический элемент — это электронное устройство, реализующее одну из логических функций. Рассмотрим указанные три простей­ших логических элемента. В зависимости от типа элемента на его вход подается один или несколько входных сигналов, а на выходе — снимается один выходной сигнал. Названия и условные обозначения этих логических элементов являются стандартными и используются при составлении и описании логических схем компьютеров.

Логический элемент И (коньюнктор):

Логический элемент ИЛИ (дизъюнктор):

Логический элемент НЕ (инвертор):

Результат (0 или 1) на выходе каждого из указанных логических элементов определяется согласно приведенным выше таблицам ис­тинности для той логической операции, которую реализует данный логический элемент.

Физически каждый логический элемент представляет собой элек­тронную схему, в которой на вход подаются некоторые сигналы, ко­дирующие 0 либо 1, а с выхода снимается также сигнал, соответст­вующий 0 или 1 в зависимости от типа логического элемента.

Обработка любой информации на компьютере сводится к выпол­нению процессором различных арифметических и логических опера­ций. Для этого в состав процессора входит так называемое арифме­тико-логическое устройство. Оно состоит из ряда устройств, постро­енных на рассмотренных выше логических элементах. Важнейшими из таких устройств являются регистры и сумматор.

Регистр представляет собой электронный узел, предназначенный для хранения многоразрядного двоичного числового кода. Такой код может быть числовым кодом команды, выполняемой процессором, либо кодом некоторого числа (данного), которое используется при вы­полнении данной команды. Упрощенно можно представить регистр как совокупность ячеек, в каждой из которых может быть записано одно из двух значений: 0 или 1, то есть один разряд двоичного числа. Такая ячейка, называемая триггером, представляет собой некоторую логическую схему, составленную из рассмотренных выше логичес­ких элементов. Под воздействием сигналов, поступающих на вход триггера, он переходит в одно из двух возможных устойчивых состо­яний, при которых на выходе будет выдаваться сигнал, кодирующий значение 0 или 1. Для хранения в регистре одного байта информации необходимо 8 триггеров.

Сумматор — это электронная схема, предназначенная для выпол­нения операции суммирования двоичных числовых кодов. При сум­мировании по правилам двоичной арифметики двух единиц резуль­тат равен 10 и происходит перенос 1 в старший двоичный разряд. Для реализации простейшей операции суммирования одноразрядных дво­ичных чисел используется логическая схема (одноразрядный сумма­тор), составленная из следующих логических элементов: двух эле­ментов И, одного элемента ИЛИ и одного элемента НЕ. Эта схема имеет три входа (два слагаемых и возможный перенос из предыду­щего разряда) и два выхода (сумма и возможный перенос в следующий разряд). Многоразрядный сумматор строится как логическая схема на основе одноразрядных двоичных сумматоров.

Таким образом, можно сделать вывод, что логические элементы являются теми строительными «кирпичиками», из которых путем конструирования логических схем строится «здание» любого совре­менного компьютера.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.     Что изучает логика?

2.     Что понимается под суждением?

3.     Приведите примеры логических выражений.

4.     Назовите основные логические операции булевой алгебры.

5.     Постройте таблицу истинности для логического выражения:
D =.

6.     Какие логические элементы вам известны?

7.     Что такое регистр?

8.     В чем состоит принцип работы сумматора?