Взаимосвязь деятельностного подхода и проблемы укрупнения дидактических единиц в процессе обучения математике учащихся
учебно-методический материал по алгебре (8 класс) на тему

Взаимосвязь деятельностного подхода и проблемы укрупнения дидактических единиц в процессе обучения математике учащихся 7-9 классов

Содержание

С.

Введение

В последнее время в учебных планах общеобразовательной школы наметилась тенденция к сокращению количества часов, отводимых на изучение дисциплин естественно-математического цикла в целом и математики в частности. Однако современная жизнь предъявляет все более высокие требования к качеству приобретаемых учащимися знаний, умений и навыков, развитию умственных операций, многих личностных качеств, воспитание определенного стиля мышления, в котором особая роль отводится формированию навыков исследовательской творческой математической деятельности, и т.д., что вызывает необходимость поиска способов совершенствования процесса обучения школьников математике.

В создавшихся условиях многие ученые-методисты основой успешного процесса обучения, а также необходимым условием развития личности считают деятельность, ибо в процессе целенаправленной и правильно организованной деятельности возможно достижение достаточно высоких положительных результатов. Подобное приводит к переосмыслению многих некогда традиционных взглядов и направлений. К примеру, в последнее время значительное распространение в методике преподавания математики приобрело понимание знания не как готовой, книжной информации, а как деятельности, со всеми ее особенностями и характеристиками. «Говоря о знаниях, я имею ввиду не сведения, которые предлагают запомнить ученику, а знание как деятельность, оцененную с точки зрения ее результата, как, наконец, живое знание» [19]. Все это в значительной мере способствует современной актуализации в обучении производного от деятельности понятия деятельностного подхода.

Со времен внедрения деятельностного подхода в обучение (конец 60-х - начало 70-х годов) ученик встал на позицию субъекта познания, общения и труда, что предполагает активизацию его познавательной деятельности, обучение планированию, организации и самоанализу деятельности. Однако вышеуказанное сокращение числа учебных математических часов осложняет реализацию деятельностного подхода в обучении математике, понимаемого в некоторых из возможных смыслов, так как многие учителя указывают на возросшие затруднения в преподавании обязательного программного материала. Подобная проблема обуславливает актуальность темы нашего исследования, предполагающей выявление особенностей взаимосвязи деятельностного подхода и теории укрупнения дидактических единиц в процессе обучения математике учащихся 7-9 класса. Обращение к данной теории объясняется тем, что, как показывает анализ научно-методической литературы, сторонниками данной теории не раз отмечалось, что применение на уроках ее приемов способствует повышению качества усваиваемых учащимися знаний по изучаемому предмету без потери его познавательной ценности и при меньшем потреблении временных ресурсов.

В таком случае, цель нашей работы состоит в разработке методики обучения школьников в контексте взаимосвязи деятельностного подхода и проблемы укрупнения дидактических единиц.

Обозначенная цель работы обусловила постановку следующих задач:

1. изучить состояние проблемы укрупнения дидактических единиц в научной литературе;
2. исследовать основные положения теории УДЕ в работах П.М.Эрдниева;
3. проанализировать возможные направления совершенствования теории УДЕ;
4. исследовать деятельностную концепцию УДЕ, как одну из последних нововведений в данной теории;
5. проанализировать историю становления и развития деятельностного подхода в обучении математике;
6. разработать методику обучения школьников математике в контексте деятельностной концепции УДЕ, опирающуюся на деятельностный подход в обучении.

1 Проблема укрупнения дидактических единиц в научной литературе

1.1 Возникновение и развитие теории укрупнения дидактических единиц в работах П.М. Эрдниева

Как показывает проведенный анализ научной литературы, предпосылки возникновения проблемы укрупнения дидактических единиц появились в науке достаточно давно. Идея укрупнения издавна развивается как часть философской проблемы целостности – проблемы соотношений и связи категорий «часть» и «целое», возникшей еще в античной науке. Разрешению данной проблемы посвящены труды Аристотеля, Гераклита, Платона и др. К примеру, по Аристотелю, сумма частей, называемая им «все в совокупности», характеризуется тем, что в ней положение частей не создает различие. Там же, «где оно (положение частей) приводит к различию, мы имеем целое».

Анализируя любое целое в рамках проблемы целостности, в нем выделяют:

1. определенные стороны, органы, компоненты, процессы, материальные связи и т.д. (составные «части» целого);
2. определенный способ связи элементов целого между собой (структуру целого).

Целое представляет собой единство частей, существующее благодаря их взаимосвязи, устойчивый характер которой выражается в структуре данного целого.

Среди элементов (частей), составляющих целое, возможно выделение основного элемента (основной единицы), тщательное изучение которого позволяет исследовать все целое. Действительно, под основной единицей соответствующего целостного объекта, вслед за Л.С.Выготским, как правило, подразумевают «такой продукт анализа, который … обладает всеми основными свойствами, присущими целому, и который является далее неразложимыми, живыми частями этого единства» [6, с.15].

Решая вопрос о подобной единице обучения и воспитания, В.И.Загвязинский сформировал ряд положений, в которых сокрыты характерные свойства структурной единицы всякого целого [18, с.59]. Согласно этим положениям она:

1. сохраняет в элементарном, зачаточном виде наиболее существенные элементы, связи, противоречия развивающегося целого…;
2. является результатом последовательной абстракции, доведенной до границы, за которой уже не существует более простого образования, выражающего сущность и специфику рассматриваемой системы;
3. обладает завершенностью, т.е. может существовать до, вне и независимо от ее более развитых форм;
4. не может и не должна охватить целое во всем его богатстве и многообразии.

В работах по проблеме укрупнения дидактических единиц также выделяют основную единицу, называемую дидактической, опираясь на которую образуют укрупненную дидактическую единицу. Последняя представляет собой, по словам П.М.Эрдниева, «клеточку учебного процесса, состоящую из логически различных элементов, характеризуемых информационной общностью, и обладающую качествами системности и целостности, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти» [51, с.6-7].

Возникнув, как часть философской проблемы, со временем различные аспекты идеи укрупнения нашли свое место и в других научных областях. Например, в дидактике и психологии они проявлялись, главным образом, в направлении укрупнения знаний через усиление их обобщения и систематизации, а также формирования у учащихся качества системности знаний (Л.Я.Зорина, Д.Б.Эльконин).

В теории познания сложных систем укрупнение определяется как общенаучная категория, позволяющая кратчайшим путем получать существенную часть информации о сложной системе. При этом данная категория обозначает не объемное увеличение системы, а способ построения простой модификации изучаемого объекта, которая сохраняла бы свойства последнего. Механизмом осуществления подобного укрупнения принято считать обобщение, а методом и средством – упрощение, которое преобразует систему с понижением ее сложности в каком-нибудь отношении. Тогда, например, для рассмотрения процесса обучения, характеризуемого отношением «преподавание – содержание предмета – учение» достаточно рассмотреть его модификацию, моделируемую объектом со следующей структурой: (рис.1), где Ap – познавательная задача (в которую исследователь включает любое упражнение, вопрос, теорему, любое задание, требующее осуществление какого-либо познавательного акта); Sn – познавательное действие студента, т.е. обучаемого (под которым подразумевается действие, направленное на решение познавательной задачи, результатом выполнения которого оказываются новые знания и способы деятельности или их новые качества); Em – дидактический прием преподавателя, т.е. обучающего, (который представляет собой конкретное действие (или совокупность действий) преподавателя, например, предъявление плана, использование таблиц, схем и т.д., характеризуемое завершенностью и ведущее к достижению ближайшей цели, решению частной задачи) [2, с.54-56].

Рисунок 1.

Между тем, найдя свое отражение во многих научных областях, наиболее четко, как дидактическая проблема, идея укрупнения была осознана в методике преподавания математики. Взяв эту идею за основу, методист-математик П.М.Эрдниев первым начал разрабатывать одноименную с данной идеей теорию укрупнения дидактических единиц (УДЕ). Согласно автору, данная теория представляет собой теорию крупноблочного построения программного материала, предполагающую совместное рассмотрение, в связях и переходах, целостных групп, нередко именуемых блоками, взаимосвязанных единиц этого содержания.

В ходе анализа научно-методической литературы [18; 51; 31; 49; 50] было выявлено, что теория УДЕ по П.М.Эрдниеву предполагает осуществление целой серии методических приемов:

1. совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций, теорем и т.п. (в частности, взаимообратных);
2. широкое использование метода обратных задач;
3.  обращение структуры упражнений;
4. применение в процессе обучения деформированных упражнений;
5. освоение и составление учениками граф-схем суждений и доказательств;
6. матричная (табличная) фиксация учебной информации;
7. усиление удельного веса творческих заданий;
8. обеспечение единства процессов составления и решения задач (уравнений, неравенств и т.д.);
9. выявление сложной природы математического знания, достижение системности знаний;
10. реализация принципа дополнительности в системе упражнений (понимание достигается в результате межкодовых переходов между образным и логическим в мышлении, между его сознательным и подсознательным компонентами).

Рассмотрим более подробно наиболее распространенные из них.

1. Совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций, теорем и т.п. (в частности взаимно обратных)

Данный прием выполняет основную функциональную нагрузку по осуществлению укрупненного подхода к учебному материалу. В соответствии с этим приемом укрупнения учебный материал структурируется так, что разнообразные взаимно обратные математические действия и операции (сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, заключение в скобки и раскрытие скобок, логарифмирование и потенцирование и т.п.) изучаются одновременно и параллельно. Подобное, как считает П.М.Эрдниев, в большей степени, чем в случае раздельного изучения таких действий способствует своевременному обобщению знаний учащихся, более раннему формированию у школьников умения оперировать содержательно емкими понятиями и т.д. Поскольку такое пространственное и временное сближение в изучении взаимосвязанных элементов содержания предмета легко позволяет преобразовывать знания школьников от уровня разрозненности до уровня целостности посредством постижения ими информации перехода от одного элемента к другому, информации существующих между ними связей.

2. Похожим на рассмотренный прием в теории УДЕ по П.М.Эрдниеву выступает прием, предполагающий широкое использование метода обратных задач. Согласно этому приему работу над той или иной математической задачей не рекомендуется завершать получением ответа к ней, ибо методически более ценным является процесс составления и решения в сравнении с исходной (прямой) задачей новой обратной задачи. Подобное способствует извлечению дополнительной информации, заключающейся в связях между величинами решенной исходной задачи. Это находит подтверждение и в разработках Д.Пойа, указывающего на то, что последний этап в работе над задачей («взгляд назад»), предполагающий анализ полученного решения, а также составление новых задач на основе исходной, поиск различных способов решения данной задачи, их оценки, выбор наиболее рационального метода решения и т.д. [33], является самым главным.

Действительно, при решении взаимно обратных задач всегда возникает ряд особенностей, важных с методической точки зрения. А именно:

1. в процессе преобразования прямой задачи в обратную учащиеся выявляют и используют взаимно обратные связи между величинами задачи;
2. решая обратную задачу, учащиеся самостоятельно перестраивают суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи. При этом они постигают новые связи между известными им мыслями, овладевают новыми, более сложными формами рассуждений и т.д., что позволяет, по словам П.М.Эрдниева, «составление именно обратных задач вправе считать главным средством наращивания знаний учащихся» [51];
3. в совокупности из прямой и обратной задач, вторая часть (т.е. обратная задача), фактически целиком выступает продуктом творчества учащихся, будучи логическим продолжением первой части. Поэтому имеет смысл рассматривать составление и решение обратных задач как достаточно простой и удобный критерий развития творческого мышления учащихся, как один из путей саморазвития их ума.

3. В то же время, поскольку для развития мышления учащихся ценны не прямые и обратные задачи, взятые  как таковые сами по себе, а именно процесс преобразования одной задачи в другую, т.е. «невидимые» и трудноуловимые при логическом анализе элементов мысли, связывающие процессы решения обеих задач, то неудивительно, что среди методических приемов теории УДЕ П.М.Эрдниев также выделяет прием обращения структуры упражнений.

Упражнения, реализующие на практике данный прием, создают, по мнению П.М.Эрдниева, наиболее оптимальные условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий, по сути представляющих собой две формы единой мысли из-за сходных структур. Противопоставление всегда облегчает усвоение любого целого. Поэтому в случае самостоятельного обращения структуры упражнений ученик лучше постигнет переходы между этими упражнениями, причем без какого-то видимого напряжения. Подобное будет способствовать обеспечению у него основательности получаемых знаний, их прочности.

4. Для повышения наглядности в реализации теории УДЕ П.М.Эрдниев также предполагает применение в процессе обучения деформированных упражнений, граф-схем и матриц (таблиц).

4.1. Деформированные (с недостающими компонентами, заменяемыми различными обозначениями: окошечками, звездочками и т.п.) упражнения, кроме повышения наглядности урока, эффективно способствуют непрерывному исправлению учащимися допускаемых ошибок, подсознательно осуществляемому ими в ходе многократного сравнения получаемых промежуточных значений с искомым результатом. Это эффективно способствует формированию у обучаемых глубоких и прочных знаний, развитию у них навыков самоконтроля, совершающегося здесь непроизвольно, и т.д. Кроме  того, постоянно осуществляемый при этом анализ всей аналитической записи упражнений превращает мыслительный процесс школьника в более сложный, более сдержанный и потому лучше развивающий его умственные способности.

4.2. Прием использования граф-схем способствует формированию умения учащихся наглядно изображать процесс рассуждения, развитию их воображения, логического мышления. Поскольку в отличие от традиционного словесно-символического способа решения задачи, при котором каждый шаг решения записывается символически и поясняется словесной записью, решение с помощью граф-схем нередко представляет собой более краткую и емкую запись, в которую закладывается вся информация о данной задаче (теореме) в зашифрованном, закодированном виде. Подобное приучает учащихся к точности, последовательности, логической стройности и обоснованности мышления, способствует развитию многих умственных операций, творческого мышления и т.д. Кроме того, использование граф-схем при решении задачи или доказательстве теоремы через наглядное представление всех деталей решения, доказательства, способствует развитию у обучаемых элементов самоконтроля, т.к. по составленной схеме ученикам легче обнаружить и исправить допущенную ошибку.

4.3. Представление учебной информации в виде матриц (таблиц) позволяет учащимся устанавливать короткие связи между отдельными видами знаний, как элементами таблицы, тем самым обеспечивая их системность. Одновременно матрица (таблица) помогает «добывать» недостающую информацию, что ускоряет усвоение учащимися знаний. При этом, как показывают проводимые сторонниками теории УДЕ эксперименты, заметно уменьшается умственная нагрузка и сокращается расход учебного времени.

Итак, указанные методические приемы раскрывают сущность теории УДЕ в понимании П.М.Эрдниева. Однако нетрудно заметить, что такое разделение приемов во многом условно, т.к. большинство приемов тесным образом взаимосвязано между собой. Так, одновременное изучение взаимосвязанных теорем, функций и т.д., также как и обращение структуры упражнений через возникающее противопоставление основных элементов, оптимально способствует развитию многих умственных операций ученика: анализа, синтеза, сравнения и т.д. Кроме того, практически любой из перечисленных методов, как отмечалось выше, способствует развитию творческого мышления учащихся. Это является справедливым основанием для выделения еще одного важного приема УДЕ, предполагающего в трактовке П.П.Эрдниева «усиление удельного веса творческих заданий».

Сложившиеся ныне системы учебников математики, подбор упражнений в них оставляют крайне мало возможностей для проявления инициативы и творчества обучающегося, для саморазвития его знаний. Тогда как П.М.Эрдниев считает, что творческие задания должны «встречаться на каждой странице учебника математики [51] в силу общеизвестного факта, что знания ученика будут более прочными, если они не заучены механически, а являются продуктом его собственных размышлений и проб, закрепленными в результате его собственной творческой деятельности над учебным материалом [5].

Таким образом, в данном параграфе нашей дипломной работы мы показали, что проблема укрупнения дидактических единиц, развиваясь со времен античности и проявляясь в различных формах, на некотором этапе облеклась в одноименную теорию в разработках методиста и математика

П.М. Эрдниева. Этот ученый выделил в этой теории несколько основных методических приемов, каждый из которых может использоваться как самостоятельный, отдельно от остальных. Однако, в соответствующей научно-методической литературе неоднократно отмечалось, что наибольший эффект от теории укрупнения дидактических единиц в обучении достигается при реализации именно всего комплекса данных методических приемов. Это создает наиболее благоприятные условия для подтверждения различных научных открытий, влияющих на оптимизацию познавательного процесса: принцип обращения (П.К.Анохин), метод противопоставления (И.К.Павлов), принцип доминантности (А.А.Ухтомский) и т.д. Кроме того, было подтверждено экспериментально, что целенаправленное применение в учебном процессе именно совокупности всех приемов в наибольшей степени способствует формированию у учащихся системных знаний и обобщенных умений, созданию у них целостных представлений об окружающей действительности и т.д., при этом интенсифицируя процесс обучения за счет использования резервных механизмов мышления обучаемых. При этом наиболее важными результатами являются резкое снижение нагрузки на ученика и значительное сокращение учебного времени, осуществляемые без потери познавательной ценности предмета.

Последнее приобрело особую актуальность в настоящее время, когда в школах наблюдается тенденция к сокращению количества учебных часов математики. Это вызвало новую волну массового интереса к теории УДЕ, возникшего впервые после публикуемых положительных результатов использования этой теории в учебном процессе и уже указанных нами выше. Тогда подобные публикации привели к возникновению нового этапа в развитии теории УДЕ, заключающегося в совершенствовании ее основных положений, сформулированных П.М.Эрдниевым, более подробно на которых мы остановимся в следующем параграфе нашей работы.

1.2 Совершенствование основных положений теории УДЕ

Как отмечалось в предыдущем параграфе нашей дипломной работы, использование теории УДЕ в учебном процессе приносит много положительных результатов. Поэтому после разработок П.М.Эрдниева в области математики начались попытки переноса основных положений данной теории на процесс изучения других учебных дисциплин, а также поиски возможностей некоторого совершенствования ее приемов и в методике преподавания математики. К примеру, она оказалось востребованной не только в обучении учащихся начальной школы, но и школьников средних и старших классов (С.В.Алещенко, П.Д.Васильева, Г.В.Токмазов и др.), студентов вузов (С.А.Атрощенко, И.Л.Шейберг, А.Г.Пелевина, К.В.Рийвес), детей дошкольного возраста (Е.Н.Сивкова) и др. Естественно, что каждый из исследователей вносил свои новшества в процесс практического использования теории УДЕ. Так, по мнению С.В.Алещенко, исследовавшейся вопрос использования укрупненных дидактических единиц при изучении синтаксиса в 8-9 классах, составление блоков из взаимосвязанных элементов изучаемого материала может осуществляться двумя способами: по «вертикали» (когда укрупненную дидактическую единицу образуют элементы разных уровней: родовое и соответствующее видовое понятия) или по «горизонтали» (когда УДЕ образуется на основе «сквозного» понятия (или категории) одного уровня, которое «пронизывает» все элементы, составляющие укрупненную дидактическую единицу).

В области изучения химии Л.И.Лагуновой была отмечена возможность одновременного изучения химических веществ с противоположными свойствами, таких как, например, кислород (который является окислителем, т.к., вступая в реакцию со многими веществами, он забирает у них электроны и окисляет их) и водород (который является восстановителем, т.к., вступая в реакцию с некоторыми веществами, он отдает им свой электрон и восстанавливает их).

В то же время, нововведения в теории укрупнения дидактических единиц коснулись и самого предмета математики. При этом изменению подверглась как теоретическая модель теории, так и практическая. Примером теоретических изменений могут послужить работы А.К.Артемова, в которых выделяется вариант решения проблемы укрупнения дидактических единиц, предполагающий «изначальное формирование у учащихся обобщенных умений в максимально возможной широте обобщения» [1]. Его сущность, по словам автора, «состоит в том, чтобы подобрать такое структурирование учебного материала, которое сразу же (изначально) ориентировало бы учащихся на формирование у них обобщенных математических умений, в максимально возможной широте обобщения,  т.е. таких, которые охватили бы более широкий круг объектов, чем при используемой в учебниках методике обучения». Так, при обучении учащихся законам сложения и умножения автор предлагает заменять мелкие правила действий более широкими. А именно, вместо изучения порознь правил прибавления числа к сумме, суммы к числу, суммы к сумме, и т.д., что выражается в девяти мелких правилах, А.К.Артемов рекомендует использовать только одно: при сложении слагаемые можно объединять попарно любым способом, как удобно для вычислений.

Подобное позволяет существенно сокращать число правил, которыми учащиеся должны руководствоваться при вычислениях, тем самым, разгружается содержание курса и экономится время изучения. Кроме того, усвоение осуществляется укрупненными единицами: учащиеся сразу овладевают общим способом деятельности, распространяющимся на многие частные случаи.

Примером практических изменений в изучении математики (а в дальнейшем и других учебных предметов) может служить обучение по хорошо известной «методике» В.Ф.Шаталова, когда на уроках учитель использует так называемые листы с опорными сигналами. Эти листы представляют собой систему взаимосвязанных ключевых слов, условных знаков, рисунков, чертежей, с помощью которой кодируется крупная единица, блок информации – учебный раздел, тема или несколько параграфов. Другими словами, «лист с опорными сигналами – это наглядный целостный образ, подлежащий усвоению информации, которая дифференцирована по значимости материала и связей и развернута в определенной форме» [20, c.50].

Кроме него в учебно-методической литературе существуют и другие похожие формы блочного изложения учебного материала: в виде опорных конспектов, структурно-логических схем, обобщающих и сводных таблиц, блоков-конспектов и т.д. [5; 11; 35].

Наряду с образованием блоков из учебного материала, в рамках практических инноваций теории УДЕ можно выделить еще один вариант образования блоков, но уже блоков задач. В частности, задач по математике, которые представляют собой осуществление процесса укрупнения, т.к. нередко авторы подобных блоков используют какую-либо одну задачу в качестве основной, а остальные получают из нее разными способами (заменяя ее условие или требование на новое, подбирая последующую задачу так, чтобы ее условие или решение опиралось на результат решения предыдущей задачи или, чтобы эта задача представляла собой более общую задачу, чем предыдущая и т.д.) [18; 22; 23].

Между тем, в литературе встречаются и другие направления совершенствования теории УДЕ. А именно:

1 попытка единого изложения родственных вопросов аналитической геометрии и линейной алгебры, изучаемых в вузе в виде разработки нового учебного предмета «Линейная математика», (П.М.Эрдниев, Б.П.Эрдниев) основными принципами изучения которого являются:

1. совместное рассмотрение двумерных и трехмерных векторов (понятие вектора вводится на координатной основе);
2. совместное доказательство взаимно обратных теорем (в одних и тех же граф-схемах);
3. сочетание индуктивного и дедуктивного путей изложения материала (например, в одних случаях формула для пространства получается как обобщение формулы для двумерного случая, в других случаях – формула для плоскости выводится как частный случай соответствующей формулы для пространства);
4. использование метода обращения (метода обратных задач);
5. использование элементов конструктивного подхода к математике, который психологически обеспечивает трехфазный целостный подход к знаниям («частное – общее – частное», «конкретное – абстрактное – конкретное»).

2 попытка слияния в один курс таких разделов геометрии, как планиметрия и стереометрия (в виде линейно-концентрической организации курса геометрии, предполагающей совместное изучение таких планиметрических и стереометрических тем, как «Треугольник и его свойства» и «Тетраэдр и его свойства», «Окружность, круг и их свойства» и «Сфера, шар и их свойства» и др., (В.А.Далингер [10]); в виде разработки нового учебника по геометрии для VII-IX классов, главной особенностью которого является параллельное изучение планиметрии и стереометрии (Г.Г.Левитас, [28]); в виде одновременного решения задач координатным и векторным методами, на плоскости и в пространстве (Г.Т.Юртаева, [54])) и др.

Подобные направления развития теории укрупнения дидактических единиц нашли свое отражение даже в последних изданиях базисного учебного плана образовательных учреждений Российской Федерации. В этом документе можно обнаружить так называемые образовательные области, образованные на основе возможных связей между несколькими учебными предметами. Например, в образовательную область «Математика» сегодня входят: математика, алгебра, геометрия, алгебра и начала анализа, информатика. В образовательную область «Естествознание» – физика, химия, биология, экология и естествознание, как интегрированный курс и т.д. Подобное укрупнение, возможно, направлено на усиление межпредметных связей тех учебных дисциплин, которые входят в ту или иную область, с целью улучшения процесса их усвоения учащимися.

Итак, как отмечалось выше, совершенствование основных положений теории УДЕ проходит по следующим направлениям:

1. разный возраст;
2. разные предметы;
3. изменения в математике (А.К.Артемов, В.Ф.Шаталов и др.);
4. другие нововведения (интеграция в теории УДЕ).

Однако, указанные направления использования теории укрупнения дидактических единиц, как правило, применяются лишь к системе знаний в их традиционном понимании. Тогда, как сегодня актуально понимание знания как деятельности. Основным компонентом деятельности выступает действие. Поэтому в следующем параграфе нашей работы мы представим деятельностную концепцию УДЕ, в основе которой, как раз, лежит идея укрупнения действий.

1.3 Деятельностная концепция УДЕ

Деятельностная концепция укрупнения дидактических единиц (УДЕ) в своей основе предполагает обращение к деятельностному подходу. Как показывает анализ научной литературы, в настоящее время выделяют несколько основных вариантов понимания сущности деятельностного подхода, а именно:

1. введение учащихся в круг учебных задач (ситуаций, требующих ориентации на общий способ разрешения) и решение их посредством учебных действий и действий контроля и самоконтроля;
2. соотнесение с обучением школьников способов рассуждений, самостоятельного открытия ими фактов, их доказательств, решений задач и т.д.;
3. выделение совокупности действий, адекватных предметному содержанию;
4. реализация деятельностной природы знаний.

В методике обучения математике деятельностный подход воспринимается главным образом в трех последних значениях. Из них третий вариант, связанный с обучением школьников тому или иному компоненту, предметного содержания посредством формирования у них действий, адекватных данному компоненту, на наш взгляд, является сегодня самым распространенным. На этот же вариант опирается в первую очередь и деятельностная концепция УДЕ. Так как в рамках ее реализации в качестве дидактической единицы, подвергаемой укрупнению, всегда выступает действие, соответствующее предметному математическому содержанию. В таком случае, данная концепция предполагает осуществление различных способов укрупнения действий. Однако, для выделения таких способов прежде всего необходимо обратиться к самому понятию действия и его структуре.

Анализ научно-методической и психолого-педагогической литературы показывает, что действие обозначается отдельный акт какой-либо деятельности, направленный на достижение некоторой цели. Действие представляет собой один из структурных компонентов деятельности, который на фоне других общепринято рассматривать как основной (А.Н.Леонтьев, С.Л.Рубинштейн, Н.Ф.Талызина и др.). Оно, строя деятельность, содержит в себе все ее специфические характеристики, что, вслед за Л.С.Выготским, считается главным свойством в определении основной структурной единицы целого. В таком случае структура действия подобна структуре деятельности, наиболее полно и развернуто представленной в работах Л.Н.Леонтьева [29].

Согласно взглядам этого ученого, «деятельность – это не реакция и не совокупность реакций, а система, имеющая свое строение, свои внутренние переходы, свое развитие» [29, с.82]. Строение категории деятельности, по мнению А.Н.Леонтьева, представляет собой трехзвенную, но как бы удвоенную и взаимно сопоставленную структуру:

1. по морфологическому признаку: деятельность – действие – операция;
2. по структурно-психологическому признаку: мотив – цель – условие.

Структура действия как основного элемента деятельности в целом повторяет структуру деятельности, также включая в себя мотив, цель, условия и т.д. Действительно, при обращении к понятию действия первое, что возможно выделить как его неотъемлемый компонент – это цель. Многие исследователи в своих трудах указывали на то, что конкретное действие всегда определяется целью, на достижения которой оно направлено [1; 29; 37; 36]: «цель действия – это другое заранее определенное состояние предмета действия, которое он может или должен принять в результате выполнения действий» [1, c.13].

Из данного определения видно, что действие также предполагает наличие своего предмета (объекта), относительно которого происходит его осуществление субъектом, являющимся носителем действия.

Кроме этих компонентов, в структуру действия входит мотив, побуждающий субъекта к выполнению  действия, к достижению поставленной цели, а также условия, в которых эта цель достигается. Достижение же этой цели происходит посредством выполнения еще одного компонента действия – операций.

Таким образом, в состав действия всегда входят: субъект действия, его предмет (объект), мотив, цель, условия и операции. Между тем, постоянство структуры действия относительно. Действие, как и другие элементы, входящие в состав деятельности, может распадаться на более мелкие действия или объединяться с каким-либо другим действием (может быть даже не с одним), образуя новое, более крупное (укрупненное) действие, что,естественно, влечет за собой некоторое изменение структуры действия (ее дробление или укрупнение) при сохранении состава входящих в нее компонентов. Таким образом, укрупнение действий – процесс, который возможет в ходе осуществления любой деятельности. При этом способы такого укрупнения как раз основываются на структурных компонентах действия. Действительно, возможные способы укрупнения действий впервые были выделены в диссертационном исследовании И.В.Ульяновой [46]. В данной работе автор определил сущность некоторых логических операций над действиями (операций объединения (сложения), дополнения, расширения, обобщения). Опираясь на эти операции и принимая во внимание наличие структурных компонентов действия (его операции, условия выполнения, цель), И.В.Ульяновой как раз и были выделены способы укрупнения действий. Например, под объединением (сложением) действий Д1 и Д понимается процесс получения действия Д2, которое включает в себя операции, соответствующие или действию Д, или действию Д1 (без повторения) [там же]. Тогда одним из способов укрупнения может быть: выполнение исходного действия одновременно с обратным ему действие или противоположным ему, или аналогичным.

Аналогично И.В.Ульянова выделяет и другие способы укрупнения действий. А именно:

1. усложнение условий выполнения исходного действия;
2. добавление к исходному действию нового действия, опирающегося на уже достигнутый результат.

Практическим средством реализации таких способов при обучении учащихся, например, методам решения геометрических задач, выступают блоки так называемых укрупненных задач. Блоком укрупненных задач назовем совокупность нескольких задач, взаимосвязанных между собой по линии укрупнения своих решений, осуществляемой через укрупнение действий, адекватных этим решениям. Таким образом, связи между задачами такого блока носят не столько содержательный (как в блоках, составляемых Э.Г.Готманом [8; 9], И.А.Кушниром [26; 27] и др.), сколько процессуальный характер. При этом данная связь характеризуется, в первую очередь, не наличием общей закономерности или общего метода решения блочных задач, а тем, что каждая последующая из них в данном блоке расширяет (укрупняет) решение любой из предшествующих ей в нем задач посредством выполнения одного или более новых действий. Другими словами, решение каждой последующей в блоке задачи содержит в себе как составную часть решение одной из предшествующих ей в нем задач.

Действительно, предположим, что у нас имеется некоторая задача-1 (З1), для решения которой каким-либо конкретным методом надо выполнить определенную последовательность действий: д11, д21, … , дn1 (рисунок 1.2).

Рисунок 2.

Эти действия, естественно, взаимосвязаны между собой. Каждое последующее из них опирается на результат выполнения предыдущего (т.е. дi1дi+11), а вместе они направлены на достижение одной цели: получение ответа в задаче-1, выполнение ее требования; эту совокупность действий определим как одно целое, укрупненное действие-1 (Д1). Если далее мы расширим задачу-1 до задачи-2 (З2) (т.е. решение задачи-2 будет непосредственно опираться на решение задачи-1), то действия, способствующие решению второй задачи, некоторым методом будут взаимосвязаны между собой так же, как и действия первой задачи. Поэтому их совокупность (д12, д22, … , дm2, m>n) определим как новое целое, укрупненное действие-2 (Д2). Решение задачи-2 включает в себя решение задачи-1. Часть действий из тех, что способствуют решению задачи-2, тождественна действиям в решении задачи-1. Значит, к действиям д11, д21, … , дn1 (т.е. к действию Д1) мы просто добавили несколько новых (дn+12, … , дm2) и получили действие-2. Таким образом, действие-2 содержит в себе действие-1 как структурный элемент. Тогда действие-2 есть укрупненное действие-1.

Таким образом, расширяя задачу до новой задачи, мы действительно укрупняем и действия, соответствующее методу ее решения. Расширять же сами задачи можно посредством использования комплекса методических приемов [46]:

1. замена требования задачи каким-либо новым требованием;
2. расширение чертежа задачи (через построение в нем новых линий);
3. обращение задач;
4. замена условия задачи каким-либо новым условием.

Таким образом, деятельностная концепция УДЕ в качестве дидактической единицы предполагает выделение действия, как основного компонента предметного математического содержания. Практическим же средством реализации этой концепции, позволяющим укрупнять подобные действия, выступают блоки укрупненных задач. При этом теоретическим основанием данной концепции являются основные положения деятельностного подхода, так как использование в учебном процессе блоков укрупненных задач всегда подразумевает реализацию этого подхода. Более полно справедливость этого утверждения мы покажем в следующей главе нашей дипломной работы.

Выводы по  главе 1

1. Анализ научной литературы показал, что различные аспекты проблемы укрупнения дидактических единиц получили широкое распространение во многих научных областях: психологии, педагогике, дидактике. Однако четкое ее осознание как методической проблемы произошло, начиная с 60-х годов прошлого столетия, в работах методиста математика П.М.Эрдниева, где она разрабатывалась для повышения эффективности процесса обучения учащихся начальной школы содержанию учебного предмета «Математика».

2. Согласно взглядам П.М.Эрдниева, теория укрупнения дидактических единиц представляет собой теорию крупноблочного построения программного материала. Ее центральной мыслью явилось положение о необходимости осуществления укрупненного подхода к содержанию учебного материала, предполагающего совместное рассмотрение, в связях и переходах, целостных групп родственных (взаимосвязанных) единиц этого содержания, или, другими словами, рассмотрение таких единиц крупными блоками. Применение теории УДЕ в процессе обучения школьников по П.М.Эрдниеву предполагает использование комплекса методических приемов, включающих в себя:

1. совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций, теорем и т.п. (в частности, взаимно обратных);
2. широкое использование метода обратных задач;
3. обращение структуры упражнений;
4. применение в процессе обучения деформированных упражнений;
5. освоение и составление учениками граф-схем суждений и доказательств;
6. матричная (табличная) фиксация учебной информации;
7. усиление удельного веса творческих заданий.

3. Многочисленные исследования в дидактике и предметных методиках (С.В.Алещенко, А.К.Артемов, П.Д.Васильева, Г.И.Саранцев и др.) обеспечили дальнейшее развитие теории УДЕ. Отдельные ее приемы получили одобрение в практике изучения различных учебных дисциплин, а также для обучения учащихся различных возрастных групп: средних и старших классов, студентов вузов, и даже детей дошкольного возраста и аспирантов. Кроме того, некоторые попытки модернизаций в теории УДЕ, привели и к другим направлениям ее совершенствования, связанные с изменениями в области математики или в области усиления межпредметных связей между учебными дисциплинами. Одним из последних таких нововведений является разработка так называемой деятельностной концепции УДЕ в работах Г.И.Саранцева и И.В.Ульяновой.

4. Деятельностная концепция УДЕ в качестве дидактической единицы предполагает выделение действия как основного компонента предметного математического содержания. Способами укрупнения таких действий являются:

1. выполнение исходного действия одновременно с обратным ему действием или противоположным ему, или аналогичным;
2. усложнение условий выполнения исходного действия;
3. добавление к исходному действию нового действия, опирающегося на уже достигнутый результат.

Практическим средством реализации деятельностной концепции, позволяющим укрупнять подобные действия, выступают блоки укрупненных задач, принципом образования которых служит положение о том, что решение каждой последующей задачи содержит в себе часть решение предыдущей задачи.

Методическими приемами образования блоков укрупненных задач выступают:

1. замена требования задачи каким-либо новым требованием;
2. расширение чертежа задачи (через построение в нем дополнительных линий);
3. обращение задач;

4)        замена условия задачи каким-либо новым условием.

2 Деятельностный подход как основа УДЕ

2.1 Научные концепции деятельностного подхода

В методико-педагогической, психологической и философской литературе есть мнение, что понятие деятельностного подхода пришло из психологии, зародившись в данной науке на рубеже еще 20-30-х годов прошлого столетия. Сегодня сущность деятельностного подхода в общем заключается в рассмотрении анализируемого объекта как бы через призму деятельности. Понятие деятельности выступает в качестве основного средства исследования изучаемых явлений и процессов, так как с позиций именно этой категории происходит тогда описание, объяснение и проектирование рассматриваемых предметов [14, с.70].

Однако понятие деятельности как таковой впервые возникло не в психологии или какой-либо другой науке, а в философии. Если обратиться к многочисленным его формулировкам, встречаемым в научной литературе [3; 4; 36], а также к структурным компонентам деятельности, указанным нами в предыдущем параграфе, то можно отметить, что подлинная деятельность всегда связана с преобразованием действительности. Понимание же деятельности как формирующей активности субъекта было основательно развито еще в домарксистской философии, главным образом, в немецком классическом идеализме, а представление о деятельности как материально-преобразующей общественной практике впервые развил диалектический материализм. В таком случае, вся история деятельностного подхода в психологии есть история того, как в ее концептуальный аппарат в качестве основного понятия входило новое, идущее из философии, понятие деятельности. Какие на этом пути встречались трудности и как, в ходе их преодоления, это понятие трансформировалось и развертывалось. Тем не менее, в силу целого ряда обстоятельств, связанных, в частности, с предметом исследования, данная научная область по сравнению с другими выдвинулась значительно вперед в анализе человеческой деятельности, достигнув наиболее осязаемых результатов. Возможно, этим и объясняется тот факт, что по мнению многих, именно в психологии зародилось новое понятие, опирающееся на понятие деятельности и получившее от него свое название – понятие деятельностного подхода.

Деятельностный подход в нашей психологии приобрел довольно широкое распространение (Л.С.Выготский, А.Н.Леонтьев, А.Р.Лурия и др.). Его использование позволило психологам выявить зависимость изменений и развития одного человека от изменения и развития материальной и духовной деятельности общества. Изучение отдельных сторон поведения, сознания, личности человека, исследуемых в сфере данной науки, также основывается на использовании различных моментов понятия деятельности. К примеру, это понятие позволило ученым рассмотреть психику «как функциональный «орган» деятельности, это понятие также открыло путь к объяснению происхождения и развития психики: эти два процесса предстали как прямой продукт и результат развития предметной деятельности» [53, с.298]. Не случайно в педагогическом словаре Г.М.Коджаспировой деятельностный подход определяется как:

1. принцип изучения психики, в основу которого положена категория предметной деятельности (И.Фихте, Г.Гегель, А.Н.Леонтьев и др.);
2. теория, рассматривающая психологию как науку о порождении, функционировании и структуре психического отражения в процессах деятельности индивидов (А.Н.Леонтьев) [24].

В то же время, несмотря на основополагающее значение, которое приобрел деятельностный подход в психологии, он не является присущим лишь данной науке. Подобно тому, как к понятию деятельности нередко обращаются и методисты, и педагоги, и социологи, и т.д., так и позиции деятельностного подхода зачастую лежат в основе рассмотрения разнообразных явлений представителями многих наук. Этот подход не является новым для педагогов. Они нередко обращались к деятельности, стремясь, например, раскрыть движущие силы процесса обучения. По их мнению, без деятельностного подхода нельзя ни исследовать, ни организовать данный процесс, т.к. его организующим фактором является деятельность. Обучение является ведущим понятием педагогики, поэтому в данной науке высказывается мысль, что деятельностный подход не был перенесен в нее из психологии, как считают некоторые научные деятели, а был свойственен ей всегда [34, с.80].

Что же понимают под деятельностным подходом в педагогике? В работе [32] дается следующее представление о деятельностном подходе, основой которого является деятельность. Установлено, что деятельность – основа, средство и решающее условие развития личности. Этот факт обуславливает необходимость реализации в педагогическом исследовании и практике тесно связанного с личностным подходом деятельностного подхода.

Последний предполагает проведение специальной работы по выбору и организации деятельности ребенка, по активизации и переводу его в позицию субъекта познания, труда и общения. Это, в свою очередь, предполагает обучение ребенка выбору цели и планированию деятельности, ее организации и регулированию, контролю, самоанализу и оценке результатов деятельности [32].

В целом развитие деятельностного подхода в педагогике можно проследить, изучая работы Ю.К.Бабанского, Т.И.Шамовой, Г.И.Щукиной и др. Особенно четко он обозначен в работах Ю.К.Бабанского. Тем не менее, как показывает анализ таких работ, педагогика не рассматривает деятельность как самостоятельное явление, изучая, главным образом, конкретные виды деятельности: учебную, общественную, самостоятельную, эстетическую, спортивную и т.д. При этом особое внимание уделяется учебной деятельности – деятельности учащегося, а также деятельности учителя и их взаимодействию. Опираясь на подобные факты, сущность деятельностного подхода с точки зрения педагогики можно выразить так: «это направленность исследования любых … объектов, при которых они изучаются с точки зрения процесса учебной деятельности школьника и руководящей деятельности учителя» [34, с.80]. Таким образом, в педагогике деятельностный подход опирается не просто на понятие деятельности, а на ее частные виды: деятельности учителя и учащегося.

В строении учебной деятельности учащегося выделяют те же три основных звена, что и в деятельности вообще [1; 12; 17]:

1. мотивационно-ориентировочное;
2. операционное (исполнительное);
3. контрольно-оценочное.

Второе звено (исполнительное) считается основным, главным. Оно включает в себя осуществление учащимися учебных действий, направленных на решение учебной задачи. Данная задача выступает в виде обобщенной цели деятельности и образует ее первое звено. Реализация третьего звена, в свою очередь, предполагает выполнение учениками действий контроля за осуществляемыми ими учебными действиями и их самооценку. Отсюда, с учетом основных составляющих компонентов, выделяемых в структуре учебной деятельности, реализация деятельностного подхода, опирающегося на деятельность школьников, предполагает:

1. постановку в процессе обучения учебных задач;
2. выполнение учебных действий по решению этих задач;
3. выполнение учениками действий контроля и самоконтроля.

Такую форму деятельностного подхода можно обнаружить в работах А.К.Артемова. Поскольку в его исследованиях, посвященных проблеме укрупнения дидактических единиц и раскрывающих сущность такого ее направления, как «изначальное формирование у учащихся обобщенных умений в максимальной возможной широте обобщения», указанных нами в параграфе 1.3, фактически представлена практическая интерпретация указанной нами выше учебной деятельности.

Однако в такой форме деятельностный подход встречается на практике достаточно редко. Чаще он выступает в иных вариантах своего понимания. Например, некоторые методисты, считая, что данный подход нельзя соотносить лишь с процессуальной стороной обучения, ибо он перестраивает представление и о содержании обучения, реализацию деятельностного подхода нередко связывают с представлением изучаемого на уроках содержания (понятия, теоремы, способа деятельности), совокупностью действий, адекватных рассматриваемому элементу. Другими словами, усвоение этого элемента в подобном контексте предполагает овладение действиями, его составляющими. К примеру, Г.И.Саранцев отмечает, что усвоение школьниками какого-либо математического понятия через формирование у них действий распознавания объектов, принадлежащих понятию, их конструирования, выведения следствий из факта принадлежности объекта понятию и их совокупностей есть не что иное, как обучение учащихся именно с позиций деятельностного подхода [38].

Однако одним из первых в явном виде деятельностный подход определил А.А.Столяр.

Обучением математической деятельности автор называет активное обучение математике. Считая, что мы должны обучать учащихся не заучивать готовый материал, а открывать математические истины, логически организовывать добытый опытным путем логический материал. И, наконец, применять теорию в различных конкретных ситуациях. Вот как он предлагает организовать деятельность учащихся при доказательстве теорем: «Под обучением доказательству мы понимаем обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательства, а не обучение воспроизведению и заучиванию готовых доказательств».

Таким образом, А.А.Столяр рассматривал деятельность не как средство реализации деятельностного подхода, а как ее цель. Поэтому в качестве одной из особенностей подхода в обучении математике ученый отмечает, что его применение на каждом уроке, при изучении каждой темы школьного курса не предполагается. Так как «это просто неосуществимо в реальном времени, отведенном для математики в целом. Предполагается дидактически целесообразное сочетание обучения готовым знаниям и способам деятельности по их приобретению» [43, с.7].

В то же время, в свете деятельностного подхода в процессе обучения по-новому освещаются многие традиционные вопросы, в том числе и вопрос о соотношении знаний, умений и навыков. Очевидно, что за умениями и навыками всегда скрывается какое-либо действие или даже некоторая последовательность действий с определенными характеристиками. Умение можно определить «как способность личности к эффективному выполнению определенной деятельности», а значит и действий, образующих ее структуру, «на основе имеющихся знаний в измененных или новый условиях» [42, с.8]. Тогда как навык представляет собой автоматизированное умение.

Между тем, в научной литературе можно выделить различные подходы к пониманию «знания». Например, Н.Ф.Талызина утверждает, что знание представляет собой систему «тех признаков нового материала…, следуя которым можно правильно выполнить указанное действие» [45, с.20], или быть, наконец, его конечным продуктом, результатом [44, с.193]. По мнению В.С.Швырева, «всякое знание является результатом определенного рода познавательной деятельности» [48, с.54], т.е. знания – есть составной элемент деятельности. Кроме того, есть и другое мнение, согласно которому знания – это деятельность, как, отмечает В.П.Зинченко: «Говоря о знаниях, я имею ввиду не сведения, которые предлагают запомнить ученику, а знание как деятельность, оцененную с точки зрения ее результата, как наконец, живое знание» [19].

В таком случае, практическая реализация деятельностного подхода предполагает не только обучение учащихся деятельности по приобретению ими готовых знаний, как указывал А.А.Столяр, но и усвоение ими готовых знаний. Так как взгляд на знание в целом, как на деятельность, выявляет его деятельностную природу. Использование же деятельностного подхода в таком контексте, по словам Г.И.Саранцева, предполагает выстраивание деятельности, адекватной знаниям и составляемой мотивационной сферой, различного рода действиями, способами деятельности, эвристиками, контролем и самоконтролем.

Подобное понимание деятельностного подхода в методике обучения математике можно обнаружить, к примеру, в книге О.Б.Епишевой и В.И.Крупича «Учить школьников учиться математике» [17]. Ее авторы, опираясь на психологические положения теории учебной деятельности, предпринимают попытку выделения приемов этой деятельности в обучении математике и разработки методики ее формирования. Однако многие аспекты проблемы обучения в контексте деятельности учащихся здесь освещены поверхностно, т.к. подобная работа в методике обучения математике является одной из первых. Наиболее важным в ней выступает то, что на ее страницах просматривается идея деятельностной природы знаний.

Таким образом, на основе вышесказанного, можно отметить, что сегодня в практике обучения деятельностный подход возможно использовать в следующих основных вариантах понимания:

1. введение учащихся в круг учебных задач (ситуаций, требующих ориентации на общий способ разрешения) и решения их посредством учебных действий и действий контроля и самоконтроля (А.К.Артемов и др.);
2. соотнесение с обучением школьников способов рассуждений, самостоятельного открытия ими фактов, их доказательств, решений задач и т.д. (А.А.Столяр и др.);
3. выделение совокупности действий, адекватных предметному содержанию (Г.И.Саранцев и др.);
4. реализация деятельностной природы знаний (О.Б.Епишева, В.И.Крупич, Г.И.Саранцев).

В таком случае, если в данный момент мы обратимся к теории укрупнения дидактических единиц, одной из составляющих методологической основы нашего исследования, то можно заметить, что при ее практической реализации всегда просматривается идея деятельностного подхода. Поскольку, с одной стороны, как было отмечено выше, в работах А.К.Артемова по проблеме укрупнения дидактических единиц можно обнаружить проявление деятельностного подхода в первом из указанных нами возможных вариантов его понимания. С другой стороны, любое направление теории УДЕ, представляемое в рассмотренной нами научной литературе, направлено на обучение учащихся способам рассуждений, усиление их самостоятельной активности и т.д., т.е. использует второе значение этого подхода.

Кроме того, деятельностная концепция УДЕ предполагает выделение действий, соответствующих предметному математическому содержанию и их последующее укрупнение на практике.

Подобное становится возможным в процессе укрупнения самих геометрических задач, поскольку сегодня их можно рассматривать не только как носителей содержания, учебной информации, но и как носителей действия. Более полно справедливость этого утверждения мы покажем в следующем параграфе нашей работы.

2.2 Обучение школьников методам решения геометрических задач в контексте деятельностной концепции УДЕ

Анализ научно-методической литературы показывает, что идея рассмотрения взаимосвязанных укрупненных задач в методике преподавания математики не нова. Примеры создания задач, объединяемых авторами в блоки, системы, совокупности и т.д., можно встретить в работах Э.Г.Готмана [8; 9], Г.В.Дорофеева [15], Т.М.Калинкиной [21; 41], Г.И.Саранцева [41; 38; 40], П.М.Эрдниева [52] и многих других. Принципы их образования у разных авторов нередко различаются. Если рассмотреть укрупненное упражнение П.М.Эрдниева – «главное оружие теории УДЕ», представляющее собой «многокомпонентное задание, образующееся из нескольких логически разнородных, но психологически состыкованных в некоторую целостность частей, например: а) решение обычной «готовой» задачи; б) составление обратной задачи и ее решение; в) составление аналогичной задачи по данной формуле (тождеству) или уравнению и решение ее; г) составление задачи по некоторым элементам, общим с исходной задачей; д) решение или составление задачи, обобщенной по тем или иным параметрам исходной задачи» [51, с.14], то нетрудно заметить, что оно также представляет собой блок взаимосвязанных задач, в котором одна задача (представленная в пункте а) является основной, а другие – ее производными, полученными на ее основе. Такой же (или похожий)  принцип составления блоков задач выделялся в диссертационном исследовании Т.М.Калинкиной [21], а работах Е.С.Канина [23] и др. Кроме него в методической литературе были определены и другие способы объединения задач в блоки. Однако независимо от того или иного способа ученые, рассматривающие такие задачи, указывали на многие их достоинства и широкие возможности применения в обучении школьников. Отмечалось, что цепочки таких задач могут объединять разделы одной учебной темы и использоваться на уроках обобщения знаний, а могут углублять изучаемые зависимости, охватывая уже несколько тем (Г.И.Саранцев). При этом их решение будет способствовать развитию у школьников интереса к геометрии (И.А.Кушнир), критичности их мышления (Т.М.Калинкина) и творческих способностей (Э.Г.Готман), формированию элементов исследовательской деятельности: умения целенаправленно наблюдать, сравнивать и обобщать, выдвигать, доказывать или опровергать гипотезу (Г.В.Токмазов) и т.д.

Как было указано в конце предыдущей главы, образование задач, взаимосвязанных между собой по линии укрупнения решения, возможно посредством использования комплекса методических приемов [46]:

1. замена требования задачи каким-либо новым требованием;
2. расширение чертежа задачи (через построение в нем новых линий);
3. обращение задач;
4. замена условия задачи каким-либо новым условием.

При этом могут быть использованы приемы обобщения задач, их конкретизаций, рассмотрение аналогов. Для демонстрации первого из этих приемов обратимся к следующему задачному блоку:

1. (№ 927 [7]). Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В – на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин треугольника АОВ, если: ОА=5, ОВ=3.
2. Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В – на положительной полуоси Оу. ОА=5, ОВ=3. Найдите координаты точек М, N, P, которые являются серединами отрезков ОА, ОВ, АВ соответственно.
3. Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В – на положительной полуоси Оу. Известно, что ОА=5, ОВ=3. Найдите периметр треугольника PМN, где точки P, М, N – середины сторон треугольника АВ, ОА, ОВ соответственно.

Задачи, составляющие этот блок, имеют одинаковые условия, но разные требования. При их решении можно выделить следующие действия, адекватные их решению:

Действия, адекватные решению задачи 1.1:

д11) Определение координат точки О как центра системы координат;

д21) Нахождение координат точки А;

д31) Нахождение координат точки В.

Действия, адекватные решению задачи 1.2:

Д12=д11д21д31;

д22, д32, д42) Нахождение координат точек M, N, P, используя формулу середины отрезка ().

Действия, адекватные решению задачи 1.3:

Д13= Д12д22д32д42;

д23, д33, д43) Нахождение длины отрезков MP, PN, MN, используя формулу расстояния между двумя точками ();

д53) Нахождение периметра треугольника MNP: PMNP=MP+PN+MN.

Итак, постановка нового требования задачи действительно дает нам возможность укрупнять действия, адекватные ее решению. Поскольку решение второй задачи включает в себя решение первой задачи (Д12=д11д21д31), а решение третьей задачи включает в себя часть решения второй задачи (Д13= Д12д22д32д42).

Между тем, процесс решения задачи есть деятельность, результат которой зависит не только от вида выполняемых действий, но и от места следования их друг за другом. Поэтому методический прием постановки нового требования задачи способствует укрупнению ее решения каким-либо методом лишь тогда, когда решение новой (укрупненной) задачи дополняет количество «старых» действий новым с обязательным сохранением последовательности их выполнения.

В то же время, указанные нами методические приемы образования блоков укрупненных задач позволяют осуществлять сочетание различных методов их решения. Для примера обратимся к следующей паре задач, одна из которых образована в результате использования приема обращения другой задачи:

2.1. В четырехугольнике АВСD, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны, проведена диагональ BD. Найдите величину угла АВС четырехугольника, если его периметр равен

84 см, АD=24 см, а периметр треугольника ABD равен 72 см.

2.2. В прямоугольнике АВСD проведена диагональ BD. Найдите периметр треугольника ABD, если периметр данного треугольника равен 84 см, AD=24 см.

Задачу 2.1 можно решить, в частности, векторным методом. Введя в обращение вектора ,  и , и, учитывая правило параллелограмма, сложения векторов, понятие их скалярного произведения, а также числовые значения данных нам в задаче величин, можно найти косинус искомого угла АСВ и его градусную меру – 90. Задачу 2.2 также можно решить с помощью векторного метода, обратившись к тем же векторам  ,  и . Кроме того, ее можно решить с использованием традиционного метода решения (применив теорему Пифагора) или координатного метода (если ввести систему координат так, чтобы ее начало совпадало с вершиной угла АВС, положительное направление оси Ох – с лучом ВА, а положительное направление оси Оу – с лучом ВС).

Таким образом, сочетая методы решения геометрических задач в процессе решения взаимно обратных из них, одна задача может быть решена с помощью одного метода, а вторая с помощью другого. Кроме него, в методической литературе можно обнаружить и другие способы интеграции методов при решении блоков укрупненных задач. А именно:

1. Сочетание элементов разных методов при решении той или иной укрупненной задачи (часть задачи решается посредством одного метода решения, а часть – посредством другого метода).
2. Решение одной и той же задачи в блоке разными методами (как самостоятельная, задача полностью решается посредством одного метода, а как часть расширенной задачи – посредством другого метода) [46].

Как показывает анализ научно-методической литературы, блоки взаимосвязанных задач не раз становились объектом исследования многих авторов, что уже было отмечено выше. Изучению подверглась и методика обучения учащихся навыкам работы с такими блоками. Так, в диссертационном исследовании Т.М.Калинкиной рассматривалась методика включения так называемых динамических задач в процесс обучения школьников геометрии. Она, по словам автора, предполагает реализацию трех основных этапов [21, с.81]:

1. «работу по готовым, составленным учителем, динамическим задачам;
2. совместную деятельность учителя и ученика по получению динамических задач;
3. организацию деятельности по самостоятельному составлению динамических задач учащимися».

Подобные этапы справедливы и для использования в учебном процессе блоков укрупненных задач.

Для примера рассмотрим более подробно, какие блоки и каким именно образом можно использовать в процессе обучения учащихся решению задач по геометрии методом, основанным на признаках равенства треугольников, начиная с этапа работы школьников с готовыми блоками задач.

Начинать реализовывать данный этап наиболее полно, на наш взгляд, можно при изучении только второго признака равенства треугольников. К моменту знакомства учащихся с первым признаком их запас теоретических знаний по геометрии настолько мал, что реальным становится составление лишь небольших и не слишком разнообразных блоков. Например:

3.1. Треугольники АВС и DBC равны. Запишите все соотношения, из которых следует равенство указанных треугольников.

3.2. Прямые AD и ВС пересекаются в точке О так, что АО=ОD, ВО=ОС. Докажите, что АВО  = DCО.

3.3. Прямые АD и ВС пересекаются в точке О, так что АО=ОD, ВО=ОС. Какое из возможных соотношений между элементами треугольников АВС и DСB следует взять, чтобы как можно проще доказать равенство этих треугольников?

3.4. В треугольниках АВС и DBC АС=ВD, ACB=DBC. Верно ли, что АВС = DBC?

Подобным образом учащимся можно предлагать и другие готовые блоки укрупнения задач. При этом за исходную задачу (или за промежуточную) возможно принять какую-либо задачу, предлагаемую в школьном учебнике. Например, используя приемы укрупнения чертежа, постановки нового требования, а также конкретизации условия задачи посредством введения новых числовых данных, можно образовать такой блок:

4.1. В треугольниках АВС и А1В1С1 медианы АМ и А1М1 равны, ВС= В1С1, АМВ=А1М1В1. Докажите, что АВС=А1В1С1 (№ 161 [7])

4.2. В треугольниках АВС и А1В1С1 медианы АМ и А1М1 равны, ВС= В1С1, АМВ=А1М1В1. На сторонах АС и А1С1 взяты точки К и К1, так что АК=А1К1. Докажите, что КВС=К1В1С1.

4.3. В треугольниках АВС и А1В1С1 медианы АМ и А1М1 равны, ВС= В1С1, АМВ=А1М1В1. На сторонах АС и А1С1 взяты точки К и К1, так что АК=А1К1. Докажите, что АВК=А1В1К1.

При изучении второго, а тем более третьего признака равенства треугольников, объем полученных учащимися знаний, умений и навыков возрастает. Вследствие этого, возможно увеличение длины задачных блоков, предназначенных для усвоения школьниками данных признаков. В каких блоках целесообразно предлагать учащимися задачи, решение которых будет способствовать формированию у них новых, ранее не выделяемых действий, адекватных методу, основанному на признаках равенства треугольников. Например, выбирать из различных соотношений между сторонами и углами треугольников такие, которые наиболее просто доказать в ситуации выбора между двумя или тремя известными школьникам признаками равенства. Тогда при изучении учащимися второго признака им могут быть предложены, в частности, задачи, образующие следующий блок:

5.1. От вершины С равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отложены равные отрезки СК и СМ на сторонах СА и СВ соответственно. Верно ли, что АКВ=ВМА?

5.2. Точки М и Н, отмеченные на боковых сторонах равнобедренного треугольника АВС, отсекают равные отрезки ВМ и ВН. Отрезки АН и МС пересекаются в точке О. Докажите, что АОВ=СОВ.

5.3. В равнобедренном треугольнике МРН с основанием МР на стороне МН отмечена точка М1, на стороне РН – точка Н1. Докажите, что МР1С=РР1С, где С – точка пересечения отрезков МН1 и РМ1, Р – точка пересечения прямых НС и НР, если М1Н=Н1Н.

5.4. На боковых сторонах равнобедренного треугольника АМС с основанием МС отложены равные отрезки АР и АВ. Точка О – точка пересечения прямых МВ и РС. Докажите, что СВМ=МНР, где Н – точка пересечения прямых АО и МС.

5.5. Треугольник АВС – равнобедренный с основанием АС. На сторонах АВ и ВС отмечены точки А1 и С1 так, что А1В=ВС1. Отрезок А1С пересекает СА1 в точке О. Докажите, что треугольник А1С1М1 равнобедренный, где М1 – точка пересечения прямых ВО и АС.

Данный блок задач можно предложить учащимся и при изучении третьего признака равенства треугольников. Поскольку, начиная с задачи 5.2, после решения почти каждой из них можно поставить перед школьниками дополнительных вопрос: «Каким еще образом может быть доказано равенство этих треугольников?» Поиск ответа на него позволяет выделять различные способы решения одной и той же задачи, причем, возможно, с использованием уже всех трех признаков равенства.

Зависимость решения одной задачи от решения другой, предполагающая последовательное укрупнение соответствующих им действий, способна значительно облегчить для школьников процесс решения каждой новой задачи, а также усвоить изучаемый теоретический материал. В одном таком блоке можно собрать задачи, осуществление решения которых будет требовать от учащихся применения достаточно большого объема геометрических знаний. То есть, решение каждой последующей задачи будет способствовать как повторению учащимися всего (или почти всего) ранее изученного материала, так и закреплению ими только что изученного. При этом новые знания школьников будут органически вплетаться в систему уже имеющихся у них знаний, способствуя их систематизации и обобщению. Решение задач из подобных блоков можно рассматривать и как осуществление пропедевтического курса к изучению школьниками нового материала. Так, решение указанного выше блока задач 4.1 – 4.3 может быть использовано как мотивационный этап для показа школьникам необходимости изучения второго признака равенства треугольников, если к нему добавить, к примеру, следующие задачи:

4.4. В треугольниках АВС и А1В1С1 медианы АМ и А1М1 равны, ВС=В1С1, АМВ=А1М1В1. На сторонах АС и А1С1 взяты точки К и К1 так, что АК=АК1. Докажите, что АОВ=А1О1В1, где О, О1 – точки пересечения медиан АМ, А1М и ВК, В1К1 соответственно.

4.5. В равносторонних треугольниках АВС и А1В1С1 медианы АМ и А1М1 равны, ВС=В1С1, АМВ=А1М1В1. На сторонах АС и А1С1 взяты точки К и К1 так, что АК=АК1. Найдите периметр  А1О1В1, если АО=5 см, В1О1=8 см, периметр АВС=56 см.

Задача 4.4 расширяет задачу 4.2, а задачу 4.5 легко решить на основе решения задачи 4.3. Однако для решения обеих этих задач (4 и 5) от учащихся требуется знание уже второго признака равенства треугольников.

Готовые блоки геометрических задач также можно предлагать учащимся для домашней работы, или в качестве учебного материала для традиционных самостоятельных и контрольных работ, проведение которых сегодня остается основным способом контроля за уровнем знаний и умений учащихся.

Варианты проведения таких самостоятельных и контрольных работ представлены в работе И.В.Ульяновой [47].

На следующем уроке после проведения подобной самостоятельно-контрольной работы, когда, как правило, анализируются допущенные ошибки, целесообразно проводить более полный анализ решения каждой задачи с выделением всех адекватных ему действий. Это позволяет школьникам лучше усвоить использованный метод решения. При этом ученики должны непрерывно сравнивать выполнение решения задач, находя для каждой из них опорную, и выясняя, каким именно образом из нее получена новая, расширенная задача (в чем заключаются сходства и различия между условиями этих задач, их требованиями, как взаимосвязаны между собой соответствующие им чертежи и т.д.) Подобный анализ необходимо осуществлять и при проверке домашней работы или в ходе решения классных задач. Он эффективно способствует развитию у учащихся таких умственных операций, как анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия и т.д. Кроме того, он позволяет школьникам плавно перейти от решения задачных блоков, составленных кем-то и предложенных им в готовом виде, к процессу их составления (сначала под руководством учителя, затем самостоятельно). Так как в этом случае ученикам нетрудно выявить основные приемы составления таких блоков.

Однако более подобно особенности реализации этой работы мы покажем в следующем параграфе нашей  работы на примере процесса формирования у учащихся математических понятий в контексте деятельностной концепции УДЕ.

2.3 Формирование математических понятий в контексте УДЕ

Методика формирования математических понятий в целом предполагает последовательное осуществление нескольких этапов: мотивация введения понятия, выделение существенных свойств понятия, усвоение логической структуры определения понятия, применение понятия, установление связей изучаемого понятия с другими понятиями. Каждый из этих этапов может быть реализован посредством использования на уроках специальных упражнений на применение изученных понятий и теорем, на составление родословной понятия в различных ситуациях и др. [39].

В качестве учебного материала для таких упражнений можно использовать и блоки укрупненных задач, т.е., как отмечалось выше, конструкции, содержащие две или более задачи, взаимосвязанные между собой в контексте деятельности по их решению (т.е. при условии реализации линии укрупнения этих решений посредством выполнения нескольких новых действий).

Рассмотрим данный аспект образования блоков, например, применительно к поэтапному формированию понятия «Параллельные прямые».

1. Этап мотивации введения понятия.

Сущность этого этапа заключается в подчеркивании важности изучения понятия, в побуждении школьников к целенаправленной и активной деятельности, в возбуждении интереса к изучению понятия. Мотивация может осуществляться как посредством привлечения средств нематематического содержания, так и в ходе выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории.

Мотивация введения понятия «параллельные прямые» может осуществляться путем приведения примеров из практики: строительство железной дороги на прямых участках пути (укладка рельсов); контуры проема двери; переплеты оконных рам; противоположные края листа бумаги, тетради, стола и др. Кроме того, вводить изучаемое понятие можно в процессе решения блока укрупненных задач, как было показано, например, при изучении второго признака равенства треугольников в п.2.2. Здесь решение указанного блока задач 4.1-4.3 может быть использовано как мотивационный этап для показа школьникам необходимости изучения второго признака равенства треугольников, если к нему добавить задачи 4.4-4.5. Мотивировать введение понятия можно и с помощью одной задачи. Такой задачей для «параллельных прямых» может быть, в частности, задача, чертеж которой наглядно позволяет увидеть учащимся различные виды расположения прямых, через визуальное сравнение которых параллельные прямые можно определить как прямые, не имеющие ни одной общей точки. Так, задача 1 ставит перед учащимися проблему, связанную, как раз, с описанием незнакомого пока для них расположения прямых m и l.

1. Прямые а и b пересекаются в точке С. Прямая m пересекается с прямыми а и b в точках А и В соответственно. Точка К – середина АС, Р – середина ВС. Через точки проходит прямая l. Выясните взаимное расположение прямых а, b, m, l.

2. Этап выделения существенных свойств понятия.

Данный этап реализуется посредством упражнений, основное назначение которых заключается в выделении существенных свойств изучаемого понятия и акцентировании на них внимания учащихся. Ознакомление с существенными свойствами понятия «параллельные прямые» может быть осуществлено в процессе выполнения упражнений на построение прямых, и, в частности таких, которые не имеют общих точек. Для полного установления содержания изучаемого понятия учащимся могут быть предложены следующие задачи:

2.1. На рис. 3 изображены пары прямых. Какие из прямых обладают общим свойством?

а

b

 a           b                                       a         b                                                      a          b

        а)        б)        в)        г)

           b        a

                            O        

         a        O        b

        д)         е)

Рисунок 3.

По мере выполнения данной задачи учащиеся постепенно подводятся к тому, что некоторые пары прямых обладают свойством, заключающемся в наличии общей точки, тогда как другие пары прямых вообще могут не иметь общих точек, т.е. они могут не пересекаться.

Между тем, в зависимости от того, по какому учебнику занимаются школьники, изучаемое понятие можно формировать на основе интеграции алгебраического и геометрического материала, при этом подразумевать сочетание используемых в данных разделах методов или слияние их в одном методе. Тогда формирование понятий на такой основе приводит к интеграции алгебраических и геометрических действий, адекватных данному понятию, и раскрывает тем самым содержание перечисленных этапов введения понятия.

Например, если учащиеся занимаются по учебнику Ю.Н.Макарычева «Алгебра 7», то на этапе выделения в геометрии существенных свойств понятия «параллельных прямых» учащиеся уже знают, что на языке алгебры каждая прямая задается формулой вида: у=kх+b или х=а (если она параллельна оси Оу). Кроме того, школьникам известно, что графики двух линейных функций, заданных формулами (две прямые), параллельны, если коэффициенты при х в соответствующих формулах одинаковы или прямые заданы формулами х=а и х=b. Это позволяет предложить учащимся следующий блок задач, а именно 2.2-2.3.

2.2. На рис. 4. изображены прямые. Написать уравнение данных прямых.

                            у                                                 у                     m

                                      а              b                            3                                  l

                                                                                    2

                                  2                        

                                                                                    1

                     -1       0     1                  x                       0     1         2                    x

                            y                                                  y

                  k                     q                              n                     p

                                2                                                  2

                                1                                                  1

           -2     -1         0      1       2          x                     0     1    2                         x

Рисунок 4.

2.3. Даны три прямые, заданные уравнениями: у=2х+3, у=2х-4, у+х=1. Выясните взаимное расположение этих прямых.

3. Установление логической структуры определение понятия.

На данном этапе возможно осуществление учащимися различных творческих заданий, предполагающих их самостоятельное (или под руководством учителя) конструирование задач, в процессе решения которых должны уточняться объем и содержание понятия «Параллельные прямые». К ним относятся упражнения:

а) на распознавание параллельных прямых (подведение объекта под понятие);

б) на выведение следствий из факта принадлежности данных пар прямых к параллельным прямым (формулировка признаков);

в) комбинированные.

3.1. (№ 187 [7]). По данным рисунка 5 докажите, что АВ  DЕ.

                              B

               А                               С                  Е

                                                                        D

Рисунок 5.

3.2. Выделите на рисунке 6 параллельные прямые.

                             l

        p

       q

             n                       a               b                                          m

Рисунок 6.

В задачах 3.3 и 3.4 представлена интегративная связь алгебры и геометрии.

3.3. По данным рисунка 6 запишите уравнения прямых р, q, l, a, b, если прямые m, n заданы уравнением у=-2х+3, у=3х+4 соответственно.

3.4. Назовите линейные функции, графики которых параллельны:

4. Применение понятия

На этом этапе прежде всего продолжается изучение учащимися свойств и признаков понятия, а также происходит более широкое использование этих свойств и признаков на практике. На данном этапе учащиеся овладевают умениями переходить от понятия к его существенным свойствам и обратно, переосмысливать объекты с точки зрения других понятий. На этом этапе важно использование блоков задач, объединенных какой-либо общей идеей. Например:

4.1. (№ 186, [7]). На рисунке 7 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что аb, если 1=45, а угол 7 в три раза больше угла 3.

                                   1        2                                             a

                                           4        3

                                                          8          5                     b

                                                                   7         6

                                                                                      c

Рисунок 7.

4.2. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АВ и ВD параллельны.

4.3. Прямые АВ и CD пересекаются в их общей середине. На прямых АС и ВD взяты точки М и N так, что АМ=МС, DN=NB, точки М, N, О лежат на одной прямой. Докажите, что МСО=NDO, АМО=ВNO.

Использовав идею интеграции, учащимся можно предложить и следующую задачу.

4.4. Отрезки АВ и СD пересекаются в их общей середине, прямые АС и BD параллельны. Какие из следующих систем уравнений определяют расположение прямых АС и BD, AB и CD.

5. Установление связей изучаемого понятия с другими понятиями.

На данном этапе выясняется место данного понятия в системе других понятий. Следовательно, учащимся предлагается следующий блок задач:

5.1. В треугольнике АВС угол А равен 40, а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен 80. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельная прямой АВ.

5.2. В треугольнике АВС А=40, В=70. Через вершину В проведена прямая ВD так, что луч ВС – биссектриса угла АВD. Докажите, что АС ВD.

5.3. В треугольнике АВС А=40, В=70. Через вершину В проведена прямая ВD так, что луч ВС – биссектриса угла АВD. Прямая АВ продлена за точку В. Точки А, В, L лежат на одной прямой так, что АВ=ВL, прямая mВС, mВD=D. Докажите, что АВС=ВLD.

5.4. Постройте четырехугольник BCDL, BC=DL, В=110, С=70. Верно ли, что CDBL? Измерьте С и D четырехугольника.

Решение задачи 5.4. является пропедевтикой последующих тем курса геометрии, предполагающих изучение четырехугольников и их свойств.

В то же время, используя подобные блоки, можно формировать у учащихся не только геометрические понятия, но и алгебраические. Например, понятие линейной функции. Усвоение раздела «Линейная функция» предполагает овладение следующими действиями:

1. распознавание линейных функций;
2. выведение следствий из факта принадлежности функции к классу линейных;
3. построение графика линейной функции (по точкам, по двум точкам, с помощью параллельного переноса);
4. нахождение по заданному значению х соответствующего значения у и обратно;
5. нахождение по заданному изменению значения х соответствующего изменения значения у и обратно;
6. определение расположения графика в зависимости от коэффициентов;
7. по формуле, задающей функцию, описывать расположение графика этой функции и обратно.

Для формирования каждого из этих действий учащимся также можно предлагать блоки укрупненных задач. Например, на этапе формирования третьего действия можно использовать следующий блок.

6.1. Постройте графики функций: y=х-2, у=-3х+1, у=-3х+4, у=х+2,5, у=2х+3, у=-3х+3.

6.2. Как расположены графики функций у=-3х+1 и у=-3х+4 относительно друг друга. Чем обусловлено различие в расположении графиков?

6.3. В одной и той же системе координат постройте графики функций у=2х+3, у=-3х+3. Чем обусловлено сходство и различие этих графиков?

При этом формирование понятия «линейная функция» также можно осуществлять на основе интеграции алгебраического и геометрического методов решения. Например, посредством включения в данный блок 6.1-6.3 задачи 6.4:

6.4. На рисунке 8 изображены пары параллельных прямых. Запишите формулой функцию, график которой – прямая, проходящая через:

1) начало координат на рисунке 8,а;

2) точку с координатами (0,3) на рисунке 8,б.

          у                                                          у

                3                                                          3

                2                                                          2

                1                                                          1

-3    -2     -1        0    1                    х                              0    1      2     3           х

                           а)                                                              б)

Рисунок 8.

Между тем, хотелось бы отметить ряд особенностей формирования понятий посредством использования блоков задач:

1. Процесс формирования понятий является динамичным процессом. В зависимости от опыта учащихся, конкретного содержания понятий и т.д. внимание к тем или иным этапам формирования может быть различным, некоторые из них вовсе могут отсутствовать. Поэтому в дипломной работе мы обратились не ко всем выделяемым в методической литературе этапам, а лишь к наиболее важным из них.

2. Для достижения цели каждого этапа, в качестве специальных упражнений наряду с отдельными задачами могут использоваться и блоки задач, взаимосвязанных между собой по линии решений. Это, в частности, позволяет избежать вероятной трудности решения урочных задач (так как предшествующие задачи в блоке фактически указывают один из алгоритмов решения последующих), способной значительно осложнить усвоение нового материала. Однако в случае необходимости такой блок можно «разбавлять» задачами, связанными с любой из его составляющих только по линии содержаний или каким-либо другим образом (темой урока, методом решения и т.д.), а также сочетать с использованием традиционных средств наглядности – схем, таблиц, моделей и т.д.

3. Блок, используемый для достижения цели конкретного этапа, по возможности должен создавать основу для реализации последующего этапа, способствуя целостности всего процесса формирования понятия. Сделать это с использованием разрозненных задач более проблематично.

4. Соответствие между выделяемыми этапами (Э) и уроками (У) устанавливается в зависимости от степени усвоения учащимися учебного материала, например, Э2–У2 или Э2–У2, У3. Это накладывает свой отпечаток и на длину используемого блока, а также варианты его сочетания на уроке с другими упражнениями.

В то же время, использование на уроках блоков задач также позволяет формировать у учащихся понимание единства курса геометрии. Кроме того, посредством решения таких блоков можно подводить учащихся к изучению новых тем раздела, самостоятельному выделению ими его теорем и свойств вводимых понятий, одновременно формируя у них навыки решения математических задач (различными способами).

Такие блоки эффективно способствуют и реализации дидактических функций обучения, позволяя, к примеру:

• воспитывать у учащихся устойчивый интерес к изучению математики;
• воспитывать качества мышления, характерные для творческой математической деятельности;
• развивать у школьников многие умственные операции – анализ, синтез, сравнение и т.д.;
• формировать у школьников познавательную активность и интерес к изучаемому предмету;
• обобщать и систематизировать знания учащихся;
• развивать речь обучаемых, их память, воображение, интуицию, вариативность и логику мышления и т.д.;

При этом использование блоков укрупненных задач на уроках геометрии в любой форме (в форме предлагаемых учащимся готовых блоков; в форме упражнений, требующих от школьников продолжения предлагаемых им блоков или составления новых блоков, в том числе и на основе готовых чертежей, и т.д.) способствует повышению эффективности процесса обучения учащихся решению геометрических задач.

Но кроме этого, оно способствует и всестороннему развитию школьников, активизируя их мыслительную деятельность, воспитывая в них многие положительные личностные качества, систематизируя и обобщая их знания, умения и навыки и т.д. Ибо процессы обучения учащихся и их развития, естественно, взаимосвязаны между собой: необходимо обучать, развивая, и развивать, обучая. Таким образом, повышается эффективность процесса обучения учащихся в целом.

Выводы по  главе 2

1. В ходе исследования научной литературы было выявлено, что большинство ученых, исследующих процесс обучения, считают деятельностный подход связующим звеном структурных единиц социального заказа школе. Поскольку этот подход успешно осуществляет взаимодействие между общественными целями обучения, содержанием образования как целью обучения, мотивами учения, механизмом и результатом усвоения учебного материала. Ученые сходятся к единому мнению о том, что деятельностный подход составляет основу познавательной деятельности учащихся и самого процесса обучения. Однако каждый из них рассматривает сущность данного подхода по-своему. На основе проведенного нами исследования можно отметить, что сегодня в практике обучения деятельностный подход возможно использовать в следующих основных вариантах понимания:

1. введение учащихся в круг учебных задач (ситуаций, требующих ориентации на общий способ разрешения) и решения их посредством учебных действий и действий контроля и самоконтроля (А.К.Артемов и др.);
2. соотнесение с обучением школьников способов рассуждений, самостоятельного открытия ими фактов, их доказательств, решений задач и т.д. (А.А.Столяр и др.);
3. выделение совокупности действий, адекватных предметному содержанию (Г.И.Саранцев и др.);
4. реализация деятельностной природы знаний (О.Б.Епишева, В.И.Крупич, Г.И.Саранцев и др.).

Обучение школьников математике в контексте УДЕ так или иначе всегда предполагает реализацию деятельностного подхода, причем во всех возможных вариантах его понимания. Особенно наглядной эта реализация становится в ходе использования деятельностной концепции УДЕ, при обучении школьников методам решения математических задач, при формировании у них понятий и т.д.

2. Обучение школьников методам решения геометрических задач в контексте деятельностной концепции УДЕ осуществляется посредством включения в учебный процесс блоков укрупненных задач по геометрии. Использование в учебном процессе подобных блоков предполагает реализацию трех таких этапов как: работа учащихся с готовыми блоками и их составление школьниками под руководством учителя и самостоятельно. На каждом из данных этапов возможно применение различных видов упражнений, позволяющих не только организовать усвоение учащимися отдельных методов решений входящих в блок задач, но и осуществлять интеграцию этих методов в соответствии со следующими основными способами:

а) сочетание различных методов при решении взаимно обратных задач;

б) сочетание элементов разных методов при решении той или иной укрупненной задачи;

в) решение одной и той же задачи в блоке разными методами.

Формирование математических понятий в контексте УДЕ также предполагает использование блоков укрупненных задач. Особенности данного процесса были показаны в работе на примере формирования у учащихся понятия «параллельных прямых», для каждого из основных этапов которого нами были разработаны блоки укрупненных задач. При этом было отмечено, что изучать данное понятие возможно на основе интеграции алгебраического и геометрического материала, что способствует формированию у учащихся целостности школьного курса математики.

Заключение

Проведенное нами данное педагогическое исследование посвящено исследованию взаимосвязи деятельностного подхода и проблемы укрупнения дидактических единиц (УДЕ) в процессе обучения математике 7-9 классов.

В процессе решения поставленных в исследовании задач нами были получены следующие основные выводы и результаты:

1. Анализ научной литературы показал, что различные аспекты проблемы укрупнения дидактических единиц получили широкое распространение во многих научных областях: психологии, педагогике, дидактике. Однако четкое ее осознание как методической проблемы произошло, начиная с 60-х годов прошлого столетия, в работах методиста математика П.М.Эрдниева, где она разрабатывалась для повышения эффективности процесса обучения учащихся начальной школы содержанию учебного предмета «Математика».

2. Согласно взглядам П.М.Эрдниева, теория укрупнения дидактических единиц представляет собой теорию крупноблочного построения программного материала. Ее центральной мыслью явилось положение о необходимости осуществления укрупненного подхода к содержанию учебного материала, предполагающего совместное рассмотрение, в связях и переходах, целостных групп родственных (взаимосвязанных) единиц этого содержания, или, другими словами, рассмотрение таких единиц крупными блоками. Применение теории УДЕ в процессе обучения школьников по П.М.Эрдниеву предполагает использование комплекса методических приемов, включающих в себя:

1. совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций, теорем и т.п. (в частности, взаимно обратных);
2. широкое использование метода обратных задач;
3. обращение структуры упражнений;
4. применение в процессе обучения деформированных упражнений;
5. освоение и составление учениками граф-схем суждений и доказательств;
6. матричная (табличная) фиксация учебной информации;
7. усиление удельного веса творческих заданий.

3. Многочисленные исследования в дидактике и предметных методиках (С.В.Алещенко, А.К.Артемов, П.Д.Васильева, Г.И.Саранцев и др.) обеспечили дальнейшее развитие теории УДЕ. Отдельные ее приемы получили одобрение в практике изучения различных учебных дисциплин, а также для обучения учащихся различных возрастных групп: средних и старших классов, студентов вузов, и даже детей дошкольного возраста и аспирантов. Кроме того, некоторые попытки модернизаций в теории УДЕ, привели и к другим направлениям ее совершенствования, связанных с изменениями в области математики или в области усиления межпредметных связей между учебными дисциплинами. Одним из последних таких нововведений является разработка так называемой деятельностной концепции УДЕ в работах Г.И.Саранцева и И.В.Ульяновой.

4. Деятельностная концепция УДЕ в качестве дидактической единицы предполагает выделение действия как основного компонента предметного математического содержания. Способами укрупнения действий являются:

1. выполнение исходного действия одновременно с обратным ему действием или противоположным ему, или аналогичным;
2. усложнение условий выполнения исходного действия;
3. добавление к исходному действию нового действия, опирающегося на уже достигнутый результат.

Практическим средством реализации деятельностной концепции, позволяющим укрупнять подобные действия, выступают блоки укрупненных задач, принципом образования которых служит положение о том, что решение каждой последующей задачи содержит в себе часть решение предыдущей задачи.

Методическими приемами образования блоков укрупненных задач выступают:

1. замена требования задачи каким-либо новым требованием;
2. расширение чертежа задачи (через построение в нем дополнительных линий);
3. обращение задач;
4. замена условия задачи каким-либо новым условием.

При этом могут быть использованы приемы обобщения задач, их конкретизаций, рассмотрения аналогов.

5. В ходе исследования научной литературы было выявлено, что большинство ученых, исследующих процесс обучения, считают деятельностный подход связующим звеном структурных единиц социального заказа школе. Однако каждый из них рассматривает сущность данного подхода по-своему. На основе проведенного нами исследования можно отметить, что сегодня в практике обучения деятельностный подход возможно использовать в следующих основных вариантах понимания:

1. введение учащихся в круг учебных задач (ситуаций, требующих ориентации на общий способ разрешения) и решения их посредством учебных действий и действий контроля и самоконтроля (А.К.Артемов и др.);
2. соотнесение с обучением школьников способов рассуждений, самостоятельного открытия ими фактов, их доказательств, решений задач и т.д. (А.А.Столяр и др.);
3. выделение совокупности действий, адекватных предметному содержанию (Г.И.Саранцев и др.);
4. реализация деятельностной природы знаний (О.Б.Епишева, В.И.Крупич, Г.И.Саранцев и др.).

Обучение школьников математике в контексте УДЕ так или иначе всегда предполагает реализацию деятельностного подхода, причем во всех возможных вариантах его понимания. Особенно наглядной эта реализация становится в ходе использования деятельностной концепции УДЕ, при обучении школьников методам решения математических задач, при формировании у них понятий и т.д.

6. Обучение школьников методам решения геометрических задач в контексте деятельностной концепции УДЕ осуществляется посредством включения в учебный процесс блоков укрупненных задач по геометрии. Использование в учебном процессе подобных блоков предполагает реализацию трех таких этапов как: работа учащихся с готовыми блоками и их составление школьниками под руководством учителя и самостоятельно. На каждом из данных этапов возможно применение различных видов упражнений, позволяющих не только организовать усвоение учащимися отдельных методов решений входящих в блок задач, но и осуществлять интеграцию этих методов в соответствии со следующими основными способами:

а) сочетание различных методов при решении взаимно обратных задач;

б) сочетание элементов разных методов при решении той или иной укрупненной задачи;

в) решение одной и той же задачи в блоке разными методами.

Формирование математических понятий в контексте УДЕ также предполагает использование блоков укрупненных задач. Особенности данного процесса были показаны в работе на примере формирования у учащихся понятия «параллельных прямых», для каждого из основных этапов которого нами были разработаны блоки укрупненных задач. При этом было отмечено, что изучать данное понятие возможно на основе интеграции алгебраического и геометрического материала, что способствует формированию у учащихся целостности школьного курса математики.

Список использованной литературы

1. Артемов А.К. Развивающее обучение математике в начальных классах: Учебное пособие для учителей и студентов факультета педагогики и методики начального обучения. – Самара: Самар. гос. пед. ун-т, 1995. – 119с.
2. Атрощенко С.А. Теория и методика обучения студентов педвуза методам изображений геометрических фигур в контексте укрупнения дидактических единиц: Дис… канд.пед.наук. – Саранск, 1998. – 184 с.
3. Большая Советская Энциклопедия. В 30 т. 3-е изд. – М.: Советская Энциклопедия, 1972.
4. Буева Л.П. Человек: деятельность и общение. – М.: Мысль, 1978. – 216 с.
5. Бугаев А.И., Сорокина Н.Г., Сущенко С.С. Опорный конспект как одно из средств обучения физике // Физика в школе. – 1979. – № 6. – С.27-28.
6. Выготский Л.С. Собрание сочинений. В 6 т. Т.2. Проблемы общей психологии / Под ред. В.В. Давыдова. – М.: Педагогика, 1982. – 504 с.
7. Геометрия: Учеб.для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Кадомцев и др. 6-е изд. – М.: Просвещение, 1996. – 366с.
8. Готман Э.Г. Вариации задачи о квадрате и вписанной в него треугольнике // Математика в школе. – 1991. – № 1. – С.26-28.
9. Готман Э.Г. Геометрические задачи, решаемые с помощью поворота // Математика в школе. – 1989. – № 3. – С.108-114.
10. Далингер В.А. Об аналогиях в планиметрии и стереометрии // Математика в школе. – 1995. – № 6. – С.16-21.
11. Даммер М.Д. Приемы систематизации знаний учащихся // Физика в школе. – 1989. – № 6. – С.69-72.
12. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. – М.: ИНТОР, 1996. – 544с.
13. Деятельностный подход и педагогика сотрудничества в процессе преподавания естественно-математических дисциплин: Тезисы докладов на межвузовской научно-практической конференции. – Благовещенск, 1997. – 80 с.
14. Деятельность: теории, методология, проблемы. – М.: Политиздат, 1990. – 368 с.
15. Дорофеев Г.В О составлении циклов взаимосвязанных задач // Математика в школе. – 1983. – № 6. – С.34-39.
16. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. – Тобольск: Тобольск. гос.пед. ин-т, 1997. – 191 с.
17. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учит. – М.: Просвещение, 1990. – 128 с.
18. Загвязинский В.И. Методология и методика дидактического исследования. – М.: Педагогика, 1982. – 160 с.
19. Зинченко Л.Я. О целях и ценностях образования // Педагогика. – 1997. – №5. – С.3-6.
20. Зорина Л.Я. Слово учителя в учебном процессе. – М.: Знание, 1984. – 80с.
21. Калинкина Т.М. Динамические задачи как средство совершенствования процесса обучения геометрии в средней школе: Дис…канд. пед. наук. – Саранск, 1995. – 170 с.
22. Канин Е.С., Нагибин Ф.Ф. Заключительный этап решения учебных задач / Преподавание алгебры и геометрии в школе: Пособие для учителей. – М. Просвещение, 1982. – С.131-138.
23. Канин Е.С. Развитие темы задачи // Математика в школе. – 1991. – № 3. – С.8-12.
24. Коджаспирова Г.М., Коджаспиров А.Ю. Педагогический словарь. – М., 2001.
25. Краткий словарь по логике / Под ред. Д.П.Горского. – М.: Просвещение, 1991. – 208 с.
26. Кушнир И.А. Воспитание творческой активности учащихся на уроках повторения геометрии // Математика в школе. – 1991. – № 1. – С.12-16.
27. Кушнир И.А. Координатный и векторный методы решения задач. – Киев: Астарта, 1996. – 414 с.
28. Левитас Г.Г. Фузионизм в школьной геометрии // Математика в школе. – 1995. – № 6. – С.21-26.
29. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. 2-е изд. – М.: Политиздат, 1977. – 304 с.
30. Логика: Учеб.пособие / В.Ф. Берков, Я.С.Яскевич, В.И.Павлюкевич. – С.: НТОО «Тетра Системс», 1997. – 416 с.
31. Мартынова О.А. Из опыта обучения по системам УДЕ // Начальная школа. – 1993. – № 4. – С.29-31.
32. Педагогика. Педагогические теории, системы, технологии / Под.ред. С.А.Смирнова. – М., 2001.
33. Пойа Д. Как решать задачу. – М.: Учпедгиз, 1961. – 208 с.
34. Ржецкий Н.Н. Деятельностный подход в дидактике // Советская педагогика. – 1983. – № 5. – С.79-81.
35. Ридная Т.В. Обучение математике крупными блоками с помощью опорных конспектов / Начальная школа УДЕ (укрупнения дидактических единиц): Материалы IX международной научно-практической конференции по УДЕ. Ч.1. – Элиста, 2001. – С.133-137.
36. Российская педагогическая энциклопедия. В 2 т. – М.: Большая Российская Энциклопедия, 1999.
37. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии. В 2 т. Т.1. – М.: педагогика, 1982. – 485 с.
38. Саранцев Г.И. Методика обучения математике: учеб.пособие для ст-тов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.
39. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математики. – Саранск: Красный Октябрь, 2001. – 143 с.
40. Саранцев Г.И. Составление геометрических задач на заданных чертежах // Математика в школе. – 1993. – № 6. – С.14-16.
41. Саранцев Г.И., Калинкина Т.М. Методы научного познания как средство упорядочения геометрических задач // Математика в школе. – 1994. – № 6. – С.2-4.
42. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: учеб.пособие. – М.: Народное образование, 1998. – 256 с. // Школьные технологии. – 1998. – № 2.
43. Столяр А.А. Роль математики в гуманизации образования // Математика в школе. – 1990. – № 6. – С.5-7.
44. Талызина Н.Ф. Деятельностный подход к изучению и программированное обучение / Психологические основы программированного общения. – М.: МГУ, 1984. – С.187-199.
45. Талызина Н.Ф. Теоретические проблемы программированного обучения. – М.: МГУ, 1969. – 134 с.
46. Ульянова И.В. Обучение школьников методам решения геометрических задач в контексте укрупнения дидактических единиц: Дис…канд. пед. наук. – Саранск, 2002. – 182 с.
47. Ульянова И.В. Учебный контроль по геометрии в контексте УДЕ / Гуманизация математического образования в школе и вузе. Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 2. / Поволжск. отд. РАО СВ МО. Морд.гос.пед. ин-т. – Саранск, 2002. – С.93-97.
48. Швырев В.С. Научное познание как деятельность. – М.: Политиздат, 1984. – 232 с.
49. Эрдниев П.М. Укрупнение дидактических единиц как технология обучения. В 2 ч. Ч. I и II. – М.: Просвещение, 1992. – 175 с.
50. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Системность знаний и укрупнения дидактической единицы // Советская педагогика. – 1975. – № 7. – С.72-80.
51. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в математике: кн. для учит. – М.: Просвещение, 1986. – 255 с.
52. Эрдниев П.М., Громов В.И., Басангова Р.Б., Эрдниев Б.П. О постановке в университетах спецкурса по содержанию школьных учебников // Математика в школе. – 1981. – № 5. – С.34-36.
53. Юдин Э.Г. Системный подход и принципы деятельности: Методологические проблемы современной науки. – М.: Наука, 1978. – 392с.
54. Юртаева Г.Т. Векторно-координатный метод при решении планиметрических задач / Технические и естественные науки: проблемы, теория, практика: Межвуз. сб. науч. тр. / СВМО. – Саранск, 2000. – С.184-189.