Алгебра высказываний (логики)
план-конспект по информатике и икт на тему

Основные законы логики

Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления.

В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют

проводить эквивалентные преобразования логических выражений в соответствие с

законами логики.

1. Закон тождества.

Всякое высказывание тождественно самому себе:

А = А

2. Закон непротиворечия.

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если

высказывание А - истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно,

логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно:

A & ¬A = 0

3. Закон исключенного третьего.

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это

означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда

принимает значение истина:

A + ¬A = 1

4. Закон двойного отрицания.

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим

исходное высказывание:

¬ ¬A = A

5. Теоремы Булевой алгебры.

1. ¬ ¬х = х

2. х + 0 = х

3. х + 1 = 1

4. х * 1 = х

5. х * 0 = 0

6. х + х = х

7. х * х = х

8. х + х * у = х

9. х * (х+у) = x

10. х + (¬х * у) = х + у

11. х * (¬х + у) = х * у

Правило коммутативности. В обычной алгебре слагаемые и множители можно

менять местами. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные

при операциях логического умножения и логического сложения:

12. х + у = у + х

13. х * у = у * х

Правило ассоциативности. Если в логическом выражении используются только

операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно

пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:

14. х + у + а = (х + у) + а = х + (у + а)

15. х * у * а = (х * у) *а = х * (у * а)

Правило дистрибутивности. В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно

выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки

как общие множители, так и общие слагаемые:

16. х * (у + а) = х * у + х * а

17. х + у * а = (х + у) * (х + а)

Законы де Моргана. Отрицание логической суммы равно логическому произведению

отрицаний и отрицание логического произведения равно логической сумме отрицаний:

18. ¬(x + y)= ¬x * ¬y

19. ¬(x * y)= ¬x + ¬y

Базовые логические элементы "И", "ИЛИ", "НЕ"

Основой цифровой электроники являются логические элементы. На их основе состоят различные триггеры, дешифраторы, счётчики и т.д. Вот, к примеру, говорят же в процессоре миллионы транзисторов, но как их так собрали, ничего не перепутав и всё упорядочив? Из транзисторов собраны логические элементы, из логических элементов собраны различные счётчики, дешифраторы, триггеры, а из триггеров ОЗУ память и т.д., а всё вместе в сборе получается, процессор.

 Логический элемент компьютера — это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию. Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и др. (называемые также вентилями), а также триггер. С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. 
Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности. 

Зная, как работают логические элементы, можно понять, как работают и все остальные цифровые микросхемы и научиться составлять самому схемы.

Схема НЕ (инвертор) реализует инверсию (логическое отрицание)

Схема И реализует конъюнкцию (логическое умножение)

           Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию (логическое сложение) 

Пример применения логических элементов
RS-триггер

--------------------------------------------