Понятие об алгебре высказываний
презентация к уроку по информатике и икт (10 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII веке немецкий математик Готфрид Лейбниц. Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и суждению можно было бы дать числовую характеристику и установить правила оперирования этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное высказывание или ложно. То есть он предполагал, что споры между людьми можно будет разрешать посредством вычислений.

Слайд 3

Прогресс науки, называемой математической логикой , был достигнут в середине XIX века благодаря труду английского ученого Джорджа Буля. В трудах Дж. Буля и О. де Моргана математическая логика представлена как своеобразная алгебра – алгебра высказываний.

Слайд 4

Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Слайд 5

Под высказыванием будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. Обозначать высказывания будем прописными буквами. Например: Х = Число 12345 кратно 3. Если высказывание А истинное, то будем писать «А=1». Если высказывание А ложно, то будем писать «А=0».

Слайд 6

Примеры: А = Солнце светит для всех В = Все ученики любят информатику С = Некоторые ученики любят информатику Д = А ты любишь информатику? Е = Посмотри в окно Ж = (х*х < 0) З = 2*х-5 > 0 = 1 = 0 = 1 = 0 н е является высказыванием н е является высказыванием н е является высказыванием И = Крокодилы летают очень низко высказывание

Слайд 7

Последний пример показывает, что истинность или ложность высказывания необязательно должна определяться здравым смыслом. Вопрос о том, летают или не летают крокодилы, может волновать зоологов, но никак не логиков, так как им этот потрясающий факт безразличен.

Слайд 8

Логические операции Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных выражений.

Слайд 9

Логическое отрицание (инверсия) Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что…» Высказывание А Значение высказывания А Инверсия высказывания А Значение инверсии высказывания А У меня есть приставка Dendy 0 У меня нет приставки Dendy 1 Я не знаю китайского языка 1 Неверно, что я не знаю китайского языка 0

Слайд 10

Обозначение: Обозначение инверсии: НЕ А,  А, А Таблица истинности: А А 0 1 1 0 Графическое изображение: А А

Слайд 11

Примечание Дважды или четырежды отрицающееся высказывание имеет то же самое значение истинности, что и исходное высказывание, трижды отрицающееся – что и отрицающееся один р аз. Высказывание А = Неверно, что математика не царица наук имеет то же значение истинности, что и высказывание В = Математика – царица наук.

Слайд 12

Инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.

Слайд 13

Логическое умножение (конъюнкция) Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и». Пример. Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и одна из них или не быть ни одной. Обозначим высказывания: А = На автостоянке стоит «Мерседес» В = На автостоянке стоят «Жигули» (А конъюнкция В) = На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули».

Слайд 14

Обозначение: А И В; А ^В; А & В; А*В; А and В. Таблица истинности: А В А &В 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Графическое обозначение: А – множество отличников в классе В – множество спортсменов в классе А &В – множество отличников, занимающихся спортом

Слайд 15

Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.

Слайд 16

Логическое сложение (дизъюнкция) Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или». Пример. Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и одна из них или не быть ни одной. Обозначим высказывания: А = На автостоянке стоит «Мерседес» В = На автостоянке стоят «Жигули» (А дизъюнкция В) = На автостоянке стоят «Мерседес» или «Жигули».

Слайд 17

Обозначение: А или В; А or В; А V В; А I В; А + В. Таблица истинности: А В А V В 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Графическое обозначение: А – множество отличников в классе В – множество спортсменов в классе А V В – множество учеников класса, которые являются отличниками или спортсменами

Слайд 18

Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.

Слайд 19

Логическое следование (импликация) Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…». Примеры. Е = Если клятва дана, то она должна выполняться. Р = Если число делится на 9, то оно делится на 3. В логике допустимо рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания. С = Если коровы летают, то 2 + 2 = 5 Х = Если я - Наполеон, то у кошки четыре ноги.

Слайд 20

Обозначение: А => В; А  В . Таблица истинности: А В А => В 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 А = На улице дождь. В = Асфальт мокрый. Смысл высказываний А и В Значение высказывания А => В Дождя нет Асфальт сухой Истина Дождя нет Асфальт мокрый Истина Дождь идет Асфальт сухой Ложь Дождь идет Асфальт мокрый Истина

Слайд 21

Дано высказывание: Если коровы летают, то 2 +2 =5 Форма высказывания: Если А, то В. Где А = Коровы летают = 0 В = (2+2=5) = 0 На основании таблицы истинности определим значение высказывания: 0= > 0 = 1, т.е. высказывание истинно.

Слайд 22

Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.

Слайд 23

Логическое равенство (эквивалентность) Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда…». Примеры эквивалентностей: Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90 0 Две прямы параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются. Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения тогда и только тогда, когда нет внешнего воздействия. (Первый закон Ньютона) Голова умеет думать тогда и только тогда, когда язык отдыхает.

Слайд 24

Обозначение: А <=> В; А  В, А  В. Таблица истинности: А В А < => В 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 А = Число делится на 3 без остатка. В = Сумма цифр числа делится нацело на 3. Смысл высказываний А и В Значение высказывания А <=> В Число не кратно 3 Сумма цифр не кратна 3 Истина Число не кратно 3 Сумма цифр кратна 3 Ложь Число кратно 3 Сумма цифр не кратна 3 Ложь Число кратно 3 Сумма цифр кратна 3 Истина (А эквивалентно В) = Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3.

Слайд 25

Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.