Числа в памяти компютера
план-конспект урока по информатике и икт (9 класс) по теме

Урок 24.

Числа в памяти компьютера

Цели: иметь представление о способах представления числовых данных в памяти компьютера; иметь представление о способах оперирования числовой информацией в памяти компьютера.

Ход урока

1. Организационный момент
2. Актуализация знаний

Самостоятельная работа по индивидуальным карточкам.

Проверка домашней работы

2. Какие двоичные числа соответствуют следующим десятичным числам:

128; 256; 512; 1024?

Решение:

12810 = 100000002; 25610 =  1000000002;  51210 = 10000000002;  102410 = 100000000002.

3. Чему в десятичной системе равны следующие двоичные числа:

1000001; 10000001; 100000001; 1000000001?

Решение:

10000012 = 1 . 26 + 0 . 25 + 0 . 24 + 0 . 23 + 0 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20 = 64 + 1 = 6510;

100000012 = 1 . 27 + 1 . 20 = 128 + 1 = 12910;

1000000012 = 1 . 28 + 1 . 20 = 256 + 1 = 25710;

10000000012 = 1 . 29 + 1 . 20 = 512 + 1 = 51310.

4. Переведите в десятичную систему следующие двоичные числа:

101;   11101;   101010;   100011;   10110111011.

Решение:

1012 = 1 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20 = 4 + 1 = 510;

111012 = 1 . 24 + 1 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20 = 16 + 8 + 4 + 1 = 2910;

1010102 = 1 . 25 + 0 . 24 + 1. 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20 =  32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 4210;

1000112 = 1 . 25 + 0 . 24 + 0 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20 = 32 + 2 + 1 = 3510;

101101110112 = 1 . 210 + 0 . 29 + 1 . 28 + 1 . 27 + 0 . 26 + 1 . 25 + 1 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20 =  1024 + 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 146710.

5. Переведите в двоичную систему счисления следующие десятичные числа:

2;   7;   17;   68;   315;   765;   2047.

Решение:

210 = 102;

710 = 1112;

1710 = 100012;  

6810 =  10001002;

31510 = 1001110112;

76510 =  11111111012;

204710 = 111111111112.

6. Выполните сложение в двоичной системе счисления:

11 + 1;   111 + 1;   1111 + 1;   11111 + 1.

Решение:

11 + 1 = 100;

111 + 1 = 1000;

1111 + 1 = 10000;

11111 + 1 = 100000.

7. Выполните умножение в двоичной системе счисления:

111 • 10; 111 • 11; 1101 • 101; 1101 • 1000.

Решение:

111 • 10 = 1110;

111 • 11 = 10101;

1101 • 101 = 1000001;

1101 • 1000 = 11010002.

3. Теоретический материал уроки

Любая информация в памяти компьютера представляется в двоичном виде: последовательностью нулей и единиц. Исторически первым типом данных, с которыми стали работать компьютеры, были числа. Теперь это и числа, и тексты, и изображение, и звук. Работа с данными любого типа в конечном счете сводится к обработке двоичных чисел — чисел, записываемых с помощью двух цифр — 0 и 1. Поэтому современные компьютерные технологии называют цифровыми технологиями.

В компьютере различаются два типа числовых величин: целые числа и вещественные числа. Различаются способы их представления в памяти компьютера.

Представление целых чисел

Часть памяти, в которой хранится одно число, будем называть ячейкой. Минимальная ячейка, в которой может храниться целое число, имеет размер 8 битов – 1 байт. Получим представление десятичного числа 25 в такой ячейке. Для этого нужно перевести число в двоичную систему счисления. Как это делается, вы уже знаете. Результат перевода:                                              2510 = 110012.

Теперь осталось «вписать» его в восьмиразрядную ячейку (записать так называемое внутреннее представление числа). Делается это так:           00011001.

Число записывается «прижатым» к правому краю ячейки (в младших разрядах). Оставшиеся слева разряды (старшие) заполняются нулями.

Самый старший разряд — первый слева, хранит знак числа. Если число положительное, то в этом разряде ноль, если отрицательное — единица. Самому большому положительному целому числу соответствует следующий код:

01111111.

Чему он равен в десятичной системе? Можно расписать это число в развернутой форме и вычислить выражение. Но можно решить задачу быстрее. Если к младшему разряду этого числа прибавить единицу, то получится число 10000000. В десятичной системе оно равно 27 = 128. Значит:

011111112 = 128 – 1 = 127.

Максимальное целое положительное число, помещающееся в 8-разрядную ячейку, равно 127.

Теперь рассмотрим представление целых отрицательных чисел. Как, например, в 8-разрядной ячейке памяти будет представлено число -25? Казалось бы, очевидным ответом является следующий: нужно в представлении числа 25 заменить старший разряд с 0 на 1. К сожалению, в компьютере все несколько сложнее.

Для представления отрицательных целых чисел используется дополнительный код.

Получить дополнительный код можно по следующему алгоритму:

1) записать внутреннее представление положительного числа X;

2) записать обратный код этого числа заменой во всех разрядах 0 на 1 и 1 на 0;

3) к полученному числу прибавить 1.

Определим по этим правилам внутреннее представление числа –2510 в 8-разрядной ячейке:

1. 00011001
2. 11100110
3.             +1

11100111 – это и есть представление числа –25.

В результате выполнения такого алгоритма единица в старшем разряде получается автоматически. Она и является признаком отрицательного значения.

Проверим полученный результат. Очевидно, что при сложении чисел +25 и – 25 должен получиться ноль.

Для представления отрицательных целых чисел используется дополнительный код.

00011001

 + 11100111

1  00000000

Единица в старшем разряде, получаемая при сложении, выходит за границу ячейки и исчезает. В ячейке остается ноль!

Из этого примера теперь можно понять, почему представление отрицательного числа называется дополнительным кодом.

Представление восьмиразрядного отрицательного числа -X дополняет представление соответствующего положительного числа +Х до значения 28.

Размер ячейки и диапазон значений чисел        

Наибольшее по модулю отрицательное значение в 8-разрадной ячейке равно – 27 =  –128. Его внутреннее представление: 10000000. Таким образом, диапазон представления целых чисел в восьмиразрядной ячейке следующий:     –128≤Х≤127,  или  –27<Х<27–1.

Восьмиразрядное представление целых чисел обеспечивает слишком узкий диапазон значений. Если требуется больший диапазон, нужно использовать ячейки большего размера. Для 16-разрядной ячейки диапазон значений будет следующим: –

215 ≤ X < 215 – 1,      или      –32 768 ≤ X ≤ 32 767.

Теперь становится очевидной обобщенная формула для диапазона целых чисел в зависимости от разрядности N ячейки:                       –2N–1 ≤ X ≤ 2N–1 – 1.

Диапазон для 32-разрядной ячейки получается достаточно большим:

–231 ≤ Х ≤ 231 – 1, или  –2 147 483 648 ≤ X ≤ 2 147 483 647.

Особенности работы компьютера с целыми числами

Выполняя на компьютере вычисления с целыми числами, нужно помнить об ограниченности диапазона допустимых значений. Выход результатов вычислений за границы допустимого диапазона называется переполнением. Переполнение при вычислениях с целыми числами не вызывает прерывания работы процессора. Машина продолжает считать, но результаты могут оказаться неправильными.

Представление вещественных чисел

Целые и дробные числа в совокупности называются вещественными числами. В математике также используется термин «действительные числа». Решение большинства математических задач сводится к вычислениям с вещественными числами.

Всякое вещественное число (X) можно записать в виде произведения мантиссы т и основания системы счисления р в некоторой целой степени п, которую называют порядком:                         X = m . pn.

Например, число 25,324 можно записать в таком виде: 0,25324 • 102. Здесь т = 0,25324 — мантисса, п = 2 — порядок. Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна сместиться десятичная запятая в мантиссе.

Чаще всего для хранения вещественных чисел в памяти компьютера используется либо 32-разрядная, либо 64-разрядная ячейка. Первый вариант называется представлением с обычной точностью, второй — представлением с удвоенной точностью. В ячейке хранятся два числа в двоичной системе счисления: мантисса и порядок. Здесь мы не будем подробно рассматривать правила представления вещественных чисел. Отметим лишь основные следствия, вытекающие из этих правил, которые важно знать пользователю компьютера, занимающемуся математическими вычислениями.

Особенности работы компьютера с вещественными числами

1. Диапазон вещественных чисел ограничен. Но он значительно шире, чем для рассмотренного ранее способа представления целых чисел. Например, при использовании 32-разрядной ячейки этот диапазон следующий:

-3,4 • 1038 ≤ X ≤ 3,4 • 1038.

2. Выход за диапазон (переполнение) – аварийная ситуация для процессора, который прерывает свою работу.
3. Результаты машинных вычислений с вещественными числами содержат погрешность. При использовании удвоенной точности эта погрешность уменьшается.

4. Закрепление изученного материала

В памяти компьютера целые числа представляются в двоичной системе счисления и могут занимать ячейку размером 8, 16, 32 и т. д. битов.

Диапазон значений целых чисел ограничен. Чем больше размер ячейки, тем шире диапазон.

При выходе результатов вычислений с целыми числами за допустимый диапазон работа процессора не прерывается. При этом результаты могут оказаться неверными.

Вещественные числа представляются в виде совокупности мантиссы и порядка в двоичной системе счисления. Обычный размер ячейки — 32 или 64 бита.

Результаты вычислений с вещественными числами приближенные. Переполнение приводит к прерыванию работы процессора.

5. Выполнение практического задания
6. Подведение итогов урока

Домашнее задание:   § 17  упражнение 2 – 4 на стр. 109.