Методическая разработка открытого урока "Представление информации в двоичной системе счисления"
методическая разработка по информатике и икт (10 класс) по теме

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ

«ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ ИМЕНИ П.А. ОВЧИННИКОВА»

Методическая разработка открытого занятия

ОД.12 Информатика и ИКТ

для профессии 140446.03 Электромонтер по ремонту и обслуживанию
электрооборудования (по отраслям)

Тема 2. Информация и информационные процессы (57 часов)

Урок 22

Представление информации в двоичной системе счисления

Группа 11-Э (английская подгруппа)

Преподаватель информатики:

Ульянова Елена Викторовна

Группа 11-Э

План-конспект

открытого урока по информатике

Тема урока. Представление информации в двоичной системе счисления

Цели урока:

1. Образовательные: научить переводить числа из одной системы счисления в другую, выполнять арифметические операции в двоичной системе счисления
2. Развивающие: формирование мировоззрения – многообразие систем счисления
3. Воспитательные: воспитание внимания

Задачи урока:

1. ввести понятие «система счисления», объяснить, как образуются числа в позиционных системах счисления;
2. обучить учащихся переводить числа из одной системы счисления в другую, выполнять арифметические операции в двоичной системе счисления;
3. проверить усвоение материала.

Оборудование:

компьютеры, Интернет, http://www.pk13.ru/lms, Лекция 8, Тест 8_1.

План урока

1. Организационный момент
2. Опрос (основные моменты Лекции 7)
3. Изложение нового материала – работа с Лекцией 8
4. Закрепление – Тест 8_1
5. Домашнее задание.

Умения и навыки:

Учащиеся должны:

знать:

• иметь представление о системах счисления;
• правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления;

уметь:

• переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную и обратно различными способами;
• выполнять арифметические действия в двоичной системе счисления.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Опрос (основные моменты Лекции 7)

Содержание теста:

3. Изложение нового материала

1. Позиционные и непозиционные системы счисления

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.

Римская непозиционная система счисления. Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в ней используются:

I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).

Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину - число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется. Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом:

1    9    9    8

М СМ ХС VIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Позиционные системы счисления. Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр! Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе — 60 минут).

В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и так далее.

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

2. Системы счисления, используемые в ЭВМ

Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так называемых арабских, цифр, и основание, равное 10, двоичная — две цифры и основание 2, восьмеричная — восемь цифр и основание 8, шестнадцатеричная — шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание 16.

3. Десятичная система счисления

Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем самая правая цифра 5 обозначает пять единиц, вторая справа — пять десятков и, наконец, третья справа — пять сотен.

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, — количество десятков, еще левее — сотен, затем тысяч и так далее. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и так далее.

Число 555 записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

В развернутой форме записи числа такое умножение записывается в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:

55510 = 5⋅102 + 5⋅101 + 5⋅100

Как видно из примера, число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:

555,5510 = 5⋅102 + 5⋅101 + 5⋅100 + 5⋅10-1 + 5⋅10-2

В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А10, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так:

A10 = an-1⋅10n-1 + . . . + a0⋅100 + a-1⋅10-1 + . . . + a-m⋅10-m.

Коэффициенты а1 в этой записи являются цифрами десятичного числа, которое в свернутой форме записывается так:

A10 = an-1 an-2 . . . a0, a-1 . . . a-m.

4. Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1).

Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа может выглядеть так:

A2 = 1⋅22 + 0⋅21 + 1⋅20 

Свернутая форма этого же числа:

A2 =1012

В общем случае в двоичной системе запись числа А2, которое содержит n целых разрядов числа и т дробных разрядов числа, выглядит так:

A2 = an-1⋅2n-1 + an-2⋅2n-2 + . . . a0⋅20 + a-1⋅2-1 + . . . + a-m⋅2-m

Коэффициенты а1 в этой записи являются цифрами (0 или 1) двоичного числа, которое в свернутой форме записывается так:

A2 = an-1 an-2 . . . a0, a-1 a-2 . . . a-m

Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево.

Например:

101,012. ⋅ 2 = 1010,12

101,012 : 2 = 10,1012

Таблица разрядов двоичной системы счисления

5. Позиционные системы счисления с произвольным основанием

Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, q-1:

Aq = an-1⋅qn-1 + an-2⋅qn-2 + . . . + a0⋅q0 +a-1⋅q-1 + . . . + a-m⋅q-m

Коэффициенты ai в этой записи являются цифрами числа, записанного в q-ичной системе счисления.

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе основание равно восьми (q=8). Тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число

А8 = 6738

в развернутой форме будет иметь вид:

А8  = 6∙82 + 7∙81 + 3∙80

Таблица разрядов восьмеричной системы счисления

3. Алгоритмы перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел в десятичную систему счисления

Преобразование чисел, представленных в двоичной в десятичную выполнить довольно легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение.

Перевод числа из двоичной системы в десятичную

Возьмем любое двоичное число, например 101122. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

11012 = 1∙23 + 1∙22 + 0∙21 + 1∙20 = 1∙8 + 1∙4 + 0∙2 + 1∙1 = 8 + 4 + 0 +1 = 1310

Алгоритм перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления

1. Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя, то есть меньшее 2.
2. Записать полученные остатки в обратной последовательности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичного числа 13 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:

В результате получаем двоичное число: 11012

1310 = 11012

Проверка:  11012 = 1∙23 + 1∙22 + 0∙21 +1∙20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310

4. Двоичная арифметика

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Сложение

Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания 1.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.

Пример № 1

В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 1102 и 112:

Проверка:

1102 = 1∙22 + 1∙21 + 0∙20 = 4 + 2 + 0 = 610

112 = 1∙21 + 1∙20 = 2 + 1 = 310

10012 = 1∙23 + 0∙22 + 0∙21 + 1∙20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 910

610 + 310 = 910

Пример № 2

110112 + 1012 = ?

Проверка:

110112 = 1∙24 + 1∙23 + 0∙22 + 1∙21 + 1∙20 = 16 + 8 + 0 + 2 +1 = 2710

1012 = 1∙22 + 0∙21 + 1∙20 = 4 + 1 = 510

1000002 = 1∙25 + 0∙24 + 0∙23 + 0∙22 + 0∙21 + 0∙20 = 32 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0= 3210

2710 + 510 = 3210

Умножение

В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

0 ∙ 0 = 0

0 ∙ 1 = 0

1 ∙ 0 = 0

1 ∙ 1 = 1

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя.

Пример № 1

В качестве примера произведем умножение двоичных чисел 1012 и 112.

Проверка:

1012 = 1∙22 + 0∙21 + 1∙20 = 4 + 0 + 1 = 510

112 = 1∙21 + 1∙20 = 2 + 1 = 310

11112 = 1∙23 +1∙22 + 1∙21 + 1∙20 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1510

510 ∙  310 = 1510

Пример № 2

11012 ∙ 1112 = ?

Проверка:

11012 = 1 ∙23 + 1∙22 + 0∙21 + 1∙20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310

1112 = 1∙22 + 1∙21 + 1∙20 =4 + 2 + 1 = 710

10110112 = 1∙26 + 0∙25 + 1∙24 +  1∙23 +0∙22 + 1∙21 + 1∙20 = 64+0+16+8+0+2+1 = 9110

1310 ∙  710 = 9110

4. Закрепление

Тест 8.1. Системы счисления

1. Из чего состоит алфавит систем счисления?

1. цифр +
2. иероглифов
3. знаков математических операций

2. Цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 :

1. римские
2. арабские +
3. греческие
4. русские

3. Знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами – это:

1. система отсчета
2. система координат
3. система счисления +
4. система управления

4. В позиционных системах счисления значение цифры:

1. зависит от ее положения в числе +
2. не зависит от ее положения в числе

5. В непозиционных системах счисления значение цифры:

1. зависит от ее положения в числе
2. не зависит от ее положения в числе +

6. В римской системе счисления цифра 5 обозначается:

1. I
2. V +
3. X
4. L

7. В римской системе счисления цифра 10 обозначается:

1. I
2. V
3. X +
4. L

8. В римской системе счисления цифра L обозначает:

1. 50 +
2. 100
3. 1000
4. 5

9. В римской системе счисления цифра C обозначает:

1. 50
2. 100 +
3. 1000
4. 10

10. В римской системе счисления цифра M обозначает:

1. 50
2. 100
3. 1000 +
4. 10

11. В римской системе счисления число LIX обозначает:

1. 59 +
2. 61
3. 110
4. 5110

12. В римской системе счисления число CLIV обозначает:

1. 104
2. 154 +
3. 1514
4. 1504

13. Как записывается число 55 в римской системе счисления?

1. VV
2. XV
3. LV +
4. CV

14. Как записывается число 2012 в римской системе счисления?

1. MMXII +
2. MM00XII
3. 2M00XII

15. Какой была первая система счисления, придуманная в Древнем Вавилоне?

1. двоичной
2. десятичной
3. шестнадцатеричной
4. шестидесятеричной +

16. В позиционных системах счисления основание системы:

1. равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) +
2. не равно количеству цифр (знаков в ее алфавите)

17. В шестнадцатеричной системе счисления цифра С обозначает:

1. 10
2. 11
3. 12 +
4. 13

18. В шестнадцатеричной системе счисления 13 записывается цифрой:

1. B
2. С
3. D +
4. F

19. Переведите десятичное число 7 в двоичную систему счисления:

1. 111 +
2. 1110
3. 1111
4. 101

20. Восьмеричное число 21 в десятичной системе счисления:

1. 13
2. 15
3. 17 +
4. 24

21. Переведите десятичное число 47 в восьмеричную систему счисления:

1. 37
2. 57 +
3. 65
4. 75

22. Шестнадцатеричное число 3А в десятичной системе счисления:

1. 45
2. 51
3. 58 +
4. 74

23. Переведите десятичное число 63 в шестнадцатеричную систему счисления:

1. 3В
2. 315
3. 3F +
4. F3

24. Достаточно ли двух шестнадцатеричных цифр для выражения всех возможных (256) комбинаций битов в байте?

1.  да +
2. нет

25. Как записывается двоичное число 11011110 двумя шестнадцатеричными цифрами?

1. CA
2. DE +
3. FB
4. BE

5. Домашнее задание:

1. Лекция 8
2. Тест 8.2. Двоичная система счисления

Текст теста 8_2

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1).

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Для преобразование чисел, представленных в двоичной системе счисления, в десятичную необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение.

11012 = 1∙23 + 1∙22 + 0∙21 + 1∙20 = 1∙8 + 1∙4 + 0∙2 + 1∙1 = 8 + 4 + 0 +1 = 1310

При помощи таблицы разрядов двоичной системы счисления переводить двоичные числа в десятичные легко:

8 + 4 + 0 + 1 = 13:

При переводе чисел из одной системы счисления в другую пользуйтесь таблицей разрядов двоичной системы счисления!

1. Переведите двоичное число 1110 в десятичную систему счисления:

1. 14 *
2. 7
3. 11
4. 111

2. Переведите двоичное число 101010  в десятичную систему счисления:

1. 222
2. 42 *
3. 52
4. 121

3. Переведите двоичное число 110110  в десятичную систему счисления:

1. 66
2. 112
3. 54 *
4. 312

4. Переведите двоичное число 100000000  в десятичную систему счисления:

1. 128
2. 512
3. 256 *
4. 1024

5. Переведите двоичное число 11111111  в десятичную систему счисления:

1. 1023
2. 127
3. 255 *
4. 511

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную

1. Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя, то есть меньшее 2.
2. Записать полученные остатки в обратной последовательности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичного числа 13 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:

В результате получаем двоичное число: 11012

1310 = 11012

Проверка:  11012 = 1∙23 + 1∙22 + 0∙21 +1∙20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310

При помощи таблицы разрядов двоичной системы счисления переводить десятичные числа в двоичные намного легче!

При переводе чисел из одной системы счисления в другую пользуйтесь таблицей разрядов двоичной системы счисления!

6. Переведите десятичное число 15 в двоичную систему счисления:

1. 1111 *
2. 11111
3. 10000
4. 1110

7. Переведите десятичное число 21 в двоичную систему счисления:

1. 10101 *
2. 11111
3. 10001
4. 11101

8. Переведите десятичное число 98 в двоичную систему счисления:

1. 1110111
2. 1100010 +
3. 1000001
4. 1100101

9. Переведите десятичное число 129 в двоичную систему счисления:

1. 10000001 *
2. 11111111
3. 10010101
4. 11101001

10. Переведите десятичное число 257 в двоичную систему счисления:

1. 100000001 *
2. 11111111
3. 100000011
4. 110000000