Алгебра логики
презентация к уроку по информатике и икт (8 класс)

Слайд 1

Алгебра логики Логика. История науки.

Слайд 2

История возникновения логики Логика (от древнегреческого λογικος — “наука о рассуждении”) — это наука о том, как правильно рассуждать, делать выводы, доказывать утверждения. Формальная логика отвлекается от конкретного содержания, изучает только истинность и ложность высказываний.

Слайд 3

История возникновения логики Первоначально логика зародилась в недрах единой всеобъемлющей науки — философии, которая тогда объединяла всю совокупность знаний о мире , о самом человеке и о его мышлении. В IV в. до н.э. логика начинает развиваться под влиянием возросшего интереса к ораторскому искусству.

Слайд 4

Аристотель ( 384-322 г.г . до н.э.) работал над теорией умозаключений и доказательств; отделил форму мышления от содержания; сформулировал основные законы мышления, в том числе законы противоречия и исключения третьего; показал связь между логикой и математикой; описал ряд логических операций… Основы формальной логики заложил известный ученый Древней Греции Аристотель В определении Аристотеля логика представляет собой науку о выводе одних умозаключений из других сообразно их логической форме.

Слайд 5

Готфрид Вильгельм Лейбниц ( 1646 — 1716 г.г.) написал «Азбуку мыслей»; разработал сжатый и краткий язык символов; разработал идеи математизации логического анализа; обосновал роль тождества и различия в умозаключениях ; сформулировал законы коммутативности и идемпотентности ; определил необходимость создания вероятностной логики и логики отношений… Идею логического исчисления разработал немецкий ученый Вильгельм Лейбниц

Слайд 6

Джордж Буль (1815-1864 г.г .) Труды Буля, созданные в 1847 и 1854 годах, служили фундаментом алгебры логики. Математик доказал в них существование сходства между действиями в алгебре и в логике высказываний. Благодаря созданной Булем системе стала возможна кодировка высказываний. Он показал, как из любого числа высказываний, включающих любое число терминов, вывести любое заключение, следующее из этих высказываний, путём чисто символических манипуляций. Основоположником алгебры логики был английский ученый Джордж Буль

Слайд 7

Огастес де Морган (1806 — 1871 гг .) к своим идеям в алгебре логики пришёл независимо от Дж. Буля; изложил элементы логики высказываний и логики классов; дал первую развитую систему алгебры отношений; с его именем связаны известные теоретико-множественные соотношения (законы де Моргана)… Большой вклад в развитие науки логики внес шотландский математик и логик, профессор математики университетского колледжа в Лондоне, первый президент Лондонского математического общества Огастес (Август) де Морган

Слайд 8

Определение алгебры логики как науки Алгебра – это раздел математики, предназначенный для описания действий над переменными величинами, которые принято обозначать строчными латинскими буквами, например a , b , x , y и т.д. Действия над переменными величинами записываются в виде математических выражений. Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий логические высказывания и методы установления их истинности или ложности с помощью алгебраических методов.

Слайд 9

Высказывания Высказывания — это основной элемент логики, которым обозначается предложение какого-либо языка (естественного или искусственного), рассматриваемого лишь в связи с его истинностью. Отличительным признаком любого высказывания является его свойство быть истинным или ложным. Примеры: «Земля — планета солнечной системы» (истинное) ; «Всякий четырехугольник есть трапеция» (ложное) ; «Всякий ромб есть параллелограмм» (истинное) ; «13 + 5 > 25» (ложное) .

Слайд 10

Не все выражения являются высказываниями. Пример: 1)« На улице холодно » Не является высказыванием , так как в данном выражении не определены критерии холодной погоды. Поэтому нельзя установить истинность данного выражения . 2) « 2x + 5 < 10 » Не является высказыванием , так как неизвестно какие значения может принимать переменная x . 3) «Прекрасно!» – не является высказыванием , так как это восклицательное предложение. 4) «Который час?» - не является высказыванием , так как это вопросительное предложение. Высказывания

Слайд 11

Высказывания Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением, так как оценка их истинности или ложности невозможна Любое определение не может быть высказыванием, так как определения не могут быть истинными или ложными. Они фиксируют принятое использование терминов

Слайд 12

Простые и сложные высказывания Высказывания бывают простые и сложные . Простые высказывания нельзя разделить на более мелкие высказывания. В простом высказывании никакая его часть не является высказыванием. Простые высказывания называются логическими переменными и обозначаются большими буквами Пример: А = «Сейчас идет дождь»; В = «Дует ветер»; С = «3 + 2 = 5 »; D= «Форточка открыта».

Слайд 13

Простые и сложные высказывания Используя простые высказывания , можно образовывать сложные , или составные , высказывания , в которые простые входят в качестве элементарных составляющих . Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) « и» , « или» , « не» , « если …, то» , « тогда и только тогда» и других.

Слайд 14

Простые и сложные высказывания Рассмотрим несколько примеров сложных высказываний : Пусть А =«Ветер дует» ; В =«Идет дождь» «Ветер дует и идет дождь» А и В «Дует ветер или идет дождь» А или В « Если ветер дует , то нет дождя » Если А, то не В «Ветер дует тогда и только тогда, когда идет дождь » А тогда и только тогда, когда В

Слайд 15

Простые и сложные высказывания Основная задача логики высказываний заключается в том , чтобы на основании истинности или ложности простых высказываний определить истинность или ложность сложных высказываний Пример : « 2<5<15» (истинное ) ; «Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 7» (ложное ) .

Слайд 16

Применение алгебры логики Практическое применение алгебры логики : в повседневных рассуждениях; в математике для определения истинности или ложности некоторого высказывания (под высказываниями понимаются математические формулы); в вычислительной технике (законы алгебры логики реализуются конкретными техническими средствами, например, создаются устройства, реализующие некоторые логические функции).

Слайд 1

Логические величины, основные операции, выражения. Круги Эйлера.

Слайд 2

Понятие Понятие – форма мышления, фиксирующая основные существенные признаки объекта. Понятие имеет: Содержание – совокупность существенных признаков объекта. Объем – совокупность предметов, на которые оно распространяется. Пример: Содержание понятия «Персональный компьютер» - «Персональный компьютер – это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя» Объем понятия «Персональный компьютер» выражает всю совокупность существующих сейчас в мире персональных компьютеров.

Слайд 3

Объем понятия Объем понятия может быть представлен в форме множества объектов, состоящего из элементов множества . Алгебра множеств , одна из основополагающих современных математических теорий, позволяет исследовать отношения между множествами и, соответственно, объемами понятий.

Слайд 4

Отношения между понятиями По отношению друг к другу понятия делятся на сравнимые и несравнимые. Далекие друг от друга по своему содержанию понятия, не имеющие общих признаков, называются несравнимыми. Пример: Романс и кирпич. Безответственность и нитка. Остальные понятия называются сравнимыми.

Слайд 5

Отношения между понятиями Для наглядной геометрической иллюстрации объемов понятий и соотношений между ними используются диаграммы Эйлера-Венна. Если имеются какие-либо понятия A, B, C и т.д., то объем каждого понятия (множество) можно представить в виде круга, а отношения между этими объемами (множествами) в виде пересекающихся кругов. Пример: А = { Натуральные числа (целые положительные числа) } В = { Четные числа (множество отрицательных и положительных четных чисел) } С = { М ножество положительных четных чисел }

Слайд 6

Отношения между понятиями Совокупность всех существующих множеств образует всеобщее универсальное множество 1 , которое позволяет отобразить множество логически противоположное к заданному. Так, если задано множество А , то существует множество ¬ А , которое объединяет все объекты, не входящие во множество А. Множество ¬ А дополняет множество А до универсального множества U . U А ¬ А ¬ А

Слайд 7

Виды отношений между понятиями Равнозначность (тождество) Перекрещивание (пересечение) Подчинение (субординация) Соподчинение Противоположность Противоречие

Слайд 8

Обозначение сравнимых совместимых понятий Тождество Пересечение Подчинение X – столица, Y - Москва X – школьник, Y – спортсмен X – лев, Y – хищник. X, Y X Y X Y

Слайд 9

Обозначение сравнимых несовместимых понятий Соподчинение Противопо-ложность Противоречие A– берёза, B – ель, C – дерево A – большой дом, B – маленький дом A – большой дом , B – небольшой дом. A B C A B B A

Слайд 1

Логические функции . Построение таблиц истинности логических функций. Тождественная истинность.

Слайд 2

Определите, в каком порядке необходимо вычислять значение логического выражения: 1) ¬ А & ¬ B 2) A & (B & C) 3) (A & B) ν (C & ¬ D) 4) A ν ¬ D ν B 5) A → ( B ↔ ¬ A ) 1 2 3 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 3 3 Операции в скобках. Отрицание. Логическое умножение. Логическое сложение. Импликация. Эквивалентность. Приоритет логических операций

Слайд 3

Обозначим А=« 2 ·2=5 » – ложно (0) В=« 2 ·2= 4» – истинно (1) Тогда F= (А или В) и ( или ) Вычисление значений логических выражений Пример1 . Вычислить значение логического выражения F= « ( 2 ·2=5 или 2 ·2 =4 ) и ( 2 ·2 ≠ 5 или 2 ·2 ≠ 4 )»

Слайд 4

Пример 2. Определите истинность составного высказывания состоящего из простых высказываний: А= { Принтер – устройство вывода информации } В ={ Процессор – устройство хранения информации } C={ Монитор – устройство вывода информации } D={ Клавиатура – устройство обработки информации } Определяем истинность составного высказывания: А=1, В=0, С=1, D=0 Установим истинность простых высказываний: F= ( & ) &( C v D ) = Вычисление значений логических выражений

Слайд 5

Пример 3. Найти значения логического выражения: 1) 2) 3) 4) (0 V1) →(1&1)= 1 →1= 1 5 ) ( 1&1V0) ↔(  1&1)= 1 ↔0 = 0 6 ) ( ( 1 →0 ) ↔(1&1)V1)= ( 0↔1)=  0= 1 Вычисление значений логических выражений

Слайд 6

Логические функции Логической (булевой) функцией называют функцию F(Х 1 , Х 2 , ..., Х n ), аргументы которой Х 1 , Х 2 , ..., Х n (независимые переменные) и сама функция (зависимая переменная) принимают значения 0 или 1.

Слайд 7

Таблица истинности Таблицу, показывающую, какие значения принимает логическая функция при всех сочетаниях значений ее аргументов, называют таблицей истинности логической функции. Таблица истинности логической функции n аргументов содержит 2 n строк , n столбцов значений аргументов и 1 столбец значений функции . Логические функции могут быть заданы табличным способом или аналитически — в виде соответствующих формул. Каждая логическая функция двух переменных имеет 4 возможных набора значений, то существует 16 различных логических функций от двух переменных: N=2 4 =16 .

Слайд 8

Алгоритм построения таблицы истинности Определить количество строк в таблице по формуле 2 n + 1 , где n – количество входящих в выражение логических переменных; Определить количество столбцов в таблице как сумму количества логических переменных и операций или промежуточных формул. Определить порядок выполнения операций в исходной формуле с учетом приоритетов и скобок. Найти значения промежуточных формул и конечного результата в соответствии с таблицами истинности. Построить таблицу истинности для следующей функции:

Слайд 9

Алгоритм построения таблицы истинности A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1

Слайд 10

Построить таблицы истинности для следующих функций

Слайд 11

Тождественно истинные, тождественно ложные, эквивалентные сложные высказывания (формулы) Если сложное высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно истинным или тавтологией (обозначается константой 1). Если сложное высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно ложным (обозначается константой 0). Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывания называют равносильными, тождественными, эквивалентными .

Слайд 12

А В 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 А В А &B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Следовательно, = Что содержат таблицы истинности? Какие логические выражения называются равносильными? и Доказать, используя Т.И., равносильность логических выражений: