Задание 10 ОГЭ по информатике: сравнение чисел в различных системах счисления
материал для подготовки к егэ (гиа) по информатике и икт (9 класс)

Задание 10 ОГЭ по информатике: сравнение чисел в различных системах счисления

Задание №10 в структуре экзаменационной работы относится к базовому уровню сложности и проверяет одну из фундаментальных компетенций курса информатики — свободное владение системами счисления. Если в повседневной жизни мы оперируем исключительно десятичными числами, то в мире вычислительной техники равноправно существуют двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы, и умение переходить от одной к другой, сравнивать числа, записанные в разных системах, является обязательным элементом алгоритмической культуры.

Задание формулируется лаконично, но требует безошибочного выполнения нескольких последовательных операций перевода. Одна арифметическая ошибка на любом этапе — и балл потерян. Рассмотрим содержательную основу, типовые формулировки, алгоритмы перевода и систему самопроверки.

Что проверяет задание

Согласно спецификации контрольных измерительных материалов, задание №10 направлено на проверку следующих предметных результатов:

- Знание позиционных систем счисления: двоичной, восьмеричной, десятичной, шестнадцатеричной.

- Умение переводить целые числа из одной системы счисления в другую.

- Владение алгоритмами перевода: разложение по степеням основания, метод последовательного деления на основание с выделением остатков, использование таблиц триад и тетрад для взаимного перевода между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами.

- Способность сравнивать числа, представленные в различных системах счисления, и располагать их в порядке возрастания или убывания.

- Умение находить число, удовлетворяющее заданным условиям (например, находящееся в определённом диапазоне).

Типовые формулировки задания

В открытом банке ФИПИ задание №10 представлено в нескольких модификациях.

Модификация 1: Упорядочивание чисел.

Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

 101010₂

 52₈

 2B₁₆

Модификация 2: Поиск числа, удовлетворяющего неравенству.

 Даны четыре числа: 35₁₀, 100011₂, 43₈, 24₁₆. Укажите среди них то, которое удовлетворяет неравенству: 35₁₀ < X < 45₁₀. В ответе запишите само число в десятичной системе счисления.

Модификация 3: Определение основания системы счисления.

Число 121 в некоторой системе счисления записывается как 121ₓ. Известно, что оно находится в диапазоне от 30 до 50 в десятичной системе. Найдите основание x.

Эта модификация встречается реже, но также присутствует в банке заданий и требует обратного перевода.

Фундаментальные понятия и алгоритмы перевода

1. Позиционная система счисления.

В позиционной системе счисления значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в записи числа. Любое число может быть представлено в виде суммы произведений цифр на основание системы счисления в степени, соответствующей разряду:

где q — основание системы счисления.

2. Перевод из любой системы в десятичную (метод разложения по степеням).

Это основной метод, необходимый для сравнения чисел. Каждая цифра умножается на основание системы в соответствующей степени, результаты суммируются.

Пример для двоичной системы (q = 2):

101010₂ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42₁₀.

Пример для восьмеричной системы (q = 8):

52₈ = 5·8¹ + 2·8⁰ = 40 + 2 = 42₁₀.

Пример для шестнадцатеричной системы (q = 16):

2B₁₆ = 2·16¹ + B·16⁰ = 2·16 + 11·1 = 32 + 11 = 43₁₀.

(Буквы A–F соответствуют числам 10–15: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).

3. Таблица соответствия для быстрого перевода.

Полезно запомнить степени двойки и основные значения:

4. Таблицы триад и тетрад.

Для быстрого перевода между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами используются:

- Триады — группы по три двоичных разряда для восьмеричной системы.

- Тетрады — группы по четыре двоичных разряда для шестнадцатеричной системы.

Пошаговый алгоритм решения (Модификация 1: упорядочивание)

Рассмотрим задачу: найти максимальное среди чисел 101010₂, 52₈, 2B₁₆ и записать его в десятичной системе.

Шаг 1. Перевести все числа в десятичную систему счисления.

101010₂:

Нумеруем разряды справа налево, начиная с нуля:

0 — разряд 0 (2⁰): 0 × 1 = 0

1 — разряд 1 (2¹): 1 × 2 = 2

0 — разряд 2 (2²): 0 × 4 = 0

1 — разряд 3 (2³): 1 × 8 = 8

0 — разряд 4 (2⁴): 0 × 16 = 0

1 — разряд 5 (2⁵): 1 × 32 = 32

Сумма: 32 + 8 + 2 = 42₁₀.

52₈:

5 × 8¹ = 40

2 × 8⁰ = 2

Сумма: 42₁₀.

2B₁₆:

2 × 16¹ = 32

B (11) × 16⁰ = 11

Сумма: 43₁₀.

Шаг 2. Сравнить полученные десятичные значения.

42, 42, 43. Максимальное — 43.

Шаг 3. Записать ответ в десятичной системе счисления.

Ответ: 43. Без указания основания, просто число.

Пошаговый алгоритм решения (Модификация 2: поиск числа в диапазоне)

Условие: Даны числа: 35₁₀, 100011₂, 43₈, 24₁₆. Найти то, которое удовлетворяет неравенству 35₁₀ < X < 45₁₀.

Шаг 1. Перевести все числа, данные не в десятичной системе, в десятичную.

100011₂:

Разряды (справа налево): 1·2⁰ + 1·2¹ + 0·2² + 0·2³ + 0·2⁴ + 1·2⁵ = 1 + 2 + 0 + 0 + 0 + 32 = 35₁₀.

43₈:

4·8¹ + 3·8⁰ = 32 + 3 = 35₁₀.

24₁₆:

2·16¹ + 4·16⁰ = 32 + 4 = 36₁₀.

Шаг 2. Выписать весь список в десятичной форме.

35₁₀ (исходное)

100011₂ = 35₁₀

43₈ = 35₁₀

24₁₆ = 36₁₀

Шаг 3. Проверить каждое число на соответствие неравенству.

35 < X < 45.

35₁₀ — не подходит (равно 35, а нужно строго больше).

35₁₀ (бывшее 100011₂) — не подходит.

35₁₀ (бывшее 43₈) — не подходит.

36₁₀ (бывшее 24₁₆) — подходит (36  35 и 36 < 45).

Шаг 4. Записать ответ.

В ответе требуется записать само число в десятичной системе. Ответ: 36.

Пошаговый алгоритм решения (Модификация 3: определение основания)

Условие: Число 121ₓ находится в диапазоне от 30 до 50 в десятичной системе. Найдите основание x.

Шаг 1. Записать разложение числа 121ₓ по степеням основания x.

121ₓ = 1·x² + 2·x¹ + 1·x⁰ = x² + 2x + 1 = (x + 1)².

Шаг 2. Составить неравенство.

30 < (x + 1)² < 50

Шаг 3. Подобрать целое основание x (основание системы счисления должно быть целым числом, большим максимальной цифры в записи числа; в числе 121ₓ максимальная цифра 2, значит, x  2).

Проверим значения:

x = 3: (3 + 1)² = 4² = 16 — меньше 30.

x = 4: (4 + 1)² = 5² = 25 — меньше 30.

x = 5: (5 + 1)² = 6² = 36 — входит в диапазон 30–50.

x = 6: (6 + 1)² = 7² = 49 — входит в диапазон 30–50.

x = 7: (7 + 1)² = 8² = 64 — больше 50.

Таким образом, основание может быть равно 5 или 6. В реальных заданиях ФИПИ обычно накладывается дополнительное условие для единственности ответа, либо требуется указать любое из возможных. Если условие не уточняет, в ответе может быть указано 5 или 6.

Стратегия самопроверки

После перевода всех чисел в десятичную систему полезно выполнить обратный перевод одного-двух чисел для проверки. Например, если 42₁₀ получено из 101010₂, можно перевести 42₁₀ в двоичную систему методом деления на 2:

42 ÷ 2 = 21 (остаток 0)

21 ÷ 2 = 10 (остаток 1)

10 ÷ 2 = 5 (остаток 0)

5 ÷ 2 = 2 (остаток 1)

2 ÷ 2 = 1 (остаток 0)

1 ÷ 2 = 0 (остаток 1)

Остатки, записанные в обратном порядке: 101010. Совпало — перевод верен.

Критерии оценивания и формат ответа

Задание оценивается в 1 первичный балл. Ответ — одно число в десятичной системе счисления. Никаких дополнительных символов, индексов, указаний основания системы в бланк вносить не нужно. Балл выставляется при полном совпадении ответа с эталоном.

Типичные ошибки и стратегии их предотвращения

1. Ошибка в степенях основания. При переводе 101010₂ ученик может перепутать разряды и начать нумерацию с единицы вместо нуля или пропустить разряд. Степень всегда равна номеру позиции, считая от нуля справа налево.

2. Забывание о нулевых разрядах. В числе 101010₂ три нулевых разряда. Если ученик запишет только единичные разряды (32 + 8 + 2), это правильно. Но если он перепутает, какие степени соответствуют единицам, ответ будет неверным. Полезно выписывать все разряды, включая нулевые, и суммировать аккуратно.

3. Ошибка в числовых значениях букв шестнадцатеричной системы. Путаница: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Иногда ученик принимает B за 12 или 13. Нужно твёрдо запомнить этот ряд или записать его на черновике перед началом решения.

4. Неверное основание при переводе. Ученик может перевести 52₈ как 5·10¹ + 2·10⁰ = 52₁₀, забыв, что основание 8, а не 10. Важно перед каждым переводом явно фиксировать основание системы.

5. Сложение в уме с ошибками. При переводе больших чисел арифметические ошибки случаются часто. Рекомендуется все промежуточные произведения записывать на черновике столбиком, а не считать в уме.

6. Невнимательность к вопросу. В задании может требоваться найти не максимальное, а минимальное число. Или записать ответ не в десятичной системе, а в той, в которой он был дан. Формулировку вопроса нужно перечитывать дважды.

Пример решения с подробным комментарием (три числа)

Условие: Среди чисел 110110₂, 65₈, 37₁₆ найдите минимальное и запишите его в десятичной системе.

Решение:

1. 110110₂:

Разряды: 0·2⁰ + 1·2¹ + 1·2² + 0·2³ + 1·2⁴ + 1·2⁵ = 0 + 2 + 4 + 0 + 16 + 32 = 54₁₀.

2. 65₈:

5·8⁰ + 6·8¹ = 5 + 48 = 53₁₀.

3. 37₁₆:

7·16⁰ + 3·16¹ = 7 + 48 = 55₁₀.

Минимальное: 53.

Ответ: 53.

Заключение

Задание №10 ОГЭ по информатике — это проверка базовой математической культуры, без которой невозможно ни программирование, ни понимание принципов работы вычислительной техники. Для гарантированного получения балла на экзамене девятикласснику необходимо уверенно владеть алгоритмом перевода чисел из любой системы счисления в десятичную (через разложение по степеням основания), знать таблицу степеней двойки, соответствие букв шестнадцатеричной системы их десятичным значениям и уметь организовать самопроверку обратным переводом. Рекомендуемый объём подготовки — 15–20 прототипов из открытого банка ФИПИ с обязательным охватом всех трёх модификаций. При методичной работе время выполнения не превышает 3–5 минут.