Геометрия (треугольники)
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (9 класс) на тему

Треугольник – геометрическая фигура, которая состоит из 3 точек, не лежащих на одной прямой, соединённых отрезками.

  РАВС = АВ+ВС+СА.

Теорема: Если 2 стороны и угол    между ними 1-го треугольника соответственно равны 2 сторонам и углу между ними другого  треугольника, то треугольники равны.     

Теорема: Из точки, не лежа-

 щей на прямой, можно провести

 перпендикуляр к этой, и притом

                      только один.

АН ┴ а

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

АМ - медиана  

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника  с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей  противоположную сторону, называется высотой треугольника.

ВН - высота ∆АВС.                    

Треугольник, у которого 2 стороны равны, называется равнобедренным.

Теорема: В равнобедренном треугольнике  углы при основании равны.

‹В = ‹С

Теорема: В равнобедренном       треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой  и

биссектрисой.

2. Медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.

Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Определение: Окружность называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Определение: Две прямые    на плоскости параллельны, если они не пересекаются.

Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках.

Накрест лежащие – 3 и 5, 4 и 6.                    

Односторонние – 4 и 5, 3 и 6.                      

Соответственные – 1 и 5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.

Теорема: Если при пересечении 2 прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.         

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей сумма      односторонних углов равна  180º, то прямые параллельны.

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. 

Теорема: Если две прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180º.

Теорема: Сумма углов треугольника = 180º.                      

Теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

1.В прямоугольном треугольнике гипотенуза  больше катета.

2.Если два угла треугольника равны, то треугольник – равнобедренный.

Теорема: Каждая сторона      треугольника меньше суммы двух других сторон.                            

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

1.Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника = 90º.    

2. Катет прямоугольного треуг-ка, лежащий против угла в 30º, равен половине  гипотенузы.  

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º.  

Теорема: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны

Теорема: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

   Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.                                                            

Прямая а и точки А и В.                               

 Если две прямые имеют общую

точку, то они пересекаются.

Прямая а и b пересекаются в точке О.

Две прямые либо имеют только одну общую точку,

либо не имеют общих точек.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.  

Угол называется развёрнутым, если обе его стороны  лежат на одной

прямой.

Развёрнутый угол = 180º;  

Неразвёрнутый угол < 180º .      

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектриса угла.                                    

Смежные и вертикальные углы

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.  

‹АОВ + ‹ВОС = ‹АОС = 1800                                                                                                                                                                                           

Два угла ,называются вертикальными , если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

1 и 3, 2 и 4 – вертикальные углы.

Определение: два треугольника  называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны  одного треугольника пропорционально сходственны   сторонам другого.

              АВ и А1В1, ВС и В1С1 , СА и С1А1 – сходственные стороны     

Теорема: Отношение S 2ух подобных треугольников равен квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников

Первый признак

Теорема: Если два  угла одного треугольника соответственно равны двум углам  другого, то такие 3-угольники подобны.

Второй признак

Теорема: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум

сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак

Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональ-ны  трём сторонам другого, то такие  треугольники подобны.

      Теорема: Средняя линия параллельна одной из его сторон и равна ½ этой стороны.

              MN = ½ AC

Утверждение: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которое делится гипотенуза этой высотой.

              CD =

Утверждение: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

              AC =

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

sin острого угла прямоугольного      треугольника называется отношение                  противолежащего катета к            гипотенузе.  

               sin A =  

cos острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

                        cos A =

tg острого угла прямоугольного            треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.          

                    tg A =

tg угла = отношению sin к cos  

этого угла: tg = sin/ cos.

Основное тригонометрическое                                                                                       тождество:

            sin2α + cos2α=1.  

Определение: Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом,  называется  направленным отрезком или вектором.

Нулевые векторы называются

коллинеарными, если они лежат  либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой

вектор считается коллинеарным любому вектору.        

На рисунке  векторы    ,  , , , (вектор  нулевой) колли-

неарны, а векторы   и , a также   и  не коллинеарны.

Если 2 вектора направлены одинаково,  то эти векторы – сонаправлены.

Обозначается : :  ↑↑ 

Если 2 вектора направлены противоположно, то они противоположно направлены.

Обозначается: :  ↑↓  

Определение: Векторы,

называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Обозначается:  =  

От любой точки М можно отложить  вектор, равный данному вектору    , и притом только один.                                                        

Теорема: для любых векторов :

  , ,   справедливы равенства:

1.  +    =   +  

(переместительный закон);

2. ( +   ) +  =  + (  + ) (сочетательный закон).

Теорема: Для любых векторов     и  справедливо равенство

 –  =  + (- ).

• Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.
• Для любого числа k и любого вектора  векторы    и k   коллинеарны.

Для любых чисел k, l и любых векторов   ,  справедливы равенства:

10.(k*l)  =k(l* ) (сочетательный закон)

20.(k + l)  =k + l (первый распределительный закон)

30 k( +   ) = k + k  ) (второй распределительный закон)

Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

MN =

Лемма: Если векторы  ,  коллинеарны и   ≠ 0, то существует такое число k, что  =k 

Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом .

Каждая координата суммы двух

векторов равна сумме соответ-ствующих координат этих векторов.

 Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Каждая координата разности двух векторов равна разности соот-

ветствующих координат этих векторов. 

Пример: Если  {х1; y1} и { х2; y2} - данные векторы, то вектор -  имеет координаты {х1 - х2; у1-у2}.

 В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке С(x0;y0) имеет вид: (x –x0)2 + (y – y0)2 =r2

Для любого угла α из промежутка     0° ≤ α ≤180° sin угла α называется ордината у точки М, а cos угла α – абсцисса х угла α.    

 tg угла α(α≠90°) называется отношение sinα/cosα, т.е.

tg α= sinα/cosα

Теорема: S треугольника равна половине произведения двух его сторон на sin угла между ними.

S= ½ a*b*sin C

Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам против-олежащих углов.

Теорема: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними.

а2=b2+с2-2bс cos α

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на cos угла между ними.    

Теорема: Скалярное произведение векторов   { х1; у1 } и      { х2; у2 } выражается формулой:

 *  =х1 х2 +у1 у2.

Следствие 1. Нулевые векторы

  { х1; у1} и   { х2; у2 } перпендикулярны  тогда и только тогда, когда   х1 х2 + у1 у2 = 0

Следствие 2.  cos угла а между нулевыми векторами    { х1; у1} и  { х1; у1 } выражается формулой:    

.               

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых векторов  ,   ,      и любого числа k справедливы соотношения:

1.  ≥ 0, причем  > 0 при  ≠  
2.  *  =    *   (переместительный закон).
3. (  +   ) * =    *  +   *  (распределительный закон).
4. ( k *  ) *  = k* ( * ) (сочетательный закон)

Сумма углов выпуклого n-угольника  = (n-2)180º.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.                                                         

Свойства:

10.  В параллелограмме противоположные  стороны равны и противоположные углы равны.

20.  Диагонали параллелограмма точ- кой пересечения делятся пополам.

Признаки:

10.  .    Если в 4-угольнике 2 стороны равны и параллельны, то этот 4-угольник – параллелограмм.

20.  Если в 4-угольнике противопо- ложные стороны попарно равны,  то этот 4-угольник – параллелограмм.

30.  Если в 4-угольнике диагональю пересекаются и точкой пересечения делятся  пополам, то этот 4-угольник – параллелограмм.

Трапецией называется 4-угольник, у которого 2 стороны параллельны, а 2 другие стороны не параллельны.

Трапецией называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

                   Свойства равнобедренной трапеции:

1. ‹А = ‹Д, ‹В = ‹С
2. АС = ВД
3. ∆АВМ = ∆ДСМ

Ромбом называется параллело-грамм,  у которого все стороны равны.        

Свойство:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны  и делят его углы пополам.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства:

1. Диагонали прямоугольника равны.

  2.Если в параллелограмме диагонали равны,то этот пареллелограмм- прямоугольник.

Квадратом называется прямо-

угольник, у которого все стороны       равны.

Свойства:

1.Все углы квадрата прямые.

2.Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

1.Равные многоугольники имеют       равные S.

2.S квадрата равна квадрату его стороны.

3. Если многоугольник составлен из     нескольких многоугольников, то       его S = сумме площадей этих многоугольников.                            

Теорема: S прямоугольника равен произведению его смежных сторон.

S = a * b

Теорема: S параллелограмма равен произведению его основания на высоту.

         S = AD *BH

Теорема: S треугольника равен произведению его основание на высоту.      

                   S =  ½ АВ*СН 

S прямоугольного треугольника = 1/2  

произведения его катетов.

Формула Герона:

     ,

где р =1/2 (а + b + c)- полупериметр треугольника.

Теорема: S трапеции = про- изведению полу суммы её оснований на высоту.

Теорема: (Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

                        c2=a2 + b2

Теорема:  Если квадрат 1ой    

стороны треугольника = сумме

квадратов 2 других сторон, то

треугольник прямоугольный.

Если расстояние от центра окруж ности до прямой <  радиуса, то пря мая и окружность имеют 2 общие      точки. Прямая является секущей.

Если расстояние от центра окруж-

 ности до прямой = радиуса, то пря-

мая и окружность имеют 2 общие

точки. Прямая является касательной

  Если расстояние от центра окруж-

ности до прямой > радиуса, то пря мая и окружность не имеют общих   точек.  

  Теорема: Касательная к окруж- ности перпендикулярна к r, прове-

дённому в точку касания.

Свойство: Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

                    АВ = АС, ‹3 = ‹4

 Теорема: Если прямая проходит

через конец r, лежащий на окруж-

ности, и перпендикулярна к этому

r, то она является касательной.

Градусная мера дуги окружности

Если дуга АВ окружности с центром

О  меньше полуокружности или является  полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ.

Если же дуга АВ больше полуокружности, то её градусная мера считается = 360°–<АОВ.

Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема: Вписанный угол измеряя-                                   ется ½ дуги, на которую он опирается.

Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту же дугу, равны.

Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность- прямой.

Теорема: Если 2 хорды окружности пересекаются, то            произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.      

АЕ* ВЕ = СЕ* DE

 Теорема: Каждая точка бисс-ектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая

от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

MK = ML

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.    

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Теорема: Каждая точка се-        

рединного перпендикуляра к

отрезку равноудалена от концов     этого отрезка.

Обратно: Каждая точка, равноудалённая от концов отрез-    ка, лежит на серединном перпен- дикуляре к нему.

Серединные перпендикуляры к сторо-

нам треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема: Высоты треугольника

(или их продолжения) пересекаются в одной точке.     

Вписанная и описанная окружности

Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность.

Замечания:

    1.  В 3-угольник можно вписать только одну окружность.

    2. В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Свойства: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

АВ + CD=a + b +c + d, DC +AD=a + b +c + d, AB + CD = BC + AD

Теорема: Около любого треугольника можно описать

окружность.

Свойства: В любом вписанном 4-угольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Обратное: Если сумма противоположных  углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.