Рабочая программа элективного курса «Избранные вопросы математики» 9 класс
рабочая программа по математике (9 класс) на тему

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Санаторная школа-интернат №2 для детей, нуждающихся в длительном лечении»

 города Магнитогорска

Рабочая программа элективного  курса

«Избранные вопросы математики»

9 класс

                                                                                                                            разработана Петрашовой В. Н.

  и Галимовой  Н. В.,

             учителями  высшей категории,

Магнитогорск,2016г

Пояснительная записка.

По учебному плану в 9 классе выделяется 0,5 часа из вариативной части учебного плана на организацию элективного курса по математике «Избранные вопросы математики: решение иррациональных уравнений» - это обязательный курс для учащихся.

Элективный курс муниципального уровня, авторы Белоусова С.В., Павлюченко И.В. МОУ СОШ №67 г. Магнитогорска.

Реализация содержания элективного курса обеспечивается программой, учебными пособиями элективных курсов, утвержденными и рекомендованными на муниципальном уровне.

Основная цель данного курса – подготовка учащихся к экзаменам по математике в 9 классе в новой форме и продолжению образования в средней школе и профильных ОУ города. Поэтому его можно рассматривать как предпрофильное обучение выпускников основной школы.

Элективный курс «Избранные вопросы математики: решение иррациональных уравнений»  расширяет содержание  базисного курса алгебры, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет получить дополнительную подготовку для сдачи экзамена по математике, а также  способствует удовлетворению познавательных интересов не только в области математического образования, но и других учебных предметов.

Целями данного курса являются:

1. Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

2. Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.

Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:

1. Приобщить учащихся к работе с математической литературой.

2. Выделять логические приемы мышления и способствовать их осмыслению, развитию образного и ассоциативного мышления.

3. Обеспечить диалогичность процесса обучения математике.

4. Дать ученику возможность реализации личных познавательных интересов.

5. Создавать условия для качественной подготовки к итоговой аттестации.

6. Уточнить готовность и способность ученика осваивать предмет на профильном уровне.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ УСВОЕНИЯ КУРСА

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- чётко различать понятия следования и равносильности;

- свободно оперировать аппаратом алгебры при решении иррациональных  

  уравнений;

- проводить тождественные преобразования алгебраических выражений;

- решать уравнения и системы уравнений изученным методом.

Объём курса: 

• 17 часов (0,5 часа в неделю).  В расписании - 1 час в 2 недели в течение учебного года

Формы занятий:

•  семинары, лекции, творческая лаборатория и др.
• контроль – зачет по курсу.

На занятиях  используются:

• принцип дифференциации и индивидуализации в обучении;
• элементы тестовой технологии. В качестве одной из форм  обратной связи – тестовый контроль;
• блочно-модульный подход в преподавании математики;
• разноуровневый  дидактический материал; материалы ГИА в новой форме и КИМы ЕГЭ.

Ожидаемый результат:

• развитие математических способностей учащихся;
• повышение качества выполнения заданий;
• развитие познавательного интереса к предмету.

Календарно - поурочное планирование элективного курса.

                     9 класс  (17часов)

Литература:

1.   Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: доп. гл. к шк. учеб. 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и Кл. с углубл. изуч. математики – М.: Просвещение, 2008.

2.   Макарычев Ю.Н. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. М.: Просвещение, 2010.

3.   Гольдич В.А. Алгебра: Решение уравнений и неравенств. - СПб.: Издательский дом «Литера», 2008.

4.   Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для учащихся шк. И Кл. с углубленным изучением математики/М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. – М.: Просвещение, 2010.

5.  Виленкин Н.Я. Алгебра 9 класс: Учебное пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики.- М.:Просвещение,2010.

6.  Чикунова О.И. Уравнения и неравенства с модулями. Учебно-методическое пособие для учащихся 7-11 классов. Шадринск: ПО «Исеть», 2008

7.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова,. Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; Под ред. Г.В. Дорофеева. – 2-е издание, стереотипное – М.: Дрофа, 2011.

.

Занятие 1.1.

 Тема: «Понятие о следовании и равносильности. Равносильные уравнения и уравнения – следствия ».

Цель занятия: дать понятие следования и равносильности предложений,

равносильного уравнения и уравнения – следствия.

Для закрепления можно предложить задания типа:

1. Является второе предложение следствием первого ( при положительном ответе сделайте запись, используя знак ):

а) углы А и В вертикальные; ;

б) отрезки АВ и СD симметричные относительно прямой f ; АВ = СD;

в) в треугольнике АВС угол А равен 700; треугольник АВС – остроугольный?

Ответы :  а) да; б) да; в) нет 

2. Равносильны ли предложения ( при положительном ответе сделайте запись, используя знак ):

а) y – целое число;  - дробное число;

б) p – целое число, кратное 3; 7p – целое число, кратное 3;

в) k – целое число, кратное 24; k – целое число, кратное 4 и 6;

г) модуль числа меньше 1; квадрат числа  меньше  1?

Ответы: а) нет;  б) да;  в) нет;  г) да.

3. Следует ли из первого предложения второе; равносильны ли эти предложения:

а) натуральное число  оканчивается цифрой 1; четвёртая степень натурального числа оканчивается цифрой 1;

б) натуральное число  оканчивается цифрой 5; шестая степень натурального числа  оканчивается цифрой 5;

в) целое число кратно 6; квадрат целого числа кратен 36;

г) целое число  при делении на 6 даёт остаток 1; квадрат целого числапри делении на 6 даёт остаток 1?

Ответы: а) да, нет;  б) да, да;  в) да, да;  г) да, нет;  

4. Верно ли что:

а) для того чтобы целое число   делилось на 4, необходимо, чтобы оно оканчивалось чётной цифрой;

б) для того, чтобы сумма ( ) делилось на 17, достаточно чтобы каждое из чисел  и  делилось на 17;

в) для того чтобы диагонали четырёхугольника были равны, необходимо и достаточно, чтобы он был прямоугольником?

Ответы: а) да;   б) да;   в) нет

5. Является ли второе уравнение следствием первого; равносильны ли эти уравнения:

;

Занятие 1. 2 

 Тема:  «Теоремы равносильности уравнений»

Цель занятия: доказать теоремы равносильности, рассмотреть на        

                         примерах.

( учащихся можно распределить по группам  и предложить каждой группе доказать по одной теореме, а затем из предложенных заданий выбрать те в которых используется соответствующая теорема)

Для работы на данном занятии можно использовать задания:

1. Дайте обоснование равносильности уравнений:

а)  и  ;

б) 0,04x = 2,6 и 4x = 260;

в) и   ;

г) ( 3x -2 )( 8x2 + 5 ) = x( 8x2 + 5 ) и 3x – 2 = x.

2. Может ли нарушиться равносильность, если выполнить следующие преобразования

а) в уравнении  раскрыть скобки и привести подобные члены;

б) в уравнении дробь  сократить на ;

в) обе части уравнения  разделить на  ;

г) в уравнении  разностьзаменить нулём.

Ответы: а) нет; б) да; в) да; г) да

3.Решите уравнения и докажите, что построена цепочка равносильных уравнений:

Ответы: а) 7; б) 0; в) ; г) .

Занятие  1.3.

Тема.  «Примеры преобразований, связанные с появлением

               посторонних корней»

Цель:  рассмотреть примеры преобразований, которые могут быть связаны с появлением посторонних корней,

На занятии учащихся разделить на три группы, каждой группе предложить решить  по одному уравнению, задав определённый способ решения, и выполнить проверку, чтобы выяснить являются ли найденные ими числа корнями уравнения. Сделать выводы.

Задание 1 группе: решите уравнение умножив обе части уравнения на выражение .Сделайте проверку.

Ответ: -10

Задание 2 группе: решите уравнение возведя обе части в квадрат. Сделайте проверку.

Ответ: 4

Задание 3 группе: решите уравнение . Сделайте проверку.

Ответ: 5

Для работы на данном занятии можно использовать задания:

1. Докажите, что не являются  равносильными уравнениями:

а) ;

б).

2.Равносильны ли уравнения:

а) ;

б) ;

в) .

3. Решите уравнения и объясните, какое преобразование могло привести к нарушению равносильности:

а)  ; Ответ: корней нет

б) ;        Ответ: 2

в) ;        Ответ: .

г) ;        Ответ: - 4

Занятие 1.4 .

 Тема: «Равносильности систем уравнений, теоремы равносильности систем уравнений»

Цель: рассмотреть понятие равносильности систем уравнений, доказать теоремы равносильности систем уравнений, показать применение теорем на примерах.

Занятие предлагается провести в форме лекции.

Для закрепления материала в ходе лекции можно предложить задания:

1. Решите систему уравнений способом сложения. Дайте обоснования равносильности данной системы и полученной простейшей системы вида где  и  - некоторые числа.

Ответ: ( - 3; 4 )

2. Получится ли система, равносильная данной, если:

а) в системе уравнений  заменить первое уравнение уравнением , полученным сложением уравнений системы;

б) в системе уравнений  заменить  в первом уравнении

выражением ;

в) в системе уравнений   все члены первого уравнения умножить на 3, а все члены второго уравнения умножить на 2;

г) в системе уравнений  все члены первого уравнения разделить на .

Ответы: а) да; б) да; в) да; г) нет.

3. При каких значениях  имеет решение система уравнений:

Ответ:  при .

4. Равносильны ли системы уравнений:

а) б)
Ответ: а) нет, б) нет.

Занятие  1.5. 

Тема: Решение задач по теме «Равносильность уравнений и

систем уравнений»

Цель: закрепить ранее изученный материал, что позволит учащимся осознанно подойти к изучению приёмов решения уравнений и систем уравнений; проконтролировать уровень усвоения данного материала.

Предложить учащимся самостоятельно выполнить задания с последующей самопроверкой. Провести тест для проверки качества знаний учащихся( 25 мин).

Задания для самостоятельной работы ( 20 мин )

1. Равносильны ли уравнения:

а) ;            Ответ: да

б) .                                   Ответ: нет

2. Найдите множество корней уравнения, заменив его равносильной системой или совокупностью уравнений:

а) ;

б) .

Ответы: а) ;   б)  

3. Решите систему уравнений способом полстановки. Дайте обоснования равносильности данной системы и полученной простейшей системы вида где  и  - некоторые числа.

Ответ: ( 4; 2

Тест.

1. Укажите уравнение равносильное уравнению :

2. Какое из уравнений является следствием уравнения ?

3. Найдите множество корней уравнения , заменив его совокупностью уравнений

4. Найдите множество корней уравнения, заменив его равносильной системой  уравнений.

5. При каких значениях  равносильны уравнения

Ответы: 1 – А;  2 – Б; 3 – А; 4 – В; 5 – Г.

Критерии оценки теста:    «5» - за 5 правильно выполненных заданий;

                                            «4» -  за 4 правильно выполненных задания;

                                             «3» - за 3 правильно выполненных задания.

Занятие  № 2.1.

Тема:   Понятие иррационального уравнения.

            Способы  решения иррациональных  уравнений.

Цель занятия:  Ввести понятие иррационального уравнения;

                          Рассмотреть способы решения иррациональных                                            

                          уравнений.

 Занятие провести в форме лекции.        

  Ввести понятие иррационального уравнения и рассмотреть способы решения иррациональных уравнений на конкретных примерах.

      1 способ - Решение иррациональных уравнений вида )=g(x) возведением обеих частей в квадрат.

                    Пример№1. Решить уравнение =3-х.                

          Возведем обе части уравнения в квадрат.

          Получим уравнение  5х-9=(3-х)².

          Приведем полученное уравнение к стандартному виду:  х²-11х+18=0.

          Найдем корни данного уравнения : х=2, х=9.

           Выполним проверку:

1. Если х=2, то  и 3-2=1. Значит, х=2- корень уравнения.
2. Если х=9, то  и 3-9=-6. 6-6. Значит, х=9 не является корнем уравнения.

                                                     Ответ: 2.

2 способ - Решение иррациональных уравнений  вида )=g(x)  с помощью равносильной системы.

               Пример№2. Решить уравнение =5-х.

       Корнями этого уравнения  могут быть только числа, при которых                3х-20 и  5-х0.Поэтому данное уравнение равносильно системе

       Данную систему можно упростить и получим:

       Решим уравнение и найдем его корни:

       Оценка корней показывает, что первый корень удовлетворяет системе, а второй не удовлетворяет ей.

                                                Ответ: 6,5-0,5.

      3 способ -  Решение иррациональных уравнений  с помощью свойств монотонности функции.

                     Пример №3. Решить уравнение +=6.

Для решения данного уравнения воспользуемся свойствами монотонности функций (сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией и всякая монотонная функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента).

Функции  и  - возрастающие функции. Значит данное уравнение если имеет корень, то только один. Подбором найдем корень уравнения х=5.

                                                    Ответ: 5.

 4 способ - Решение иррациональных уравнений способом введения новой переменной.

                      Пример №4. Решить уравнение =х-11.

            Пусть (  ). Получим у² = х-3.

            Выразим х=у²+3. Далее выразим через у остальные члены уравнения:

            х-7=у²-4;  х-11=у²-8.

             Получим уравнение:  

             Уравнение имеет единственный корень, равный 3.

             Выполним обратную замену: х-3=3²,  х=12.            

                                                       Ответ: 12.

 5 способ - Решение иррациональных уравнений путем сведения уравнения к уравнению с модулем.

             Пример№5. Решить уравнение + =11.

         Исходное уравнение свелось к уравнению с модулем.

         Решим полученное уравнение с модулем и найдем его корни: х=-6      

         или х=5.

                              Ответ: -6; 5.      

Занятие № 2.2.

Тема:  Решение иррациональных уравнений вида )=g(x)

            возведением  обеих  частей в квадрат.

Цель занятия: совершенствование навыков решения иррациональных                уравнений вида )=g(x) способом возведения обеих частей в квадрат.

    Данное занятие предлагаем провести в форме практикума.                                      

    Фронтальная работа с классом. Обсуждение вопросов:

        - Какие уравнения называют иррациональными?

        - В чем состоит основная цель при решении иррациональных уравнений?

        - Какие существуют  способы решения иррациональных уравнений?

    Разобрать решение следующих уравнений в классе.

Задание: Решить уравнение, используя способ возведения обеих частей в квадрат.

                 А)   =4-х;        Ответ: 2.

                 Б)   =3-2х;        Ответ:  

                 В)   = х-2,5.    Ответ:2,5.

Провести проверочную самостоятельную работу по вариантам с последующей самопроверкой. Ответы к самостоятельной работе написать на доске.

          1 вариант.

Решить уравнение, используя способ возведения обеих частей в квадрат:

А)   3х+5 =;

Б)   = 2-х;

В)     х =.

         2 вариант

Решить уравнение, используя способ возведения обеих частей в квадрат:

А)  2х+= 7;

Б)   = х-5;

В)   - х =.

                       Ответы к самостоятельной  работе:

                     1 вариант                                     2 вариант

                        а)  0,75;                                        а)  -1;

                        б)  -1;                                            б) 10;

                        в)  0,5(1+).                               в) 0,5(1-).

Занятие №2.3.  

Тема: Решение иррациональных уравнений  вида )=g(x)  с помощью равносильной системы.

Цель занятия: совершенствование навыков решения иррациональных уравнений вида )=g(x) с помощью равносильной системы.

Предлагаем  организовать на занятии работу в творческих группах.

Для каждой группы предлагается одно и то же  задание. Группы обсуждают решение предложенных уравнений и показывают решение на доске. Оценивается скорость и правильность решения.  

Задание для группы:

 Решить уравнение с помощью равносильной системы.

1)  = х+7;                 Ответ: -3.

2)   =3-х;                  Ответ: 2

3)   =5-3х.                Ответ: 1.

     4)   3=2х-5.        Ответ: 7

     5)   = 2х+7;        Ответ:  корней нет  

     6)    2х =10               Ответ:  20; 5.  

Занятие № 2.4.  

Тема:  Решение иррациональных уравнений  с помощью свойств монотонности функции.

Цель занятия: совершенствование навыков решения иррациональных уравнений  с помощью свойства монотонности функции.

Занятие предлагаем провести в форме игры-соревнования. В данной игре оценивается командное первенство и личный результат. Учащиеся команды-победителя получают дополнительный балл  к  своему личному результату.

1 этап игры – командное первенство.

Класс делится на две команды. Задание №1 предлагается всему классу.  Отвечает тот, кто первый поднял руку. За правильное решение – 5 баллов. Эти баллы учитель  выставляет той  команде, в которой состоит ученик, решивший задачу.

2 этап игры – личный результат.

Учащимся предлагается задание №2 по вариантам, которое необходимо выполнить каждому ученику.

Результаты игры объявляются на следующем занятии с комментарием по решению уравнений.

Задание №1.

Решите уравнение, используя свойство монотонности функций:

     А) -=2;                    Ответ: 7;15.

Б) -=1;             Ответ:  -3;1.

В)   = 3+ .             Ответ: 12.

Задание №2.

Решите уравнение, используя свойство монотонности функций:

1 вариант.

А) - =2;

Б)  += 3-х;

В)   - =.

2 вариант.

А) - +1=0;

Б) 2+= 9-х;

В) - =1-2.

Ответы к заданию №2.

1 вариант:  а) 3; б) 1; в) 3.                         2 вариант:  а) -1; б) 4; в) -1.

Занятие № 2.5.

Тема: Решение иррациональных уравнений способом введения одной новой переменной.

Цель занятия: совершенствование навыков решения иррациональных уравнений способом введения новой переменной.

Форма проведения занятия – практикум.

Классу предлагается задание по карточкам на 2 варианта ( по желанию учителя вариантов может быть больше). Учащиеся самостоятельно выполняют  предложенное задание на своих местах, а в это время у доски работают по одному ученику от каждого варианта. Учитель проверяет правильность выполнения задания  у доски, затем учащиеся сверяют свое решение с решением у доски.

 Карточка №1.

Решите уравнение, введя новую переменную:

1)=;                                 Ответ: 7;12

2) - =х-4;            Ответ:13.

3) х²+11 +=42;                     Ответ: -5;5.

4) =.              Ответ:

Карточка№2.

Решите уравнение, введя новую переменную:

1)=;                              Ответ: -1; 2; 7.

2) + =х+6;         Ответ: нет корней.

3) 6-7=2х-8;                         Ответ:3,5; -14.

4) 10=13-.      Ответ:  

Занятие № 2.6.

Тема.  Решение иррациональных уравнений способом введения двух вспомогательных переменных.

Цель:  познакомить учащихся со способом решения иррационального уравнения вида ;

 совершенствование навыков решения уравнения вида  способом  введения двух вспомогательных переменных с последующим переходом к рациональной системе.

Занятие предлагается провести в форме лекции. На данном занятии разобрать решение следующих уравнений:

1)                         Ответ:  2.

2)                             Ответ: 3.

3)                             Ответ: -61; 30.

4)                              Ответ: 8.

5)                        Ответ: 5; 6; 7.

Занятие №2.7.

Тема.  Решение иррациональных уравнений различными способами.

Цель:  закрепить умения учащихся решать иррациональные уравнения предложенными способами.

Занятие предлагаем организовать в форме семинара.

В начале занятия проводится фронтальная работа с классом по теоретическому материалу занятия №2.1 ( понятие иррационального уравнения, способы решения иррациональных уравнений). Затем организовать проверку решения уравнений , предложенных учителем на предыдущем занятии в качестве домашней самостоятельной работы. Каждый  ученик получает карточку с заданиями (по вариантам).

По каждому заданию у доски работают по одному ученику от каждого варианта и показывают свой способ решения данного уравнения.

1 вариант

1. Решите уравнение:

     А)      Ответ: 9.

     Б)     Ответ:3.

2. Докажите, что уравнение не имеет корней:

3. Найдите корни уравнения:

                    Ответ: 0.

4. Используя свойства монотонных функций, решите уравнения:

      А)    ответ: 2.

      Б)      Ответ: 1; -1.

5. Решите уравнение, введя новую переменную:

           Ответ:

2 вариант

1. Решите уравнение:

     А)        Ответ: 4.

     Б)        Ответ: 5.

2. Докажите, что уравнение не имеет корней:

3. Найдите корни уравнения:

                     Ответ: корней нет.

4. Используя свойства монотонных функций, решите уравнения:

      А)    Ответ: 3.

      Б)       Ответ: 2; -2.

5. Решите уравнение, введя новую переменную:

           Ответ:

Занятие 2.8

Тема: Решение иррациональных уравнений вида  f(x)=0.

Цель: формировать  у учащихся  умение решать  иррациональные уравнения вида  f(x)=0;

Вначале занятия необходимо на решении одного из уравнений показать применение данного способа( можно использовать заготовку ещё одного решённого уравнения на слайдах, а также решения или ответы предложенных уравнений), а затем предложить учащимся решить несколько уравнений. В конце занятия проверить решение уравнений по заготовленным решениям.

Задания для закрепления:

Решите уравнения.

а)                                                      Ответ: -1 ; 3.

б)                                       Ответ:

в)   ;                                   Ответ:

г) ;                                    Ответ:

д) ;                                   Ответ:

е)                                  Ответ:  

Занятие № 2.9.

Тема. Решение иррациональных уравнений путем сведения уравнения  

             к  уравнению с модулем .

Цель:  совершенствование навыков  решения уравнений с модулем ;

           сформировать умения учащихся решать иррациональные  

           уравнения  путем сведения уравнения  к уравнению с модулем.

Данное занятие предлагаем провести в форме практикума. На занятии можно организовать соревнование по группам. Каждая группа получает карточку с заданием. Ученик, решивший первым задание, выходит к доске и показывает  решение предложенного уравнения. Если  решение верно, то всей группе начисляется 1 балл за  быстроту решения и 1 балл за правильность решения.

Остальные группы получают 1 балл за правильность решения. Та группа, которая наберет наибольшее количество баллов, получает дополнительный балл к контрольной работе по всему курсу.

Карточка с заданием.

        Решите уравнения путем сведения к уравнению с модулем.

          1)             Ответ: -6; 5.

          2)                Ответ: корней нет.

3)        Ответ:

4)    Ответ: 0

5)                              Ответ:

Занятие 2.10 .

Тема: Решение иррациональных уравнений, с применением формулы =  при  f(x)g(x)0.

Цель: формировать  у учащихся  умение решать  иррациональные уравнения с использованием формулы =  при  f(x)g(x)0.

Вначале занятия необходимо на решении одного из уравнений показать применение данного способа( можно использовать заготовку ещё одного решённого уравнения на слайдах, а также решения или ответы предложенных уравнений), а затем учащимся предлагается решить несколько уравнений с применением формулы =  при  f(x)g(x)0.

 В конце занятия проверить решение уравнений по заготовленным решениям.

Задания для закрепления:

Решите уравнения

Занятие 2.11.

Тема.     Зачётная работа.

Цель:   контроль полученных знаний.

Зачётная работа рассчитана на весь урок. Оценку работы предлагается проводить используя таблицу

Вариант № 1

1. Решите уравнение, используя определение арифметического корня

а) ;     б) .

2. Докажите, что уравнение  не имеет не имеет решения.
3. Решите уравнение, введя новую переменную

4. Используя свойство монотонных функций, решите уравнение

.

5.Решите уравнения:

а) ;  б) ; в)

Ответы: 1. а) -1;1 б) 4; 3.  4. 4; 5. а) -2; 0,75 б) -7 в) 7

Обобщающие занятие по курсу.

Цель занятия:  

• обобщить и систематизировать знания, полученные знания при изучении тем курса ;
• приобщить учащихся к самостоятельной и творческой  работе;
• развить  познавательный  интерес к предмету.

Занятие можно провести в форме конференции. Учащимся  для работы на конференции предлагается подготовить презентации по  изученным темам, подобрать интересные задания с готовыми решениями, исторические справки по темам  элективного курса