Лекция. Матрицы и определители
план-конспект по математике на тему

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Основные определения

Матрицей размера    называется прямоугольная таблица чисел,  содержащая   строк и   столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, А, В, С, …, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией:  где   - номер строки,  

 - номер столбца.  

Например,      Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы:

Две матрицы    и    одного размера называются  равными, если они совпадают поэлементно, т.е.    для любых   

Виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки, называется  матрицей-строкой (вектором-строкой), а из одного столбца – матрицей–столбцом (вектором-столбцом):

матрица-строка;  матрица-столбец.

Если число строк матрицы не равно числу столбцов (), то матрица называется прямоугольной. Таковы например матрицы:  

Матрица называется  квадратной  -го порядка, если число её строк равно числу столбцов и равно n.

Например,     - квадратная матрица третьего порядка.

Элементы матрицы   у которых номер столбца равен номеру строки  , называются   диагональными  и  образуют  главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы   Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица  назы-

вается  диагональной. Например,  - диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы  -го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется  единичной  матрицей  -го порядка, она обозначается буквой  .

Например,    - единичная матрица третьего порядка.

Матрица любого размера называется  нулевой, или  нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю:      .

Операции над матрицами.

 Умножение матрицы на число

Произведением  матрицы   на число   называется матрица   , элементы которой     при    .  Например, если   .

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Например,  

 В частности, произведение матрицы     на число  0 есть нулевая матрица, т.е.   .

Сложение матриц. Суммой двух матриц     одинакового размера

  называется матрица   , элементы которой   при     (т.е. матрицы складываются поэлементно).

Например,  

Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение: или прямоугольные типа   , или квадратные порядка .

В частном случае  

Вычитание матриц.  Разность  двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции:  

Умножение матриц.  Умножение   матрицы   A  на матрицу  В определено, когда число столбцов первой  матрицы  равно  числу    строк    второй.

Тогда   произведением матриц    называется такая матрица   ,  каждый элемент которой     равен сумме  произведений элементов  i-й строки матрицы  A    на соответствующие элементы -го столбца матрицы    B.    

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка. Пусть

,

Произведением этих матриц называется матрица С:

Пример. Вычислить произведение матриц   ,  

где  

Решение. Найдем размер матрицы-произведения  (если умножение матриц возможно):    .  Вычислим элементы матрицы-произведения С, умножая элементы каждой строки матрицы  A   на соответствующие элементы столбцов матрицы  В  следующим образом:

Получаем  .

     Многие свойства, присущие операциям над  числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из определений этих операций):

1. А+В=В+А.                      2.  (А+В)+С=А+(В+С).      3. (А+В)= 

4. А(В+С)=АВ+АС.          5.  (А+В)С=АС+ВС.           6.                      

7. А(ВС)=(АВ)С.

     Однако имеются и отличия.

     а) Если произведение матриц АВ существует, то после перестановки   сомножителей местами произведение матриц   ВА    может и не существовать. Действительно,     в   примере  получили   произведение  матриц     ,    а произведение     не существует, так как число столбцов первой матрицы  не  совпадает с числом строк второй матрицы.

     б) Если даже произведения  АВ  и  ВА  существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

     в) Когда оба произведения  АВ и  ВА существуют и оба – матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц  А и  В одного порядка), коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т.е.   

     В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы  -го порядка на единичную матрицу  Е  того же порядка, причем это произведение равно  А:   АЕ=ЕА=А.

     Таким образом, единичная матрица играет при умножении матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

     г) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что  не следует , что  А=О или В=О. Например,

 Возведение в степень.  Целой положительной степенью   квадратной матрицы  А называется произведение  m  матриц, равных А, т.е.

Заметим, что операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц. По определению полагают             

Нетрудно показать, что

Пример. Найти  

Решение. 

Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица  называется транспонированной относительно матрицы    А:

Из   определения   следует, что если матрица  А  имеет размер  , то   транспо- нированная матрица        имеет размер   

Например,    

В  литературе  встречаются     и   другие обозначения транспонированной матрицы, например  

 Свойства операции транспонирования:

1)               2)          3)           4)  

Определители квадратных матриц

     Необходимость введения определителя –  числа, характеризующего   квадратную матрицу А, тесно связано с решением систем линейных уравнений.

Определитель матрицы А обозначается  , D   или  det A.

     Определителем матрицы первого порядка , или определителем первого порядка, называется элемент :   . Например, пусть  , тогда .

Определителем матрицы второго порядка  , или  определителем второго порядка, называется число, которое находится по формуле

  Например, пусть   

тогда  

Пусть дана квадратная  матрица третьего  порядка  .

     Определителем матрицы третьего порядка  , или определителем третьего порядка, называется число, которое находится по формуле

     Пример. Вычислить определитель третьего порядка  

     Решение. 

     Определитель третьего порядка удобно вычислять по правилу треугольников (или по правилу Сарруса). Покажем это на схеме

 .

 Например,  

      высокого порядка, потре- буются некоторые дополнительные понятия.

     Минором   элемента   матрицы  А  n-го   порядка  называется   определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и  j-го столбца. Например, минором элемента   матрицы  А    третьего порядка будет  

Каждая матрица  n-го порядка имеет   миноров (n-1)-го порядка.

Алгебраическим дополнением  элемента   матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком       т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, если сумма номеров строки и столбца  () - четное число, и отличается от минора знаком, если   - нечетное число. Например,  

     Пример.   Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

     Решение       

     Определителем  квадратной матрицы А  n-го порядка  называется число, равное сумме произведений элементов 1-й строки на их алгебраические дополнения:    (разложение по элементам 1-й строки).

     Так, например, вычисление определителя  4-го порядка сведется к вычислению четырех определителей 3-го порядка.

     Знание свойств определителей позволит избежать громоздких вычислений.

Свойства определителей

1. Если какая-нибудь строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то её определитель равен нулю.
2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то её определитель  умножится на это число  .

     Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбц;  за знак матрицы можно выносить общий множитель лишь всех элементов.

3. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется:  
4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.
5. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны ( в  частности, равны), то её определитель равен нулю.
6. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов  любой её строки (столбца) на их алгебраические дополнения,  т.е.  

     7.  Сумма произведений элементов какой-либо  строки   (столбца)  матрицы   на

алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю, т. е.   .

     8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

     9.Если каждый  элемент  -й строки матрицы представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель этой матрицы равен сумме определителей таких матриц:  у первой из них -я строка состоит из первых слагаемых, а у второй – из вторых. Все остальные строки у всех трех матриц не изменятся.

Например,  

10. Сумма произведений произвольных чисел   на алгебраические дополнения элементов  любой  строки   (столбца)  равна   определителю   матрицы,

полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа  

     11. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , где ;  А  и  В  - матрицы n-го порядка.

     Замечание. Из свойства 10 следует, что даже если .

     Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисление, особенно определителей высоких порядков. При вычислении оп-ределителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с помощью свойств 1-9,  чтобы преобразованная матрица имела строку   (или  столбец),   содержа-щую как можно больше нулей, а потом найти определитель разложением  по   этой  строке (столбцу).

Обратная матрица

     Для каждого числа   существует обратное число ,  такое, что произведе-ние    .     Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

    Определение. Матрица  называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: .

     Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

     Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если  является необходимым и достаточным условием существования числа , то для существования матрицы  таким условием является требование  .  

     Если  определитель  матрицы  отличен  от  нуля  ,   то такая   квадратная

матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае  - вырожденной, или особенной.

 Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).  Обратная матрица   существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.    

     Алгоритм вычисления обратной матрицы 

     1. Находим определитель исходной матрицы.  Если ,  то матрица  А – вы-

рожденная и обратная матрица  не существует. Если , то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует.

     2. Находим матрицу , транспонированную к А.

     3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы  и составляем из них присоединенную матрицу : .

    4. Вычисляем обратную матрицу по формуле (1).

    5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы  исходя из ее определения  ( п. 5  не обязателен).

Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу  можно найти по следующей формуле:

, где  – определитель матрицы ,  – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: Как Вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом 

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы 

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

.

2) Находим матрицу миноров 

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель.

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае . 
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице 
Сначала рассмотрим левый верхний элемент

Как найти его минор?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы :

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:


Готово.

 – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений 

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:

Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

 – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

И всего-то лишь…

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ.

Вспоминаем нашу формулу 
Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Как проверить решение?
Необходимо выполнить матричное умножение  либо 

Проверка: 

Получена так называемая единичная матрица (с единицами по главной диагонали и нулями в остальных местах).

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три».