Спецкурс "Олимпиадные математические задачи в 10 классе"
методическая разработка по математике (10 класс) по теме

Занятие №3

Решение задач олимпиад прошлых лет

1) Изобразить на плоскости множество

2) Найти все решения уравнения .

3) Доказать, что не существует такого многочлена  с целыми коэффициентами, что ,

4) Решить уравнение

5) Найти вероятность делимости на 396 числа 5_383_8_2_936_5_8_203_9_3_76, где вместо каждой чёрточки стоит одна из цифр от 0 до 9 (каждая цифра используется ровно один раз).

6) Пусть некоторые положительные числа.                                          Найти минимальное значение выражения

7) Упростить выражение

8) Периметры некоторого равностороннего треугольника и правильного шестиугольника совпадают. Чему равно отношение их площадей?

9) Найти остаток от деления  где

10) Пусть  длины сторон треугольника. Доказать, что если                   , то треугольник является равносторонним.

Занятие №4

Решение задач олимпиад прошлых лет

1) Внутри окружности радиуса 1мм произвольно отметили 2013 точек. Существует ли прямая, которая проходит через одну из этих точек, оставляя по обе стороны от себя ровно 1006 точек?

2) Решить уравнение

3) Сколько отрицательных корней имеет уравнение                                            ?

4) На столе стоят 17 чашек, перевёрнутых вверх дном. За один ход можно перевернуть любые 8 чашек. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все чашки стояли правильно?

5) Вычислить значение выражения

7) Существует ли такое натуральное значение  , при котором число                 является точным квадратом?

8) Является ли число 55555555555525 квадратом целого числа?

9) Доказать, что если оси эллипса не равны между собой, то в него нельзя вписать правильный пятиугольник.

10) Решить систему уравнений  

Занятие №16

Соревнование между учащимися 10 класса

1) На полке стоит 26 книг по математике. Все эти книги были прочитаны ребятами. Известно, что 4 из них прочитал и Вася, и Петя. Коля прочитал 7 книг, которых не читали ни Вася, ни Петя и две книги, которые читал Вася. Всего Вася прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Петя?

2) Существует ли непрерывная на всей действительной прямой функция  такая, что   для всех действительных ?

3) На доске написаны числа: . За один раз можно выбрать из уже написанных чисел какие-то два, скажем, , и вместо них написать и . Можно ли за несколько раз получить тройку чисел:  ?

4) На столе лежит кучка из 37 спичек. Двое по очереди берут любое число спичек, не превышающее 6. При этом запрещается повторять последний ход противника. Выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку. Кто при правильной игре будет победителем: первый или второй игрок? И как он должен играть, чтобы выиграть?

5)  Пусть имеется четырёхугольник, вписанный в окружность, и его диагонали взаимно перпендикулярны. Доказать, что если прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей, перпендикулярна одной из сторон четырёхугольника, то она делит противоположную сторону пополам.

Домашнее задание №1

Доказать утверждения методом математической индукции:

1)

Домашнее задание №2

2) Для того чтобы числа  в указанном порядке образовывали геометрическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы                        Доказать.

3) Для того чтобы числа  составляли арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы числа  также образлвывали арифметическую прогрессию. Доказать.

Домашнее задание №3

Упростить алгебраические выражения:

3)

Домашнее задание №4

Упростить алгебраические выражения:

3)

Домашнее задание №5

Упростить алгебраические выражения:

1)

Домашнее задание №6

1) Известно, что  Чему равно  ?

2) Доказать, что

3) Построить график функции

Домашнее задание №7

Доказать тождества:

2)

3)

Домашнее задание №8

Доказать тождества:

1)

Домашнее задание №9

1) Некоторые ребята из нашего класса участвуют в школьных олимпиадах. Известно, что 15 ребят участвовали в олимпиаде по математике, 11 человек – в олимпиаде по физике, из них шестеро участвовали в обеих олимпиадах. Сколько человек участвовало в олимпиаде по физике?

2) Среди школьников 6 класса проводили анкетирование по любимым предметам. Самыми любимыми оказались 3 предмета: математика, биология и литература. Всего в классе 38 человек. Математику выбрал 21 ученик, среди которых ещё трое назвали литературу, шестеро – биологию, а один назвал все 3 предмета. Литературу назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу 2 предмета. Скольким ученикам нравится биология?

3) В магазин пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили апельсины, 11 человек купили бананы, а 10 человек не купили ничего. Сколько человек купили и апельсины, и бананы?

Домашнее задание №10

1) Определить, сколькими нулями оканчивается число 100!.

2) Какое наибольшее количество делителей имеет число

3) При каком наименьшем натуральном  число 2013! делится на ?

Домашнее задание №11

1) Кузнечик может прыгать на 5см против ветра, на 8см по ветру и ни в каком другом направлении. Число его прыжков в обе стороны неограничено. Может ли кузнечик удалиться от первоначального положения ровно на 2013см?

2) По плоскости ползает улитка, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. доказать, что она может оказаться в начальной точке своего движения только через целое число часов.

3) Доказать, что   число, кратное , изображаемое только нулями и единицами.

Домашнее задание №12

1) Доказать, что    

2) Доказать, что

3) Доказать, что

Домашнее задание №13

1) Имеется правильный 2013-угольник. Пусть его центр, а его вершины. Каждый из векторов  можно покрасить либо в красный, либо в синий цвет. Если  сумма красных векторов, а  сумма синих векторов, то можно ли раскрасить векторы так, чтобы угол между  и  составлял ?

2) Разрезать два данных квадрата на части, из которых можно сложить новый квадрат.

3) Даны две окружности: радиусов 10 и 17. Эти две окружности пересекаются, причём длина отрезка, соединяющего точки пересечения, равна 16. Найти расстояние между центрами окружностей.

Домашнее задание №14

1) На столе лежит кучка из 37 спичек. Двое по очереди берут любое число спичек, не превышающее 6. При этом запрещается повторять последний ход противника. Выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку. Кто при правильной игре будет победителем: первый или второй игрок? И как он должен играть, чтобы выиграть?

2) Витя и Саша играют в такую игру. Сначала Саша берёт прямоугольный листок клетчатой бумаги размером  и разрезает его на две части (линия разреза может быть и ломаной, но она должна идти по линиям прямоугольной сетки), затем Витя разрезает один из получившихся кусков на две части, затем это делает Саша и т.д. Проигрывает тот, кто не сможет сделать хода. Кто победит при правильной игре: Витя или Саша?

3) Игра начинается с числа 60. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на один из его делителей. Проигрывает тот, кто получит 0. Кто выиграет при правильной игре?

Домашнее задание №15

Вычислить пределы:

Домашнее задание №16

Вычислить пределы:

                  Вопросы к зачёту по летней практике (10 класс)

1) Общие формулы чётных и нечётных чисел. Свойства чётности.

2) Определение делимости для целых чисел. Любые три свойства делимости. Теорема о делении с остатком.

3) Виды натуральных чисел. Определение простого числа. Теорема Евклида о простых числах (с доказательством). Решето Эратосфена.

4) Функция Эйлера. Теорема Эйлера. Малая теорема Ферма. Великая теорема Ферма. Теорема Виета и теорема, обратная к ней.

5) Определение  Вычислить

6) Формулы

7) Формулы сокращённого умножения. Треугольник Паскаля. Свойства биномиальных коэффициентов.

8) Основные сведения и теоремы о графах.

9) Основная теорема арифметики. Основная теорема алгебры.

10) Планиметрические теоремы: Птолемея, Фалеса, Вариньона, Брахмагупты.

11) Запись числа в ичной системе счисления.

12) Принцип Дирихле. Понятие инварианта.

13) Пифагоровы тройки. Числа Фибоначчи. Понятие диофантова уравнения.

14) Понятия средних степенных для положительных чисел. Примеры. Основное соотношение.

15) Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса углов

16) Некоторые обозначения и кванторы.

17) Определения и основные формулы прогрессий.

18) Преобразования графиков функций.

19) Сформулируйте признаки делимости: на 2,3,4,5,7,8,9,10,11,18,25,32.

20) Формулы площадей простейших многоугольников и круга (для треугольника – 5 формул, для равностороннего – отдельно, для параллелограмма – 2 формулы), определения окружности и круга.

21) Теоремы: о средней линии треугольника, о средней линии трапеции, Фалеса, Птолемея, синусов, косинусов, тангенсов, Пифагора, обратная теореме Пифагора, о диагоналях ромба, о диагоналях параллелограмма, о пересекающихся хордах окружности, об описанной около треугольника окружности, о вписанной в треугольник окружности, о медиане равнобедренного треугольника, о вписанном четырёхугольнике, об описанном четырёхугольнике, свойства медиан и биссектрис треугольника, свойства биссектрис параллелограмма, четыре замечательные точки, о площади многоугольника на клетчатом поле, формулы Мольвейде.

22) Тригонометрия: основные тригонометрические тождества, формулы двойного угла, формулы тройного угла, формулы суммы, формулы сложения, формулы произведения, формулы понижения степени, формулы половинного аргумента, графики тригонометрических функций, определения и графики обратных тригонометрических функций, формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

23) Определение предела последовательности. Определение предела функции в точке (в частности, бесконечного предела и предела на бесконечности). Свойства пределов.

24) Определение производной функции в точке. Механический смысл производной. Геометрический смысл производной. Определение и примеры гладких функций. Определение возрастающей и убывающей (в широком и строгом смыслах) функций. Определение точки экстремума. Теорема Ферма. Достаточные условия существования экстремума в точке. Алгоритм нахождения наибольших и наименьших значений функции на отрезке.

25) Понятие комплексного числа и его геометрическая интерпретация. Основные понятия, связанные с комплексным числом. Формы представления комплексных чисел. Правила действий с комплексными числами. Формула Муавра. Неравенство треугольника и тождество параллелограмма.

26) Суть метода математической индукции.

Функция Эйлера

1) Вычислить .

2) Вычислить , где  простое число.

3) Доказать, что функция Эйлера обладает свойством мультипликативности.

4) Вывести формулу для вычисления .

5) Решить уравнение

7) Решить уравнение

8) Решить уравнение

Графики функций

Построить графики следующих функций:

1) ;

3)

4)

5)

6)  (не применяя метод сложения графиков);

7)

8)

Пределы

1) Доказать, по определению, что

2) Привести пример последовательности, предел которой равен 2014, доказав это по определению.

3) Привести пример последовательности, предел которой равен , доказав это по определению.

4) Привести пример последовательности, не имеющей предела, доказав это.

Вычислить пределы:

8)

Пределы

Вычислить пределы:

8)

Числа Фибоначчи

1) Некто приобрёл пару кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон загон. Сколько кроликов будет через год, если считать, что каждый месяц пара даёт в качестве приплода новую пару кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают приносить приплод? (Задача Леонардо Пизанского)

2) Чему равны числа Фибоначчи с отрицательными номерами ?

3) Доказать, что

4) Доказать, что  (Тождество Кассини)

5) Доказать, что

6) Доказать, что .

7) Доказать, что среди чисел  простым является только число 17.

8) Доказать, что

Целочисленные решётки

1) Существует ли правильный треугольник с вершинами в узлах целочисленной решётки?

2) Существует ли правильный шестиугольник с вершинами в узлах целочисленной решётки?

3) Можно ли прямоугольный треугольник с целыми сторонами расположить так, чтобы его вершины лежали в узлах целочисленной решётки, но ни одна из его сторон не проходила по линиям решётки?

4) Вершины треугольника  расположены в узлах целочисленной решётки, причём на его сторонах нет других узлов, а внутри него есть ровно один узел . Доказать, что  – точка пересечения медиан треугольника .

5) Известно, что прямая проходит через два узла целочисленной решётки. Доказать, что она проходит через бесконечное число узлов этой решётки.

6) На бесконечном листе клетчатой бумаги  клеток закрашено. Доказать, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов, каждый из которых будет содержать закрашенные клетки, и в любом вырезанном квадрате площади  площадь закрашенных клеток будет не менее  и не более

Системы счисления

1) Выполните сложение:  +

2) Составьте таблицу умножения в шестеричной системе счисления.

3) Выполните деление:

4) Выполните умножение:

5) Выполните вычитание: .

6) Переведите:

а)  в десятичную систему счисления; б)  в троичную систему счисления; в)  в восьмеричную систему счисления.

Системы счисления

1) Школьный учитель на вопрос, много ли у него в классе учеников, ответил: «У меня в классе 100 детей, из которых 24 мальчика и 32 девочки». Как понимать ответ учителя?

2) Петя задумал какое-то натуральное число от 1 до 1000. Сможет ли Коля отгадать, какое это число, задав Пете не более 10 вопросов, на которые Петя будет отвечать только «да» или «нет»?

3) Имеются три кучки спичек. Играют двое. Игроки по очереди могут брать любое, отличное от нуля, количество спичек из какой-то одной кучки. Выигрывает тот, кто забирает последнюю спичку. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?

4) В какой системе счисления число  является точным квадратом?

5) Верно ли, что канторово множество содержит бесконечно много точек?

Нестандартные уравнения

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Нестандартные уравнения

1)

2)

3)

4)

5) Решить в целых числах уравнение

6) Найти все значения параметра , при каждом из которых неравенство   выполнено

Производная

Вычислить по определению производные следующих функций:

1)             2) ;            3)

Вычислить производные функций, используя правила дифференцирования:

4)      5)      6)      7)

8) Вычислить производные  для случая параметрического задания функции:  

9) Вычислить производные обратных тригонометрических функций.

Производная

1) Имеются функции  Верно ли соотносятся их графики? Если нет, то можно ли убрать какой-нибудь из графиков так, чтобы два оставшихся соотносились верно?

2) Дифференцируема ли в точке  функция ? Выяснить это двумя способами.

3) Решить уравнение

4) Имеется забор длиной 100м, которым необходимо окружить земельный участок прямоугольной формы так, чтобы он имел наибольшую площадь. Как это сделать?

5) Доказать неравенство  при .

Тригонометрия

1) Доказать тождество

2) Определить знаки чисел:

3) Что больше:

4) Изобразить на плоскости множество

5) Вычислить:

Тригонометрия

Решить тригонометрические уравнения:

2)

3)

5)

6)

7)

8)

Тригонометрия

Решить тригонометрические уравнения:

2)

4) Доказать, что числа  являются корнями уравнения

5) Доказать тождество

Планиметрические задачи

1) Дан прямоугольный треугольник  с катетами  и  и две точки  и , такие, что  , ,  Найти площадь треугольника  

2) В трапеции  известны основания  боковые стороны ,  Найти радиус окружности, проходящей через точки  и  и касающейся прямой

3) Три окружности с радиусами 1, 2 и 3 попарно касаются друг друга внешним образом. Найти радиус окружности, проходящей через три точки попарного касания данных окружностей.

4) Окружности с радиусами  и R касаются друг друга внешним образом и касаются прямой в точках  и  Пусть  точка первой окружности, диаметрально противоположная точке . Отрезок  пересекается с первой окружностью в точке  Найти отношение  и

5) Доказать, что в трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения сторон лежат на одной прямой.

Планиметрические задачи

1) Два равнобедренных прямоугольных треугольника  и  с гипотенузами  и  расположены так, что  – четырёхугольник. Одна диагональ этого четырёхугольника равна  Найти его площадь.

2) Вывести формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника:               а)     б)

3) Три окружности с центрами , касаются друг друга внешним образом, как показано на рисунке. Пусть радиусы окружностей с центрами  соответственно. Доказать, что

4) В остроугольном треугольнике  проведены высоты . Доказать, что эти высоты являются биссектрисами внутренних углов треугольника .

5) В треугольнике  проведены биссектрисы  его внутренних углов, а  Доказать, что

Планиметрические задачи

1) Через данную точку, расположенную вне данной окружности, провести прямую, касающуюся окружности.

2)

Кубические уравнения. Метод Кардано

1) Дано уравнение  Доказать, что с помощью подстановки   это уравнение можно преобразовать к виду                           (неполное кубическое уравнение).

2) Вычислите дискриминант многочлена

3) Если  и , то какой корень даёт формула Кардано: простой или кратный?

4) Решите уравнение  по формуле Кардано.

Уравнения четвёртой степени. Метод Феррари

1) Доказать, что любое алгебраическое уравнение четвёртой степени можно преобразовать к виду

2) Запишем предыдущее уравнение в виде

Доказать, что при некотором  правая часть уравнения обращается в полный квадрат.

3) Пользуясь результатом предыдущей задачи, опишите метод решения произвольного алгебраического уравнения четвёртой степени (метод Феррари).

4) Решить уравнение    методом Феррари.

Необходимость и достаточность

В приведённых ниже высказываниях скобки нужно заменить одним из трёх выражений: «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». Причём, есть высказывания, для которых не подходит ни один из трёх вариантов.

1) Для того чтобы четырёхугольник был ромбом, ( ), чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны.

2) Для того чтобы число было чётным, ( ), чтобы оно было кратно 4.

3) Для того чтобы функция была непрерывной, ( ), чтобы она была гладкой.

4) Для того чтобы функция имела в некоторой точке экстремум, ( ), чтобы в этой точке её производная обращалась в нуль.

5) Для того чтобы плоская фигура имела конечную площадь, ( ), чтобы она была ограниченной.

6) Для того чтобы числовая последовательность имела предел, ( ), чтобы она была монотонной.

7) Для того чтобы некоторое сечение тела было кругом, ( ), чтобы оно являлось шаром или круговым цилиндром.

8) Для того чтобы плоские фигуры были равновеликими, ( ), чтобы они были равносоставленными.

9) Для того чтобы пространственные фигуры были равновеликими, ( ), чтобы они были равносоставленными.

10) Для того чтобы некоторое сечение тела представляло собой два непересекающихся круга, ( ), чтобы тело было несвязным.

11) Для того чтобы среднее арифметическое нескольких положительных чисел было равно одному из них, ( ), чтобы все эти числа были равны между собой.

12) Для того чтобы один из трёх векторов в пространстве являлся суммой двух других, ( ), чтобы эти векторы были компланарны.

13) Для того чтобы хорда окружности была перпендикулярна касательной, проведённой к этой окружности, ( ), чтобы данная хорда была диаметром.

14) Для того чтобы биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне четырёхугольника были взаимно перпендикулярны, ( ), чтобы этот четырёхугольник являлся параллелограммом или трапецией.

Периодические функции

1) Верно ли, что если  периодическая функция, а  непериодическая функция, то  периодическая функция?

2) Может ли сумма двух непериодических функций быть периодичной?

3) Может ли сумма двух периодических функций быть непериодичной?

4) Доказать, что если  периодическая функция, определённая на , причём , то не существует предела

5) Известно, что  периодическая функция. Периодична ли её производная?  

6) Известно, что производная некоторой функции периодична. Периодична ли сама функция?

7) Найти наименьший положительный период функции

8) Найти наименьший положительный период функции

9) Какое отображение осуществляет периодическая функция: инъекцию, сюръекцию или биекцию?

10) Привести пример периодической функции, имеющей ровно 2014 точек разрыва первого рода.

Конические сечения

 Привести уравнения квадрик к каноническому виду, определить их вид и выполнить соответствующий чертёж:

1)

2)

3)

4)

Периодические функции

Доказать непериодичность следующих функций:

4)

5)

7)

8)

9)

Геометрические неравенства

Преобразования плоскости

1) Имеет ли произвольный треугольник центр симметрии?

2) Перечислите основные виды преобразований плоскости, запишите соответствующие формулы и приведите по одному примеру.

3) Доказать, что между сферой и плоскостью можно установить биекцию.

4) Доказать, что комбинация двух инверсий является тождественным преобразованием.

5) Доказать, что любая прямая, проходящая через центр инверсии, является инвариантной фигурой относительно этого преобразования.

6) Пусть точки  неколлинеарны. Доказать, что если инверсия с центром в точке  переводит точки  соответственно в точки то

Разные задачи

1) Решить в целых числах уравнение

2) На плоскости дан отрезок. Построить геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под углом

3) Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то этот треугольник является равнобедренным.

4) Найти наименьший положительный период функции Дирихле.

5) Является ли функция

монотонной на своей области определения?

6) Решить уравнение

Разные задачи

1) Какой остаток даёт число  при делении на 17?

2) Дан равносторонний треугольник . Сторона   разделена на три равные части точками , а точка  делит сторону  в соотношении 1: 2, считая от вершины . Доказать, что .

3) Изобразить на плоскости область определения функции                            

4) Доказать, что площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле , где  полупериметр четырёхугольника,  его стороны (первая теорема Брахмагупты).

5) Одиннадцать школьников, уезжая на каникулы, договорились, что каждый из них пошлёт письма трём из остальных. Может ли случиться так, что каждый получит письма от тех, кому пишет сам?

Теория графов (лекционное занятие)

Геометрическая интерпретация графов. Особенности изображения графов. Полный граф. Дополнение графа. Степень вершины. Теорема о сумме степеней вершин. Теорема о количестве нечётных вершин. Теорема о вершинах одинаковых степеней. Теорема о двух вершинах одинаковых степеней. Путь в графе. Цикл. Простой цикл. Связный граф. Теорема о простом цикле. Мост. Признаки моста. Дерево. Лес. Теорема о деревьях. Изоморфные графы. Плоский граф. Грани. Формула Эйлера. Теорема Понтрягина-Куратова. Максимально плоский граф. Триангуляция графа. Триангулированный граф. Эйлеров путь. Эйлеров цикл. Эйлеров граф. Уникурсальная линия. Теорема о графе с эйлеровым циклом. Гамильтонов путь. Гамильтонов цикл. Гамильтонов граф. Свойства полных графов с цветными вершинами. Ориентированный граф. Степени входа и выхода. Источник. Сток. Путь в ориентированном графе.

Теория графов

1) В столовой предлагается обед, состоящий из трёх блюд и напитка. На первое можно выбрать щи или борщ, на второе – гречневую кашу или картофельное пюре, на десерт – пирожное или мармелад, а в качестве напитка имеется чай, апельсиновый сок и кофе. Сколько вариантов обеда можно составить?

2) Может ли случиться так, что в компании из 6 человек каждый знаком ровно с двумя другими?

3) В соревновании по круговой системе с 12 участниками провели все встречи. Сколько их было?

4) Спортивный турнир проводится по круговой системе. Доказать, что в любой момент времени найдутся хотя бы два игрока, проведшие одинаковое число встреч.

5) В городе 25 магазинов. Известно, что из любых трёх магазинов можно выбрать два, расстояние между которыми меньше одного километра. Доказать, что среди этих магазинов найдутся 13, лежащих в круге радиуса 1 километр.

6) В компании, состоящей из пяти человек, среди любых трёх человек найдутся двое знакомых и двое незнакомых друг с другом. Доказать, что эту компанию можно рассадить за круглым столом так, что по обе стороны от каждого человека будут сидеть его знакомые.

Теория графов

1) В лагере отдыхают 50 школьников. Известно, что среди любых четырёх школьников найдётся по крайней мере один, знакомый с тремя остальными. Доказать, что найдётся школьник, знакомый со всеми остальными школьниками.

2) В трёхмерном пространстве 8 точек расположены так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Проведено 17 отрезков, у каждого из которых оба конца лежат в упомянутых точках. Доказать, что найдутся три отрезка, образующие треугольник.

3) Каждый из семи мальчиков имеет в данной компании не менее трёх братьев. Доказать, что все мальчики – братья.

4) Группа, в составе которой Петя совершил туристскую поездку, состояла из пятнадцати человек. Вернувшись из путешествия, Петя рассказал, что каждый участник группы был ранее знаком ровно с пятью другими участниками. Не ошибается ли Петя?

5) В парке 9 озёр. Каждое озеро соединено с другими озёрами не менее чем тремя каналами. Какое наименьшее количество каналов может быть в этом парке?

6) В танце «Большая дружба» может участвовать не менее семи марсиан, у каждого из которых не менее пяти рук. Какое наименьшее число рук может быть у танцующих, если любая рука одного марсианина держит ровно одну руку другого марсианина?

Схема Горнера

Пользуясь схемой Горнера, определить частное (или же неполное частное и остаток) при делении многочлена  на многочлен . Записать для каждого случая теорему о делении с остатком.

1)  

2)  

3)  

4)  

5)  

6)  

7)  

8)  

Соотношения в треугольнике

Доказать, что в произвольном треугольнике имеют место следующие соотношения:

Теорема тангенсов

Теорема котангенсов

;