Проект "Софизмы и парадоксы"
проект по математике (10 класс) по теме

                                Проекная работа

                               «Математические софизмы и парадоксы.»

                                       Орлова Дарья Александровна,

                                          Орлов Александр Александрович.

                                        ГБОУ СОШ № 12 10 класс «А»

                          Руководитель:    Чудновская Татьяна Михайловна.

Цель работы:

1. Дать определение софизмам и парадоксам
2.  Определить сферу их применения
3.  Понять в чем различия и сходство между софизмами и парадоксами
4.  Выяснить ,как разбор математических софизмов развивает умение и навыки логического мышления .

Задачи:

1)  Привести примеры софизмов и парадоксов.

2)  Разобрать несколько примеров

3)  Понять , как найти ошибку в них

4) Проведя разбор софизмов , сделать вывод.

Как различить софизм и парадокс?

Проведя опрос, выяснилось, что дети, младше 12 лет, из которых 18 % опрошенных видят разницу между софизмами и парадоксами, а 82% - не видят, но дети, начиная с 14 лет, различают эти понятия , 54 % - видят разницу, а остальные , 46 % - нет. Итак, давайте же выясним:

Софизм:

• Софизм (от греч. слова, «мастерство , умение, хитрая выдумка, уловка») – это рассуждение, формально кажущееся совершенно безупречным, но содержащее на самом деле ошибку, в результате чего конечный вывод оказывается абсурдным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики
• Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
  Особенно часто в софизмах выполняют  «запрещенные»  действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.
  Пример софизма:
  - 5 есть 2+3 («два» и «три»). Два – число четное , три – нечетное, выходит, что пять – число и четное и нечетное.

Парадокс:

• Парадокс (греч. "пара" - "против", "докса" -"мнение") близок к софизму.                                           Но от него он отличается тем, что это не преднамеренно полученный противоречивый результат.
•   Парадокс – странное умозаключение , расходящееся с общепринятым мнением , высказывание, а также мнение, противоречащее здравому смыслу, на самом деле справедливо

Проведя опрос, выяснилось, что 10 % опрошенных двенадцатилетних детей и младше верят тому, что 2*2=5, а остальные, 90 % детей – не верят сказанному. Но после доказательства позиция изменилась: 74 % - поверили в это, а оставшиеся, 26 %, не изменили свою точку зрения.

А что касается четырнадцатилетних детей и старше, то до доказательства верили всего лишь 10 %, а остальные 90 % - нет. Но после доказательства 86 % согласились с тем, что 2*2=5, а остальные 14 % так и остались при своем мнении.

Логические парадоксы:

Это парадоксы, которые затрагивают сферы логики  и здравого смысла.

Дважды два равно пять.

Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b.

перемножим два последних равенства по частям. Получим:

                                       2 da- a*a=2 db-b*b

. Умножим обе части получившегося равенства на –1 и

прибавим к результатам d*d. Будем иметь:

                                 2 a-2da+2d=2b -2bd+2d,

или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2*2=5

 Где ошибка???

Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа

равны.

Софизм про медлительного Ахиллеса и черепаху:

Древнегреческий философ Зенон доказывал , что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев ,осаждавших древнюю Трою ,никогда не догонит черепаху ,которая , как , вы , конечно , знаете , отличается крайне медленной скоростью передвижения .

Вот примерная схема его рассуждений . Предположим , что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно И Ахиллес стремиться догнать черепаху . Примем для определенности , что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи и что их отделяют друг от друга 100 шагов.

Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов , отделяющее его от того места , откуда , начал свое движение черепаха , то в это местом месте Ахиллес ее уже не застанет , так как она пройдет вперед расстояние в 10 шагов . Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов , то и там черепахи уже не будет ,поскольку она успеет перейти на 1 шаг в новое место . Достигнув и этого нового места , Ахиллес опять не найдет там черепахи , потому что она успеет пройти расстояние , равное 1/10 шага , снова окажется несколько впереди его . Это рассуждение можно продолжать до бесконечности , и придется признать , что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно ползущую черепаху .

Один рубль не равен 100 копейкам.

Известно , что любые два равенства можно перемножить почленно , не нарушая при этом равенства , т.е.:

Если a=b и c=d , ac=bd

Применим это положение к двум очевидным равенствам

                                                   1 р. = 100 к

                                                   10 р. = 10 * 100 к.

Перемножая эти равенства почленно  , получим

                                                   10 р. = 100 000 к

И , наконец , разделив последнее равенство на 10 , получим , что

                                                  1 р. = 10 000 к.

Таким образом , одни рубль не равен ста копейкам.

Разбор математических софизмов и парадоксов. Это нужно для того, чтобы не совершать ошибок.

Разбор софизма :

Ошибка , допущенная в этом софизме , состоит в нарушении правила действий с именованными величинами :

Все действия , совершаемые над величинами , необходимо совершать также и над их разностями .

Действительно , перемножая равенства (1) и (2) , мы получим не (3) , а следующее равенство :

                                                       10 р.2 = 100 000 к.2 ,

Которое после деления на 10 дает :

                                                      1 р.2 = 100 000к.2 ,

а не равенство 1 р. = 100 000 к. , как это записано в софизме . Извлекая квадратный корень из равенства (*) ,получаем верное равенство

                                                       1 р. = 100 к.

ПАРАДОКС ПАРИКМАХЕРА.

Предположим, что в одном городе есть всего один парикмахер. И каждый день один мужчина бреется на лысо. Кто-то делает это самостоятельно, а кто-то у парикмахера. Выходит, что парикмахер бреет всех, кто не бреется самостоятельно.

Но возникает вопрос: парикмахер бреет себя сам? И возникает такое чувство, что ответить правильно просто нельзя.

Получается, что если парикмахер не бреется сам – он должен следовать правилам и брить себя сам. Но если он бреет себя сам – он не должен брить себя сам, ибо нужно соблюдать правила.

Брить или не брить ,  вот в чем вопрос…

ПАРАДОКС КУЧИ.

Встретились два приятеля, стали разговаривать. Вдруг взгляд одного из них упал на кучу песка.

- Видишь кучу песка? - спросил он. - А на самом деле ее нет.

- Почему? - удивился его приятель.

- Очень просто, - ответил он. - Давай рассудим: одна песчинка, очевидно, не образует кучи песка. Если n песчинок не могут образовать кучи песка, то и после прибавления еще одной песчинки они по-прежнему не могут образовать кучи. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучи, т. е. кучи песка нет.

Ответ:

Это "парадокс кучи". В приведенном рассуждении второй приятель воспользовался методом полной математической индукции. Однако этот метод нельзя применять в рассуждениях, подобных этой задаче, ибо в них не определено само понятие "кучи песчинок".

ПАРАДОКС ЛЖЕЦА.

Житель острова Крит, Эпименид, в своих стихах говорил:

Они создали гробницу для тебя, высший святой
Критяне, вечные лжецы, злые звери, рабы живота!
Но ты не умер: ты жив и будешь жив всегда,
Ибо ты живешь в нас, а мы существуем.

Однако он не понимал, что всех критян называл лжецами. Значит, он и себя называл лжецом. Если ему верить – то все критяне, как и он – лжецы. А если он был лжецом – значит, все критяне говорят правду. А если все критяне говорят правду – значит и он говорит правду. Таким образом, цепочка всех возможных рассуждений по этому поводу заканчивается и начинается с самого начала.

Впоследствии, Парадокс Эпименида приобрел более современное звучание: «Мысль изреченная – есть ложь!»

СТИХОТВОРЕНИЕ.

СОФИЗМ ВОРА:

Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.

СОФИЗМ МАГА:

«Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?» 
Если не может - значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.

ПЕСНЯ АНГЛИЙСКИХ СТУДЕНТОВ:

Чем больше учишься, тем больше знаешь.
Чем больше знаешь, тем больше забываешь.
Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.
Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.
Так для чего учиться?

  Папа поучает сына:
— Запомни, сынок, умный человек всегда во всем сомневается. Только дуpак может быть полностью уверенным в чём-то.
— Ты уверен в этом, папа?
— Абсолютно.

  К Эдисону пришёл молодой человек наниматься на работу.
— Над чем Вы думаете работать?— спросил Эдисон.
— Я хотел бы получить кислоту, разъедающую все известные материалы.
— Этого мне не нужно,— ответил Эдисон.
— Почему?
— А в чём я буду её хранить?

История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых, в свою очередь, вырастали новые софизмы и парадоксы.

Необходимо различать между собой парадоксы и софизмы. Парадоксы – это справедливые, хотя и неожиданные утверждения, в то время как софизмы – ложные результаты, полученные с помощью рассуждения, которые только кажутся правильными, но обязательно содержат ту или иную ошибку. И парадоксы, и софизмы очень поучительны и интересны. Практика обучения математике показывает, что поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Можно сколько угодно объяснить, что деление на нуль недопустимо, но учащиеся продолжает совершать одни и те же ошибки. В то же время эффектная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, в чём и состоит смысл софизма, демонстрация того какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилам, и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяет на эмоциональном уровне понять и «закрепить» то или иное математическое правило или утверждение. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому её пониманию и осмыслению и, кроме того, показывает, что математика - это живая наука, а не собрание закостенелых догм, выдуманных по чьей-то злой воле. Огромное число софизмом строится на основе таких известных еще со Средних веков парадоксов, как деление на нуль или равенство двух дробей, числитель и знаменатель которых имеют разные знаки. С одной стороны, нуль есть «ничто», а с другой стороны, на это «ничто» приводит к неверным результатам.

Позднее появились софизмы и парадоксы, связанные с осмыслением бесконечности, которые сыграли фундаментальную роль в развитии теории множеств и вообще современной математике.

                                                           Познавать, не размышляя, - бесполезно;

                                                           Размышлять, не познавая, - опасно.

                                                                                                              Конфуций.