Сборник задач по математике
творческая работа учащихся по математике (6 класс) на тему

ГБОУ СОШ №638 Пушкинского района

Санкт-Петербурга

Сборник

олимпиадных задач по математике

для 6 классов

«С миру по нитке…»

Учитель математики:

 Малышева Лидия Ивановна

Павловск 2017 г.

Оглавление

Задача №1        3

Задача №2        3

Задача №3        4

Задача №4        4

Задача №5        4

Задача №6        5

Задача №7        5

Задача №8        6

Задача №9        6

Задача №10        7

Задача №11        7

Задача №12        8

Задача №13        8

Задача №14        9

Задача №15        9

Задача №16        10

Задача №17        10

Задача №18        11

Задача №19        11

Задача №20        12

Задача №21        12

Задача №22        13

Задача №23        13

Задача №24        13

Задача №25        14

Задача №26        14

Задача №1

В магазин игрушек привезли кукол. К середине дня количество проданных кукол составляло      часть от числа привезенных. После того, как продали ещё одну куклу, число проданных кукол стало равно      числа привезенных. Сколько кукол привезли в магазин?

Решение:  Пусть  привезли  кукол, тогда  к середине дня  количество проданных кукол составило      , а после того, как продали еще одну куклу, стало      проданных кукол.

Составим уравнение        и, решив его, получаем  

Ответ: 30

Задача №2

Две коровы за два дня дают 16 литров молока. Сколько литров молока дают четыре коровы за шесть дней?

Решение:

2 коровы за 2 дня дают 16л.

2 коровы за 1 день дают  16:2 = 8л.

2 коровы за 6 дней дают  л.

4 коровы за 6 дней дают   л.

Ответ: 96  

Задача №3

Две коровы за два дня дают 16 литров молока. Сколько таких же коров за 6 дней дадут 96 литров?

Ответ: 4

Задача №4

Две коровы за два дня дают 16 литров молока. За сколько дней четыре таких коровы дадут 96 литров молока?

Ответ: 6

Задача №5

Маша и Саша приготовили мыльный раствор для мыльных пузырей. В стакане у Маши было 140 гр. 10% -го  мыльного раствора, а в стакане у Саши было 60 гр. 30% -го  мыльного раствора. У Маши пузыри не получались, тогда Саша предложил перелить содержимое из двух стаканов в колбу. Смогут ли Маша и Саша получить мыльные пузыри из раствора, содержащегося в колбе, если для этого нужен 16% - ый  раствор?

Решение:

Ответ: да.

Задача №6

Имеются склянка 20%-го раствора кислоты и склянка 40%-го раствора кислоты. Верно ли, что если из второй склянки берут на 50% больше раствора кислоты, чем из первой, то полученная смесь является 32%-ым раствором кислоты?

Решение:

Пусть из первой склянки берут  грамм  раствора. Заполним таблицу по условию задачи:

Рассчитаем содержание кислоты в смеси по формуле

Ответ: верно.

Задача №7

Можно ли разбить числа  1,2,3,…,30  на десять групп по три числа так, чтобы в каждой группе  одно из чисел  равнялось сумме двух других?

Решение:

Если сумма двух  натуральных чисел равна третьему, то сумма этих чисел –четна. Поэтому, если бы указанное разбиение существовало бы, то сумма всех 30 чисел равнялась бы сумме десяти четных чисел и была бы четной. Но сумма чисел 1+2+…+30 = 3115 = 465 нечетна.

Ответ: нельзя.

Задача №8

По периметру сада растет 20 кустов смородины.  Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 33 ягоды?

Решение:

Так как число ягод на соседних кустах отличается на единицу, то эти числа разной четности.

 Следовательно, кусты с четным числом и кусты с нечетным числом ягод чередуются, т.е. имеются 10 кустов с нечетным числом ягод и 10 кустов с четным числом.

Но тогда сумма всех ягод будет четным числом, так как сумма четного числа нечетных чисел – четна.

Ответ: нет.

Задача №9

Найдите все трехзначные числа, которые в одиннадцать раз больше суммы своих цифр.

Решение:

Пусть  – искомое трехзначное число, где  – цифры, причем .

Имеем   ,

или  .

  Откуда    .  

Так как , то .

 Следовательно, , или  .  

Поскольку   , то  ,  откуда  .

Ответ: 198

Задача №10

Верно ли, что при любом  1 справедливо неравенство:

Решение:

Для любого натурального  в левой части неравенства содержится ровно   слагаемых и каждое из них не превосходит последнего – наименьшего. Таким образом

Ответ: нет

Задача №11

Число   делится на 12.  Найдите все такие числа.

Решение:

Чтобы   делилось на 12 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4 и на 3. Необходимость очевидна, а достаточность следует из того, что числа  4 и 3 взаимно простые. Согласно признаку делимости на 3 и учитывая, что   – цифры, имеем .  Из признака делимости на 4 (число делится на 4, если двузначное число, образованное его двумя последними цифрами делится на 4) следует, что число   должно делиться на 4. Простым перебором находим, что .

Ответ: 200304, 200340, 200316, 200352, 200328, 200364, 200376, 200388.

Задача №12

Средний возраст 11-ти  игроков футбольной команды – 22 года. Во время матча один из игроков был удален. Средний возраст оставшихся игроков стал равен 21 году. Сколько лет удаленному игроку?

Решение:

Поскольку средний возраст определяется делением суммарного  возраста  на количество игроков, то суммарный возраст всех 11-ти игроков  равен  годам. Аналогично, суммарный возраст оставшихся игроков, после удаления одного их них, равен  лет. Следовательно, возраст удаленного игрока составляет 242-210=32 года.

Ответ: 32 года.

Задача №13

Известно, что 2% положительного числа  А больше, чем  3%  положительного числа В. Что больше:  5%  числа А  или 7%  числа В?

Решение:

Из условия задачи следует, что

,     откуда 2А3В,        или   10А14В.     Из последнего неравенства имеем: 5А7В, или .  Таким образом, 5% числа А  больше  7%  числа  В.

Задача №14

В шахматном турнире каждый шахматист сыграл с каждым по одному разу, и каждый шахматист все партии, кроме одной, завершил вничью. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если всего было зафиксировано 264 ничьи?

Решение:

Пусть в шахматном турнире участвовало     шахматистов.

Тогда, каждый из них всего сыграл   партий и из них, по условию,    партии закончил  в ничью.

Следовательно, всего ничьих было сыграно     , так как в каждой партии участвует два шахматиста.

С другой стороны, по условию в турнире всего было сыграно 264 ничьих.

Таким образом имеем уравнение   ,  из решения которого получаем два значения для   :    ,   .

По понятным причинам, второе значение постороннее.

Ответ: 24 шахматиста.

Задача №15

Перед началом стрельбы стрелок получил 4 патрона. После каждого попадания по мишени ему дополнительно выдавалось по 7 патронов. Стрельба закончилась, когда закончились патроны. Сколько раз стрелок попал по мишени, если всего он произвел 200 выстрелов?

Решение:

Пусть  – число попаданий стрелка по мишени.

Так как за каждое попадание стрелку дополнительно выдавалось  по 7 патронов, то общее число выстрелов равно .

Откуда    .

Ответ:  28 раз.

Задача №16

Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на все четные числа от 2 до 18.

Решение:

Найти наименьшее натуральное число, которое делится на все четные числа от 2 до 18, означает найти наименьшее общее кратное этих чисел.  Для этого разложим указанные числа на простые множители и выберем из них все простые делители в максимальных степенях.

Произведение полученных делителей и даст  нужное число.

Таким образом,  имеем:

Следовательно, искомое число есть  .

Ответ: 5040

Задача №17

Разность двух натуральных чисел умножили на их произведение. Могло ли в результата получится 45045?

Решение:

Предположим, что нашлись такие натуральные числа   и   ,   что .

Поскольку число 45045 – нечетно, то числа   и   – нечетные.

Но тогда их разность   – есть число четное и всё произведение тоже четное, вопреки нашему предположению.

Ответ: не могло.

Задача №18

В классе 36 учеников. Каждый мальчик в классе дружит ровно с четырьмя девочками, а каждая девочка – с пятью мальчиками. Сколько в классе девочек и сколько мальчиков?

Решение:

Обозначим  через      и     число мальчиков, и, соответственно, число девочек в данном классе.  

По условию имеем .

Назовем пару, состоящую из мальчика и девочки, дружной, если они дружат друг с другом.

Тогда, число дружных пар в классе, с одной стороны равно  ,  а с другой стороны  .

Следовательно,   .

Получили систему из двух уравнений  

Решив систему, получаем  

Ответ: 16 мальчиков и 20 девочек.

Задача №19

Произведение 22 целых чисел равно 1. Может ли сумма этих чисел равняться нулю?

Решение:

Произведение целых чисел может равняться 1 только в том случае, если каждое из них равно либо  +1   либо   -1, причем количество отрицательных сомножителей должно быть четно.

С другой стороны, чтобы сумма 22-ух чисел , каждое из которых  равно  +1   или   -1, равнялась нулю, необходимо, чтобы положительных и отрицательных чисел  было поровну, т.е. отрицательных единиц должно быть нечетное количество.

Получили противоречие.

Ответ: не может.

Задача №20

В корзине лежат 30 грибов. Среди любых 12 из них имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

Решение:

Среди 30 грибов должно быть не менее 19 рыжиков. В противном случае найдется 12 грибов, среди которых нет рыжика.

Аналогично, в корзине не менее 11 груздей, а следовательно рыжиков не более 19.

Поэтому рыжиков в корзине ровно 19, а груздей 11.

Ответ: 19 рыжиков и 11 груздей.

Задача №21

Определите, каких натуральных чисел от 1 до 100000 больше: тех, которые делятся на 6 , но не делятся на 7, или тех, которые делятся на 7, но не делятся на 6.

Решение:

Ясно, что среди первых 100000 натуральных чисел больше тех, которые делятся на 5, а не на 7.

Из чисел, которые делятся на 6, нужно удалить те числа, которые еще делятся и на 7.

А из чисел, которые делятся на 7 нужно удалить те числа, которые денлятся на 6.

В обоих случаях удаляются те числа, которые делятся на 42, т.е. удаляются одни и те же числа.

Ответ: больше тех, которые делятся на 6, но не делятся на 7.

Задача №22

На доске написано 11 целых чисел. Докажите, что из них можно стереть одно число так, что сумма оставшихся чисел будет четной.

Решение:

Если сумма одиннадцати  целых чисел четна, то среди них обязательно присутствует хотя бы одно четное число, которое  и можно стереть.

Если же сумма чисел нечетна, то среди них имеется, по крайней мере, одно нечетное число, после стирания которого сумма оставшихся чисел будет четной.

Ответ: ч.т.д.

Задача №23

Малыш и Карлсон считали деревья, обсаженные вокруг дома, идя в одном направлении, но начали считать с разных деревьев. Дерево, которое у Малыша было 20-ым, у Карлсона было 7-ым, а 7-ое у Малыша было 94-ым у Карлсона. Сколько деревьев росло вокруг дома?

Решение:

Заметим, что первое дерево у Малыша было 88-ым у Карлсона. А первое дерево у Карлсона  было четырнадцатым у Малыша. Следовательно, тринадцатое дерево у Малыша было последним у Карлсона.

Ответ: 100 деревьев.

Задача №24

Трое играют в настольный теннис на вылет, т.е. игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что первый игрок сыграл 10 партий, а второй 21 партию. Сколько партий сыграл третий игрок?

Решение:

Поскольку проигравший игрок пропускает только одну партию, то каждый из участников участвует не менее чем в половине партий. По условию, первый игрок сыграл 10 партий.  Поэтому общее число сыгранных партий не может быть больше, чем 102 + 1 = 21.  Следовательно, второй игрок участвовал во всех партиях,  а третий игрок сыграл 11 партий.

Ответ: 11 партий.

Задача №25

Два двузначных числа, записанных одно за другим, образуют четырехзначное число, которое в 3 раза больше их произведения. Найдите это число.

Решение:

 Пусть  и    -искомые числа.

Тогда  , откуда .  

Учитывая, что ,     получаем       

или   .

 Непосредственной подстановкой, убеждаемся,

что только при   целое число.

Ответ: 17, 34

Задача №26

Пройдя половину пути, автомобиль увеличил  скорость движения на 25% и прибыл в конечный путь назначения  на полчаса раньше. Сколько времени автомобиль находился в пути?

Решение:

Пусть  – длина пути,  –скорость автомобиля на первой половине пути. Тогда, скорость автомобиля на второй половине пути равна ; и , поскольку выигрыш во времени происходит только на второй половине пути, то     ;

Зная, что     находим  часа. Следовательно, автомобмль был в пути 2,5 + 2 = 4,5 часа.

Ответ: 4,5 часа.