Применение ИКТ при изучении функций в школьном курсе математики
учебно-методический материал по математике (10, 11 класс) на тему

Слайд 1

Функции и графики Методическая разработка по теме Автор Дроздова Наталия Геннадьевна преподаватель математики СПб ГБПОУ «Автодорожный колледж» Санкт-Петербург

Слайд 2

«Функции и графики» 1. Что такое функция? Определение 2. Графики элементарных функций 3. Свойства функ ций 5. Преобразование графиков функций Упражнения: Указать свойства функции 4. Как построить график по заданным свойствам функции

Слайд 3

Пусть есть 2 множества X и Y . Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу сопоставлен единственный элемент y из множества Y , то говорят, что задана функция у = f(x) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Y X 1 y 1 X 2 y 2 X 3 y 3 X 4 y 4 X f (закон)

Слайд 4

X 1 y 1 X 2 y 2 X 3 y 3 X 4 y 4 Говорят , что Y есть функция от Х y=f(x) При этом: X – область определения функции ООФ или D(y) Y – множество значений функции МЗФ или E(y) Х – независимая переменная или аргумент Y – зависимая переменная или функция Х Y

Слайд 5

1) Формулой х 1 2 3 4 5 у 1 8 15 20 22 Способы задания функции у = х 2 + 2х – 4 у = 3х f(x) = log 2 (3x+4) f(x) = cos 2x 2) Таблицей

Слайд 6

У= f ( х ) У Х 0 ось ординат ось абсцисс начало координат Способы задания функции 3) Графиком 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3

Слайд 7

У= f ( х ) У Х 0 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3 А(-2;1) В(1;-2) М( х ; У ) Графиком функции У= f ( х ) называется множество точек координатной плоскости имеющих координаты ( х ; f ( х )) или ( х ; У )

Слайд 8

Графики элементарных функций 1. Линейная функция у х У = х у = 2х у = - х y = кх + в к – угловой коэффициент 0 y = х к=1 y = 2 х к=2 y = - х к=-1 y = ½ х к= ½ 1 1 2 -1 y = ½ х

Слайд 9

Графики элементарных функций 1. Линейная функция: у х y = кх + в к – угловой коэффициент 0 y = х +2 y = х -2 1 1 2 -1 у = х-2 у = х+2 y = х -2

Слайд 10

Графики элементарных функций 1. Линейная функция: у х y = кх + в к – угловой коэффициент 0 y = х y = 2 х = 3 1 1 1 2 -1 -2 3 2 3 y = 2 х = 3

Слайд 11

Графики элементарных функций 2. Квадратичная функция у=ах 2 + b х + с 0 у х х 0 у 0 парабола Координаты вершины параболы : х 0 = - b 2а у 0 = а ( х 0 ) 2 + b х 0 + с если а > 0 Ветви параболы направлены вверх если а < 0 Ветви параболы направлены вниз а > 0 а < 0

Слайд 12

Графики элементарных функций Кубическая функция: у=ах 3 + b х 2 + сх + d кубическая парабола у х 0 у=х 3 1 1 -1 -1 у=х 3

Слайд 13

Графики элементарных функций 4. Обратно пропорциональная функция: У= гипербола к х у х 0 1 -1 1 -1 у х 0 1 -1 1 -1 у = 1 х у = - 1 х

Слайд 14

Графики элементарных функций 5. Модульная функция: у = |х| у х 0 1 1 -1

Слайд 15

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f ( х ) У х 0 • • а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 6 а 7 а 8 а 9 в 1 в 2 в 3 в 4

Слайд 16

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f ( х ) У х 0 а 1 а 9 1 . Область определения функции – это множество значений аргумента х при которых существует функция ООФ : Х є [ а 1 ; а 9 ]

Слайд 17

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f ( х ) У х 0 в 1 в 4 2 . Множество значений функции – это множество всех чисел, которые может принимать у МЗФ : у є [ в 4 ; в 1 ]

Слайд 18

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f ( х ) У х 0 а 2 а 4 а 6 а 8 3 . Корни ( или нули) функции – это такие значения х , при которых функция равна нулю ( у=0 ) f (x) = 0 при Х = а 2 ; а 4 ; а 6 ; а 8

Слайд 19

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f ( х ) У х 0 а 1 а 2 а 4 а 6 а 8 а 9 4 . Участки знакопостоянства функции – это такие значений х при которых функция больше или меньше нуля ( т.е. у > 0 или у < 0 ) f (x) > 0 при Х є ( а 1 ; а 2 ); ( а 4 ; а 6 ); ( а 8 ; а 9 )

Слайд 20

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f ( х ) У х 0 а 2 а 4 а 6 а 8 4 . Участки знакопостоянства функции – это такие значений х при которых функция больше или меньше нуля ( т.е. у > 0 или у < 0 ) f (x) < 0 при Х є ( а 2 ; а 4 ) ; ( а 6 ; а 8 )

Слайд 21

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f ( х ) У х 0 а 3 а 5 а 7 а 9 5 . Монотонность функции – это участки возрастания и убывания функции Функция возрастает при Х є [ а 3 ; а 5 ] ; [ а 7 ; а 9 ] а 1 Функция убывает при Х є [ а 1 ; а 3 ] ; [ а 5 ; а 7 ]

Слайд 22

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f ( х ) У х 0 а 3 а 5 а 7 в 2 в 3 в 4 Экстремумы функции F max (x) F min (x) F min (x) F max ( х ) = в 2 в точке экстремума х = а 5 F min ( х ) = в 3 в точке экстремума х = а 3 F min (x) = в 4 в точке экстремума х = а 7

Слайд 23

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f ( х ) у х 0 а 7 а 9 в 1 в 4 7 . Наибольшее и наименьшее значения функции (это самая высокая и самая низкая точки на графике функции) наибольшее значение F ( х ) = в 1 в точке х = а 9 наименьшее значение F (x) = в 4 в точке х = а 7

Слайд 24

у х F(x) = x 2 у х F(x) = cos x х 0 0 Х -Х СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Четные и нечетные функции Функция называется четной , если для любого Х из ее области определения выполняется правило f(x) = f( - x) График четной функции симметричен относительно оси У f(x) Х -Х f(x)

Слайд 25

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Четные и нечетные функции Функция называется нечетной , если для любого Х из ее области определения выполняется правило f(x) = - f(x) График нечетной функции симметричен относительно начала координат у х 0 у=х 3 х f(x) - f(x) - х у х 0 у = 1 х 1 -1 1 -1

Слайд 26

2 2 4 6 8 10 х -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 у -2 -4 у= f ( х ) Т = 4 Периодичность функций Если рисунок графика функции повторяется, то такая функция называется периодической , а длина отрезка по оси Х называется периодом функции (T) Периодическая функция подчиняется правилу f(x) = f( x+T ) СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

Слайд 27

2 2 4 6 х -2 -4 -6 0 4 6 у -2 -4 -6 у= f ( х ) Т = 6 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Функция y=f(x) - периодическая с периодом Т = 6

Слайд 28

1 1 2 3 4 5 х -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 у -1 -2 -3 -4 Указать свойства функции 1) ООФ 2) МЗФ 3) Нули функции 4) Функция положительная Функция отрицательная 5) Функция возрастает Функция убывает 6) Экстремумы функции F max ( х ) F min ( х ) 7) Наибольшее значение функции Наименьшее значение функции у= f ( х )

Слайд 29

1 1 2 3 4 5 х -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 у -1 -2 -3 -4 Указать свойства функции у= f ( х )

Слайд 30

2 2 4 6 8 10 х -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 8 у -2 -4 -6 -8 Указать свойства функции у= f ( х )

Слайд 31

2 2 х -2 0 у -2 Указать свойства функции у= f ( х )

Слайд 32

3 3 х -1 0 у -1 -4 -5 Построить график функции Дано: а) Область определения – есть промежуток [-4;3] б) Значения функции составляют промежуток [- 5 ;3] в) Функция убывает на промежутках [-4; 1 ] и [ 2 ;3] возрастает на промежутке [- 1 ; 2 ] г) Нули функции : -2 и 2

Слайд 33

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Зная график элементарной функции, например f(x) = x 2 можно построить график «сложной» функции, например f(x) = 3( x +2) 2 - 16 с помощью правил преобразования графиков

Слайд 34

Правила преобразования графиков 1 правило : C мещение вдоль оси Х Если к аргументу Х прибавить или отнять число, то график сместится влево или вправо по оси Х f(x) f( x±a ) преобразовать в 0 у х 0 у х 4 -4 F(x) = x 2 F(x) = (x+4) 2 F(x) = (x-4) 2

Слайд 35

Если к функции Y прибавить или отнять число, то график сместится вверх или вниз по оси Y f(x) f(x) ± a преобразовать в Правила преобразования графиков 2 правило : смещение вдоль оси У у х 4 - 4 0 у х F(x) = x 2 F(x) = x 2 + 4 F(x) = x 2 - 4

Слайд 36

Если аргумент Х умножить или разделить на число К , то график сожмется или растянется в К раз по оси Х f(x) f( к· x) преобразовать в Правила преобразования графиков 3 правило : C жатие (растяжение) графика вдоль оси Х у х F(x) = sin x F(x) = sin 2x

Слайд 37

Если к функции Y прибавить или отнять число, то график сместится вверх или вниз по оси Y f(x) f(x) ± a преобразовать в у х F(x) = sin x F(x) = sin х 2 Правила преобразования графиков 3 правило : C жатие (растяжение) графика вдоль оси Х

Слайд 38

Если функцию умножить или разделить на число К , то график растянется или сожмется в К раз по оси У f(x) к · f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 4 правило : сжатие (растяжение) графика вдоль оси У у х F(x) = cos x F(x) = 2cos x

Слайд 39

Если функцию умножить или разделить на число К , то график растянется или сожмется в К раз по оси У f(x) к · f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 4 правило : сжатие (растяжение) графика вдоль оси У у х F(x) = cos x F(x) = cos x 1 2

Слайд 40

Если перед функцией изменить знак на противоположный, то график симметрично перевернется относительно оси Х f(x) - f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 5 правило : переворот графика относительно оси Х у х F(x) = x 2 F(x) = - x 2

Слайд 41

Список использованной литературы 1. Ш.А. Алимов, Ю.М.Калягин, Ю.В.Сидоров и др. Алгебра и начала анализа, М., Просвещение. 2001 2. Дорофеев Г.В., Математика. Сборник заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы, М., Дрофа, 2004