Олимпиадные задания по математике для 6 класса
олимпиадные задания по математике (6 класс) на тему

Олимпиадные задания

6 класс

1. В двузначном числе А поменяли цифры местами и получили число В . Найдите такое А, чтобы сумма А+В делилась на 17.

2. На листке написано слово КОРОБКА. Разрешается взять любые две соседние буквы, поменять их местами и одну из этих двух букв заменить на любую другую. Как за пять таких операций превратить слово КОРОБКА в слово БАРАБАН?

3. В парке все велосипедные дорожки идут с севера на юг или с запада на восток. Петя и Коля одновременно стартовали из точки A и проехали на велосипедах с постоянными скоростями: Петя – по маршруту А - В - С, Коля – по маршруту A – D – E – F – C           (см. рис), причем оба затратили на дорогу по 12 минут. Известно, что Коля ездит в 1,2 раза быстрее Пети. Сколько времени Коля ехал по участку DE? На рисунке масштаб не соблюден.

4. Рабочие укладывали пол размера n× n плитками двух типов: 2 × 2 и 2 × 1 . Оказалось, что им удалось полностью уложить пол так, что было использовано одинаковое количества плиток каждого типа. При каких n такое могло получиться? (Резать плитки, а также накладывать их друг на друга нельзя.)

5. За круглый стол сели 12 человек, некоторые из них – рыцари, а остальные – лжецы (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Затем каждый из них сказал:

«Среди моих соседей есть лжец». Какое наибольшее число из сидящих за столом  может сказать: «Среди моих соседей есть рыцарь»?

Рекомендации по оцениванию:

Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7.

 Итог подводится по сумме баллов, набранных Участником.

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного решения; при проверке работы важно вникнуть в логику рассуждений участника, оценивается степень ее правильности и полноты;

б) олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи.

Ответы и решения

1. Ответ.   A = 89 или  А = 98

Подойдет A = 89 или   А = 98

 В обоих случаях А + В =187 = 17 * 11

.

2. Будем изменять слово КОРОБКА так: КОРОБКА  --- АКРОБКА  -- БАРОБКА --- БАРОБАН --- БАРБИАН --- БАРАБАН.

Замечание. Возможны и другие последовательности операций, например: КОРОБКА  --- КОРОБАН --- КОРББАН --- КОБАБАН --- КБРАБАН --- БАРАБАН

или же КОРОБКА --- КОУРБКА --- КОРАБКА --- ОБРАБКА --- БАРАБКА --- БАРАБАН.

3. Ответ. 1 минуту.

Проведем отрезок DH , как показано на рисунке. Коля ездит в 1,2 раза быстрее Пети, поэтому ему на дорогу по маршруту A  -  B - C потребовалось бы 12/1,2 = 10 (минут). Разность во времени 12 – 10 = 2  (минуты) – это время, затраченное на движение по отрезку DE вниз и движение по отрезку FH вверх. Из равенства DE=FH следует, что путь

DE Петя преодолеет за 1 минуту.

4. Ответ. При  n, делящихся на 6.

   Пусть рабочие использовали по x плиток каждого вида. Тогда площадь, занятая плитками, равна 4х + 2х = 6х  . Значит,  n2 должно делиться на 2 и на 3. Следовательно, n должно делиться на 2 и на 3, а поэтому и на 6.

    Если же n делится на 6, то пол уложить можно. Достаточно заметить, что прямоугольник 2 × 3 выкладывается из двух плиток – по одной каждого вида. А квадрат

6 k× 6 k  можно разрезать на прямоугольники 2 × 3

.

5. Ответ. 8.

   Заметим, что два лжеца не могут сидеть рядом (иначе каждый из них сказал бы правду). Значит, никакой лжец не может сказать вторую фразу.

    С другой стороны, 3 рыцаря также не могут сидеть рядом (иначе средний солгал бы, говоря, что у него есть сосед-лжец). Значит, среди любых трех сидящих подряд есть лжец, то есть не более двух из них могут сказать вторую фразу. Разбивая сидящих на четыре тройки сидящих подряд, получаем, что не более 4 * 2 = 8 человек могли сказать вторую фразу.

   Ровно 8 (рыцарей) из сидящих за столом могли сказать требуемую фразу, если за столом люди сидят в таком порядке: ЛРРЛРРЛРРЛРР.