Дидактические материалы для занятий математического кружка "Математика +" 7 класс. Занятие28. Построение графика линейной функции, содержащей знак модуля
план-конспект занятия по математике (7 класс) на тему

Построение графиков линейных функций, содержащих знак модуля.

Урок2

Пример 1

Построим график функции

Выражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак в точке х=2/3. При х<2/3 функция запишется так:

При х>2/3 функция запишется так:

То есть точка х=2/3 делит нашу координатную плоскость на две области, в одной из которых (правее) мы строим функцию

а в другой (левее) – график функции

Строим:

Пример 2

Следующий график – также ломаная, но имеет две точки излома, так как содержит два выражения под знаками модуля:

Посмотрим, в каких точках подмодульные выражения меняют знак:

Расставим знаки для подмодульных выражений на координатной прямой:

Раскрываем модули на первом интервале:

На втором интервале:

На третьем интервале:

Таким образом, на интервале (-∞; 1.5] имеем график, записанный первым уравнением, на интервале [1.5; 2] – график, записанный вторым уравнением, и на интервале [2;∞) - график по третьему уравнению:

Строим:

Пример 3.

Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||. Выражение, задающее функцию, содержит «вложенные модули».

Решение.

Воспользуемся методом геометрических преобразований.

Запишем цепочку последовательных преобразований:

y = x             →            y = |x|            →               y = -|x|               →                y = -|x| + 1      →   y = |-|x| + 1|     →        y = -|-|x| + 1|   →               y = -|-|x| + 1| + 2  →               y = |2 –|1 – |x|||.

выполним поэтапное построение графика:

1. y = x  

2. y = |x|            

3. y = -|x|              

4. y = -|x| + 1      

5. y = |-|x| + 1|    

6. y = -|-|x| + 1|  

7. y = -|-|x| + 1| + 2  

8. y = |2 –|1 – |x|||.

Пример4.

Построим график  функции  y = |x + 1| – |x – 2|

Решение.

Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.

Возможны четыре случая:

x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 и x ≥ 2;

-x – 1 + x – 2 = -3, при x < -1 и x < 2;

x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 и x < 2;

-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, при x < -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тогда исходная функция будет иметь вид:

          3, при x ≥ 2;

y =    -3, при x < -1;

         2x – 1, при -1 ≤ x < 2.

Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке

Алгоритм построения графиков функций вида

y = a1|x – x1| + a2|x – x2| + … + an|x – xn| + ax + b.

В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции?

Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы приблизились к правилу построения таких графиков:

Графиком функции вида y = a1|x – x1| + a2|x – x2| + … + an|x – xn| + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньях.