Применение свойств показательной и логарифмической функций в профессии "Повар"
план-конспект урока по математике (10 класс) на тему

Государственное бюджетное  образовательное учреждение

Саратовской области

начального профессионального образования

«Профессиональное  училище №77»

МАТЕМАТИКА

ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ

ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ

 В ПРОФЕССИИ «ПОВАР» И В ЖИЗНИ

Преподаватель Дадатченко Т.А.

п. Степное.

Введение

     Наиболее действенным средством в формировании знаний и умений  учащихся выступают задачи с производственно-техническим содержанием, как наиболее распространенная форма осуществления профессиональной направленности на уроках математики. Использование межпредметных связей математики и специальных дисциплин позволяет решить ряд важных задач:

  1.Показать учащимся комплексность использования математических закономерностей в современном производстве и его структурных частях ( технике, технологии и т.д.)

  2. Убедить учащихся в том,  что рабочим разных профессий необходима не только специальная, но и математическая  подготовка, без которой нельзя заниматься рационализацией, изобретательством.

  3. Формировать на уроках математики и специальных дисциплин  общетрудовые

( планирование, организация рабочего места..) и некоторые общепроизводственные

 ( измерительные, вычислительные, исследовательские ) умения.

Тема урока:             Практическое применение свойств показательной и

                                 логарифмической функций в профессии «повар» и в жизни

Цели урока:            1) Наглядно, с помощью задач, показать учащимся практическое

                                 применение свойств показательной и логарифмической функций;

                                 2) Способствовать развитию познавательных интересов,

                                 прививать интерес к предмету «математика»;

                                 3) Формировать умение переноса знаний в новую ситуацию,

                                  развивать математический кругозор.

Тип урока:               Закрепление и совершенствование знаний и умений.

Методы обучения: Тестовая проверка уровня знаний, взаимопроверка, решение

                                 познавательных задач, создание проблемной ситуации, решении

                                 кроссворда.

Уровень усвоения :  II – III

Методическое обеспечение : Интернет  сайт «Фестиваль педагогических идей»;  

                                  Апанасов П.Т. « Сборник экономических задач с  практическим

                                  содержанием» ;

                                  Перельман Я.И. «Занимательная алгебра».

Материал для повторения : определения и свойства показательной и

                                  логарифмической функций.

 Межпредметые связи: кулинария  (тема «Дрожжевое тесто»),

                                       астрономия (тема «Световые явления»),

                                       геометрия  (тема « Отношение площадей и объёмов

                                       подобных фигур»),

                                       психология (тема «Психофизические явления»).

 Оборудование:      интерактивная доска, компьютер, презентация урока,

                                 тесты, калькуляторы, рабочая  тетрадь, таблицы Брадиса.

План урока:

1. Организационный момент – 1 мин.

2. Повторение материала  - 2 мин.

3. Тест  ( с взаимопроверкой) – 7 мин.

4. Решение задач на применение свойств показательной и логарифмической

   функций в профессии ( три задачи по 5, 6 и 8 минут соответственно).

5. О применении свойств показательной и логарифмической  функций в других

    областях науки  - 4 мин.

6. Решение кроссворда  - 4 мин.

7. Итоги урока – 2 мин.

8. Домашнее задание -1 мин.

Ход урока:

1. Организационный момент

    Учащиеся часто задают мне вопрос «Зачем мы учим математику, ведь мы будем поварами?». Американский  психолог Джером Брунер однажды заметил : «Откуда мне знать что я думаю, пока я не почувствую, что я делаю» и поэтому на сегодняшнем уроке мы с вами рассмотрим как применяются свойства показательной и логарифмической функций, которые вы уже изучили, в вашей профессии «повар» и в жизни.

2. Повторение материала

Цель: повторить определения показательной и логарифмической функций.

Повторение проводится в форме индивидуального опроса.

Итак, прежде всего вспомним определения показательной и логарифмической функций и условия их существования.

? Дайте определение показательной функции.

Ответ: Функция, заданная формулой у = ах, где а >0, а ≠ 1 называется показательной функцией с основанием а.

? Дайте определение логарифмической функции.

Ответ: Функция заданная формулой у = logax ,где а >0, а ≠ 1 называется логарифмической функцией.

Спасибо! Определение функций вы знаете, а теперь повторим свойства данных функций.

3. Тест ( с взаимопроверкой)

Тема теста «Свойства показательной  ( I вариант ) и логарифмической ( II вариант) функций»

Цель: контроль ( взаимоконтроль ) знаний и приведение в систему знаний по свойствам показательной и логарифмической функций.

Работа проводится в двух вариантах. Каждому учащемуся раздаются тесты, на котором они отмечают ответы.

Тест окончен.

Учащиеся меняются листочками с соседями по парте, открываются правильные ответы и  критерии оценки. Учащиеся проверяют листочки и выставляют оценки.

Критерии оценки: 9 – 10  → «5»

                                8  - 7    →  «4»

                                6 – 5    → «3»

                                4 и <    → «2»

Проверенные тесты сдают преподавателю.

? Какой вопрос был самым сложным в I варианте - ?, во   II варианте?

«5» есть? , «4» есть? Очень хорошо!

4. Решение задач на применение свойств показательной и логарифмической

функций в профессии.

Цель: С помощью задач показать учащимся практическое применение свойств показательной и логарифмической функций.

Две задачи на применение свойств данных функций решают учащиеся, третью задачу, с созданием проблемной ситуации, решаю сама.

Итак, свойства функций вы знаете, а теперь посмотрим, как они применияются в жизни и в вашей профессии.

  Показательная и логарифмическая  функции служат моделью для широкого класса процессов и явлений, происходящих в природе. Применение показательной функции опирается на ее основное свойство: при изменении значения одной величины на одно и тоже число, значение другой возрастает или убывает в одном и том же отношении.

 С примерами быстрорастущих функций человек столкнулся давно.

• По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т. е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому - распространение в Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием
• Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 • 1014. Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.
• Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число «потомков» одного растения равнялось бы
  243 • 1015 или приблизительно 2000 растений на 1 м2 суши.

И в вашей профессии – «повар» можно применить свойства показательной функции.

Я предлагаю вам для самостоятельного решения такую задачу:

    В начале дрожжерастительного процесса масса дрожжей составляет 70 кг. Сколько будет дрожжей через 6 часов, если увеличение дрожжей на каждый кг. выражается показательной функцией Р = 1,2t, где  Р – масса,  t – время. Подсчитать значение для всех целых значений t  от 1 до 6, составив таблицу.

Учащиеся решают задачу самостоятельно, затем один из них объясняет решение у доски.

Решение:

M = m0·P = 70·2,98 = 209,02 кг. Ответ: 209,02 кг.

   Применение логарифмов основано на нахождении степени  «в» в выражении ав =с

И при введении логарифмов все действия, которые раньше сводились к умножению и делению чисел, свелись  к сложению и вычитанию их логарифмов.

Итак, рассмотрим еще одну задачу:

  Количество дрожжей Р, получаемое через t  часов после начала брожения выражается формулой Р = Р0· еmt. Чему равен коэффициент m , если из 5 кг. дрожжей через 12 часов получилось 40 кг? В течении какого времени масса дрожжей удваивается?.

 У доски задачу решает учащийся.

Ро = 5 кг.                                         Решение:

Р = Ро еmt                          Так как  Р = Ро emt, то получаем  40 = 5 emt,  e12m = 8.

t = 12 ч.                          Прологарифмируем это выражение по основанию e.

Р = 40 кг.                       ln emt = ln8;    используя свойства логарифмов получим

m =?                              12m· lne = ln8;  т.к. lne = 1, то 12m =ln8.

P(t) =2Po, t = ?              Используя таблицы логарифмов, имеем 12m = 2,079,

                                      m = = 0,173.

Чтобы ответить на второй вопрос составим уравнение  5e0,173t = 10,  e0,173 = 2,  или логарифмируя обе части равенства  lne0,173t  = ln2;    0,173t = 0,693  отсюда t = 4 часа.

                                                                                                             Ответ: 0,173; 4 часа.

 Как вы видите, свойства показательной и логарифмической функций применяются и в вашей профессии. Ещё их используют при расчете диетического питания. Вам, как поварам, такие расчеты делать не обязательно, вы пользуетесь уже составленным меню, но людям, которые их составляют ( технологи, калькуляторы), необходимо знать и математику.

 Рассмотрим такую задачу:

   Так называемая «поддерживающая» диета ( то есть питание, которое лишь пополняет траты организма на теплоотдачу, работу внутренних органов, восстановление отмирающих клеток) пропорциональна наружной поверхности тела. Зная это, определите калорийность поддерживающей диеты для человека, весящего 42 кг, если человек весом 63 кг нуждается в 1200 калориях.

 Решение: надобится кроме алгебры, привлечь на помощь геометрию. Согласно условию задачи, искомая калорийность х пропорциональна поверхности тела, т.е  = , где S1  - поверхность человека, весящего 63 кг.

Так как поверхности подобных тел относятся как квадраты их линейных размеров, а объемы ( и, следовательно, веса) – как кубы линейных размеров, то имеем:

 = ;    =  и значит  = . Отсюда

 = = =  =.

Тогда   х = 1200·. Логарифмируем обе части  и используем свойства логарифмов:

lnx = ln(1200·) = ln 1200 + ln4 -ln9 = 7,09 + ·1,386  - ·2,197 = 6,82

 Таким образом lnx = 6,82, отсюда х = е6,82 = 915 (кал).

Ответ 915 калорий.

 - Вопросы есть?

5. О применении свойств показательной и логарифмической  функций в других

областях науки.

Цель: Придать привлекательность и поднять интерес к предмету неожиданными примениями алгебры к практической жизни и различным областям науки.

  Итак, мы с вами  рассмотрели несколько задач на применение свойств показательной и логарифмической функций в профессии. Однако, свойства этих функций, с момента своего появления, нашли широкое применение и в других областях науки: в биологии, физике, экономике, астрономии, психологии и т.д.

  В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемым показательной функцией. Например, температура чайника изменяется со временем t согласно формуле

           Т = Т0+ (100 – Т0) еrT.

   Процессы выравнивания также можно наблюдать при включении и выключении электрического тока в цепи, при падении тел в воздухе с парашютом. В биологии процесс выравнивания встречается при разрушении адреналина в крови; о работе почек судят по их способности выводить радиоактивные вещества, количество которых уменьшается по показательному закону.

   Процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз,

 т. е. по закону показательной функции, называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества - процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови.

  Астрономы распределяют звезды по степени их яркости на светила первой величины, второй величины и т.д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии, но физическая яркость их измеряется по другому закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Таким образом, оценивая яркость звезд, астрономы оперируют с таблицей логарифмов по основанию 2,5.

  Сходным образом оценивается и громкость звука. Влияние промышленных шумов на здоровье рабочих побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит «бел», практически  - его десятая  доля – «децибел». Значит громкость шума , выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы. Рассмотрим насколько примеров:

• Шелест листвы оценивается в 1 бел (10 дб)
• Шум дождя – 2 бела (20 дб)
• Шум автомобиля – 6 бел (60 дб)
• Громкая разговорная речь – 6,5 бел
• Рычание льва – 8,7 бел
• Удар молотка о стальную плиту –11 бел
• Выступление рок группы – 12 бел

Шум, громкость  которого больше 8 бел, признается вредным для человеческого организма. И совершенно не  случайно, что при оценке видимой яркости светил и при измерении громкости щума, мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения. И то, и дргое – следствие общего закона, называемого психофизическим законом Фехнера гласящего:

Величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения . 

Я  надеюсь что на этом роке величина раздражения имела логарифм с не очень большим основанием.

6. Решение кроссворда

Цель: отыскать слово «благодарности».

А теперь я хочу поблагодарить всю группу , и ребят помогавших на уроке и казать вам слово благодарности,  но его надо отгадать. Итак, небольшой кроссворд:

1.Одна из тригонометрических функций ( синус)

2. Функция, заданная формулой f(x) = xn ( степенная)

3.Логарифм по основанию е ( натуральный)

4. Четная тригонометрическая функция ( косинус)

5. Как называется а в записи ах = в ( основание)

6.Фамилия ученого составившего четырехзначные математические таблицы(Брадис)

7. «Отношение чисел» - в переводе с греческого (логарифм)

Итак, я хочу вам сказать за урок «спасибо»!

Спасибо вам за то что вы в ПУ пришли учиться,

Что не даете нам состариться душой,

Лишь ради вас здесь продолжаем мы трудиться

Хоть не легко приходится порой.

Нас заставляете учиться до сих пор вы,

Сидеть за книгами порою до рассвета,

Знать всех певцов, быть в курсе всех событий,

Спасибо вам огромное за это!

7. Итог урока

1.? –Что нового вы узнали сегодня на уроке?

  - Как вы оцениваете сегодняшний урок?

2. Дается оценка работы группы и отдельных учащихся.

Д/з: Найти, в каких областях науки еще применяются свойства показательной и логарифмической функций.

Анализ урока.

   Данный урок  был заключительным после изучения тем «Показательная функция»,

«Решение показательных уравнений и неравенств», «Логарифмическая функция», «Решение логарифмических уравнений и неравенств» и на этом уроке я постаралась показать, как связана математика с профессией «повар»  и с жизнью, поэтому  я выбрала тип урока: закрепление и совершенствование знаний и умений.

  Считаю, что цели, поставленные в начале урока, реализованы полностью, была обеспечена их комплексность и взаимосвязь. При решении  данных задач я учитывала , что группа неравномерна в своих знаниях, одни учащиеся могут работать только при  непосредственном участии преподавателя, другие нуждаются  в небольшом контроле со стороны учителя, третья группа  учащихся может работать самостоятельно.

  Выбранная структура урока была рациональна для решения поставленных задач. Время отведенное на этапы урока. было распределено правильно, но в начале урока при решении теста, времени  было затрачено больше запланированного, поэтому при   разгадывании кроссворда пришлось время уменьшить, что однако не сказалось на результатах. Связь между этапами урока была логичной.

  Соблюдался дифференцированный подход к учащимся,  тесты  и задачи были составлены  с учетом знаний и умений учащихся данной группы. Контроль усвоения знаний, умений и навыков осуществлялся во время индивидуального опроса, тестирования, при решении задач, при разгадывании кроссворда.

  Во время урока была обеспечена высокая работоспособность практически всех учащихся, за счет разнообразия форм работы на уроке, хорошей психологической атмосферы.

  Считаю, что такие уроки помогают понять учащимся для чего они изучают математику, и каким образом она может пригодиться в жизни и выбранной им профессии.