Дидактический материал по теме "Проценты", 5 класс
учебно-методический материал по математике (5 класс)

Дидактический материал по теме "Проценты"

1. Немного теории.

Процентом числа называется сотая часть этого числа.
Обозначают процент знаком %.
Читают 5% - пять процентов; 1% - один процент

1% =  , или 1% = 0,01

Например: 1 копейка равна  рубля, или 1%

Если 1% = , то  100% - это 1.

ЗАПОМНИ!

ПОЛЕЗНЫЕ СОВЕТЫ

1.) ЧТОБЫ ОБРАТИТЬ В ПРОЦЕНТЫ ДЕСЯТИЧНУЮ ИЛИ ОБЫКНОВЕННУЮ ДРОБЬ, УМНОЖЬТЕ ЕЁ НА 100%.

2.) ЧТОБЫ ПРОЦЕНТЫ ЗАПИСАТЬ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБЬЮ, НАДО ЧИСЛО ПРОЦЕНТОВ РАЗДЕЛИТЬ НА 100 (ИЛИ УМНОЖИТЬ ЧИСЛО НА 0,01).

Например:
0,03 = 0,03  100% = 3%
28% = 28:100= 0,28

3.)   =  ∙ 100% =  = 60%.

ЗАДАНИЕ:  Сколько килограммов составляет от тонны:
1%;  9%;  65%; 100%; 120%; 200%.

Решение.

1) 1т = 1000кг                1% = , значит, 1000 : 100 = 10, т.е. 10кг - 1% от 1т

2) 10 ∙ 9 = 90 (кг) - 9% 1т

3) 10 ∙ 65 = 650 (кг) - 65% 1т

4) 10 ∙ 100 = 1000 (кг) - 100% 1т

5) 10 ∙ 120 = 1200 (кг) - 120% 1т

6) 10 ∙ 200 = 2000 (кг) - 200% 1т

2. Основные виды задач на проценты.

АЛГОРИТМ  "Нахождение  n% числа А"
1 способ.

1) Найдите 1% числа А, для этого разделите А на 100, получите  (это 1% числа А).
2) Умножьте  на n, получите   (это n% числа А).

2 способ.

1) Переведите n% в десятичную дробь, получите 0,01 ∙ n.
2) Умножьте А на 0,01 ∙ n.

Замечание: Задача на нахождение n% числа А - это задача на нахождение части от целого.
Чтобы найти n% данного числа, достаточно это число разделить на 100 и результат умножить на n.

Пример.  Найдите 18% числа 500.
Решение.

1 способ
1) 500 : 100 = 5 - это 1% числа 500
2) 5 ∙ 18 = 90 - это 18% числа 500.

2 способ

1) 18% = 18 : 100=0,18
2) 500 ∙ 0,18 = 90 - это 0,18 от 500.
Ответ: 18% числа 500 равны 90.

ЗАДАНИЕ:

1. Из молока получаются сливки, масса которых составляет 25% массы молока. Сколько сливок получится из 100 л молока?

Решение.

100 ∙ 0,25 = 25(л)    | 25% = 0,25

Ответ: из 100 л молока получится 25 л сливок.

2. В библиотеке 20 000 книг. За год число книг увеличилось на 4%. Сколько книг стало в библиотеке к концу года?

Решение.
1 способ.
1) 20 000 ∙ 0,04 = 800 (кн.) - это 4% от 20 000 книг            | 4% = 0,04
2) 20 000 + 800 = 20 800 (кн.) стало в библиотеке к концу года

2 способ.

1)  100% + 4% = 104% = 1,04 (стало книг в %)
2) 20 000 ∙ 1,04 = 20 800(кн.) стало в библиотеке
Ответ: в библиотеке к концу года стало 20 800 книг.

3.  Ученики собрали 35кг цветов ромашки. Достаточно ли этого количества, чтобы получить 4,5 кг сухих цветов, если при сушке теряется до 85% первоначальной массы?

Решение.

1) 100% - 85% = 15%  - сухих цветов
2) 35 ∙ 0,15 = 5,25(кг) сухих цветов         (15% 35 кг)
3) 5,25кг >4,5кг, значит, собранных цветов ромашки достаточно
Ответ: собранных цветов достаточно.

Алгоритм

Нахождение числа по данным его процентам

I способ

В – n%

A - ?

1)Найдите 1% числа А; разделите число В на n.

2) Найдите число A, равное 100%, по формуле

Замечание. Удобно записать так: А=(В:n)100. Чтобы найти число по его процентам достаточно известную часть числа разделить на число процентов и результат умножить на 100.

II способ

1) Переведите n% в десятичную дробь:n%=0,01n.

2)Разделите B на эту дробь, получите А=В:(0,01n).

Заметим, что задача сводится к решению задачи на нахождение числа по его части.

Задачи

1)В классе 18 девочек, что составляет 45% числа всех учащихся класса. Сколько всего учеников в классе?

Решение.

Iспособ

18:45.100=40 -  в классе всего 40 учеников (это 100%)

В=18

n=45%

А=(B:n).100

II способ

18:0,45=40 -  в классе всего 40 учеников (это 100%)

45%=0,45

Ответ: в классе всего 40 учеников.

Внимание!

Если n% < 100%,  то А.n% A.

2) Масса сушеной малины составляет 15%массы свежей. Сколько взяли свежей малины, если получили 3 кг сухой?

Решение.

3:0,15=300:15=20 кг свежей малины.

15% = 0,15

15% < 100%

А:n%>А

Ответ: 20 кг свежей малины.

3) При переработке пшеницы мука составляет 80%, манная крупа 2%, а отходы 18%. Сколько будет муки и отходов, если при переработке получено 50 кг манной крупы?

Дано:

Найти массу муки и отходов.

Решение.

1) 50:0,02=5000:2=2500 кг -  пшеница

2) 2500.0,8=2000 кг – мука

3) 2500.0,18=450 кг – отходы

Ответ: 2000 кг муки и 450 кг отходов.

4)Токарь изготовил 132 детали, выполнив план на 110%. Сколько деталей должен сделать токарь по плану?

Решение.

132:1,1=1320:11=120 деталей  - по плану

110%=1,1

Ответ:  токарь должен был сделать по плану 120 деталей.

Внимание!

Если n%>100%, то А.n%>А;   А:n%

Задача 1.  Мясо при варке теряет 30% веса. Сколько надо взять сырого мяса, чтобы получить 560 г вареного?

Ответ: 800 г.

Задача 2. 5% одного числа равны 11.Другое число составляет 18% первого. Найдите их среднее арифметическое.

Ответ: 129,8

Задача 3.В торговую палатку завезли 45 кг помидоров. Один покупатель купил 1%, а другой 2% общего количества. Сколько помидоров купил каждый?

Ответ: 450 г и 900 г.

Попробуй-ка реши!

Задача. Первое число составляет 80% третьего, а второе 30% третьего. Найдите эти три числа, если их среднее арифметическое равно 21,21.

Ответ: 24,24;    9,09;    30,3.

Полезный совет.

При решении задач на проценты находите сначала 1% (обозначим его числом P), а затем смотрите по смыслу: если надо найти n% числа А, то P.n%;    если надо найти все число А, то P.100%.

Отношение.

Частное a:b, или дробь , где , называют отношением двух чисел а и b.  Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго (если а>b) или какую часть первое число составляет от второго (если а

Например, скорость12 км/ч  больше скорости 4 км/ч в 3 раза, так как 12:4=3

Если на карте отрезок 1 см соответствует 10 км на местности,  то этот отрезок на карте составляет от 10 км, так как 10 км = 1 000000 см.

Замечание. Отношение длины отрезка на карте к соответствующему расстоянию на местности называется масштабом. В нашем примере М=  (причём наименования при делении одноимённые).

Процентные отношения чисел

Отношение чисел, выраженное в процентах, называется процентным отношением. Оно показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.

Алгоритм.

Нахождение процентного отношения двух величин a и b

1)Найдите отношение двух величин: а:b.

2)Умножьте полученный результат на 100%.

Замечание. Можно записать эти два действия в одно:  

Задачи

1)В 500 г воды растворили 20 г соли. Найдите процентное отношение соли в растворе.

Дано:

Найти процентное отношение соли в растворе.

Решение.

Ответ: получили -ный раствор соли.

2) при выпечке хлеба из 800 кг муки получили 1 т 800 кг хлеба. Сколько процентов составляет припёк?

Решение.

1)   - хлеб.     1т 80кг = 1080кг.

2) 135% - 100% = 35%   - припек.

Ответ: припёк составляет 35%.

Проверь себя!

Задача. Сколько процентов соли содержит раствор, приготовленный из 35 г соли и 175 г воды.

Ответ:.

ЗАДАНИЯ:

Проценты

Процентом от числа называется одна ____________ часть этого числа. Процент обозначается специальным значком _________.

Нужно уметь решать три главные дачи на проценты.

5 класс

Второе полугодие

Проценты

Задача 1

 1% от числа - это его сотая часть. Например, 1% от числа 700 можно найти, разделив 700 на 100. Получится 7. Число 7 - это 1% от числа 700, его сотая часть. Найдите 1% от числа 500.

Задача 2

Найдите 1% от 12 тонн.

Задача 3

Чему равен 1% от пути длиной 750 км?

Задача 4

Процент  обозначается знаком%. Найдите число, 1% которого равен 13.

Задача 5

Найдите число, 1% которого равен 480.

Задача 6

Найдите число, 1% которого равен.

Задача 7

Найдите 8% от числа 300.

Задача 8

Найдите 5% от числа 200.

Задача 9

Найдите 15% от числа 40

Задача 10

Найдите число, 17% которого равно 68.

Задача 11

 Найдите число, 18% которого равны 54.

Задача 12

 Найдите массу камня, если 20% его равны 520 кг.

Задача 13

Сколько процентов составляет число 8 от число от числа 800? Почему?

Задача 14

Сколько процентов составляют 34 коп.от 34 руб.? Почему?

Задача 15

Сколько процентов составляет 17 см от 17 м? Почему?

Задача 16

Сколько процентов составляет число 60 от числа 6000?

Задача 17

Сколько процентов составляет 6 см от 2 дм?

Задача 18

Сколько процентов составляет число 72 от числа 3600?

Задача 19

Найдите, сколько секунд в одном часе и сколько секунд составляют 5% одного часа.

Задача 20

У какого числа 32% равны 1024?

Задача 21

Прибор стоил 1200 руб.Он подешевел на 10%.На сколько рублей подешевел

Прибор? Сколько теперь стоит?

Задача 22

Прибор стоил 1080 руб. Он подорожал на 10%? На сколько рублей подорожал прибор? Сколько он теперь стоит?

Задача 23

7% от числа x равны 67,9. Чему равно число x?

Задача 24

9% от числа равны 300. Чему равны 45% от того же числа?

Задача 25

5% числа равны 84. Чему равны 15% этого числа?

Задача 26

Сколько процентов составляют 23% числа от 46% того же числа?

Задача 27

На сколько процентов увеличили число, если его увеличили в 3 раза?

Задача 28

На сколько процентов уменьшили число, если его уменьшили в 4 раза?

Задача 29

Сколько процентов составляет 1 кг от 2 г?

Задача 30

В лаборатории работают 5 мужчин и 4 женщины. а) На сколько процентов больше в лаборатории мужчин, чем женщин? б) На сколько процентов меньше в лаборатории женщин, чем мужчин?

ОТВЕТЫ

ЛИТЕРАТУРА

1. Михайлова Ж.Н. "Алгоритмы - ключ к решению задач: Математика. 5 - 6 классы." - СПб.: Издательский Дом "Литера", 2017

2. Левитас Г.Г., Новикова О.Г., Хлыстова Т.В. "Математика. 5 - 6. Учебное пособие с ключом для самопроверки. - М.: Илекса, 2018

3. Левитас Г.Г. "Математика 5 - 8. Опережающее обучение. Книга для родителей, желающих помочь ребёнку в изучении школьной математики, но не знающих, как это сделать. - М.: ИЛЕКСА, 2017