Свойства трапеции
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (9 класс)

СВОЙСТВА ТРАПЕЦИИ .

Решая с детьми задачи по геометрии в 9 классе, мы поразились, как мало в учебнике написано о свойствах трапеции. Поэтому было решено собрать все свойства в одном месте. Мы издали небольшую брошюру «Свойства трапеции»,  хочу поделиться в этой статье этим материалом.

Надеюсь, вам пригодится. Конечно, многие свойства легко доказать. А некоторые не обязательно знать, но знание этих свойств очень помогает решать задачи о трапеции.

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме
2. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту
3. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на ее основании (или его продолжении) отрезок, равный боковой стороне
4. Треугольники BOC  и AOD , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия равен отношению оснований. Отношение площадей этих треугольников есть  К²

5. Треугольники AOB и DOC, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами  трапеции равновелики.
6. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна суме ее боковых сторон
7. Отрезок, соединяющий середины диагоналей равен полуразности оснований и лежит на средней линии

8. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середина оснований лежат на одной прямой.

9. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°,

То отрезок соединяющий середины оснований равен их полуразности.

10. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны и диагонали равны
11. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция равнобедренная
12. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
13. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований
14. Длина отрезка, параллельного основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей, равна среднему гармоническому (*) длин оснований

( * EF= )

15. Отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две равновеликие трапеции, равен среднему квадратичному (**)длин оснований. (** то есть равен корню квадратному из среднего арифметического квадратов длин оснований)
16. У описанной равнобедренной трапеции боковые стороны равны средней линии
17. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на средней линии
18. Отрезок, соединяющий точки пересечения биссектрис углов при каждой из боковых сторон трапеции равен полусумме оснований за вычетом полусуммы боковых сторон
19. Отрезок, соединяющий точки пересечения биссектрис внешних углов при каждой из боковых сторон трапеции равен половине ее периметра.

В следующей статье подборка задач по теме.