Математическая мозаика спецкурс 7 класс
рабочая программа по математике (7 класс)

Учебно-тематический план спецкурса:

«Математическая мозаика»

Этапы

занятия

Содержание изучаемого материала

Указание

I этап

Организационный момент.

Знакомство с учащимися и учителем. Краткий обзор спецкурса.

II этап

Актуали

зация ранее получен

ных знаний.

Новые истори

ческие сведения.

Развитие систем счислений.

Простейшая система записи натуральных чисел требует лишь одной цифры, скажем «палочки» |, которая изображает единицу. Повторяя этот знак, мы можем записать числа два ||, три ||| и т.д.  таким способом первобытный человек мог записать небольшие числа с помощью зарубок на дереве (или, как индейцы Америки, узелков на веревке).

Например, в России использовали бирки для учета при сборе налога. Бирка разрезалась на две продольные части, одна из которых оставалась, например, у крестьянина, другая – у сборщика налога. По зарубкам на обеих частях и велся счет уплаты налога, который проверялся складыванием обеих частей бирок.

Вопрос: Какие слова, употребляемые нами, свидетельствуют о распространении «записей» при помощи зарубок? Это известное выражение, мы говорим его, когда хотим чтобы  кто-то, очень хорошо запомнил то, о чем мы просим.

Ответ: «Заруби себе на носу».

В такой системе счисления очень удобно складывать числа – достаточно просто приписать одно к другому:

| | |    | | | | → | | | | | | |

                                           3  +   4    =      7

Нетрудно и умножить одно число на другое:

3→ |||||||||||||||||||||

                                               3 ⋅ 7 = 21

Но, конечно, подобный способ записи неэкономичен и для больших чисел неизбежно приведет к ошибкам в счете. Возникает естественная идея упрощения записи: разбить ее на одинаковые группы и каждую группу заменить специальным знаком.

В древнеегипетских иероглифических записях использованы знаки | для единицы, ∩ для десятка, С для сотни (и некоторые другие), скажем, 127 записывалось как  . Это пример аддитивной системы счисления (от латинского слова additio – складывание): чтобы узнать, какое число записано, нужно просто сосчитать сумму всех входящих в запись чисел, порядок расположения знаков учитывать не нужно.

     Нумерация на Руси:

Эта запись означает  26 рублей 47 копеек 3 четверти.

     Римская нумерация.

1943 = МСМХLIII            

1809 = MDCCCIX

Крупнейшим недостатком римской нумерации является то, что она совершенно не приспособлена для производства арифметических действий в письменном виде.

Эти системы счисления являются непозиционными, т. е. значение символа не зависит от его позиции (места) в записи.

Замечательная идея, позволяющая использовать немного цифр для обозначения даже очень больших чисел, - переход к позиционной системе счисления. В такой системе значение каждой цифры в записи зависит от места – позиции, которую она занимает.

Позиционные системы счисления. Шестидесятеричная система счисления древних вавилонян, возникшая примерно за 2000 лет до нашей эры.

Вопрос. Какие следы оставила эта система счисления?

Ответ. Сохранилась в делении времени и углов.

Позиционные системы счисления возникли самостоятельно, по крайней мере, у трех различных народов:

• у вавилонян более чем за 2000 лет до н. э.;
• в начале нашей эры у индейского племени майя (таблица), бывших обитателей полуострова Юкатан в Центральной Америке;
• V – VII вв. н. э. у индийцев в Индии.

Система майя была пятирично – двадцатиричной.

У некоторых древних народов вычисления не записывались, а проводились с помощью различных счетных досок (греческий абак, китайские счеты и т. п.), на которых по существу возникало позиционное представление чисел.

Вопрос. Как системой  счисления мы пользуемся?

Ответ. Десятичной.

Счет десятками был у разных народов.

Вопрос. Почему он получил широкое распространение?

Выдающий русский математик Н. Лузин (1883 – 1950) говорил, «преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой».

Современная десятичная запись чисел возникла в Индии. Позднее индийским искусством счета овладели арабы, а от них начиная примерно с Х века его стали перенимать в Европе. 

Существуют и другие системы счисления, например двоичная. Она, как самая простая, используется для кодирования информации в компьютерах.

Более подробно о системах счисления можно прочитать в книге С.В. Фомина «Системы счисления», Москва, 1975.

Литература:

Факультативный курс по математике (учебное пособие для 7 – 9 классов средней школы)

Составитель:

И.Л. Никольская

Москва «Просвещение» 1991

Материал излагается в форме беседы.

 Учащимся задаются вопросы. Если они затрудняются дать ответ, то учитель сам подробно отвечает.

III этап

Устное решение задач

«Без карандаша и бумаги».

Занимательные задания.

1. Рассказывают, что в начальной школе, где учился мальчик Карл Гаусс, ставший потом знаменитым математиком, учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал детям задание – вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. но маленький Гаусс это задание выполнил почти моментально. Попробуйте и вы быстро выполнить это задание.        
2. Найдите лишнее число:

      15; 36; 48; 90; 102.

3. Что общего между парой слов:

дождь – град;

нос – глаз;

история – математика?

4. Какое слово лишнее:

круг, квадрат, треугольник, трапеция, прямоугольник?

5. Выберите два слова из пяти, которые наиболее точно определяют математическое понятие:

1. Треугольник (вершина, *катет, сторона, центр, перпендикуляр).                                    
2. Дробь (делимое, числитель, делитель, знаменатель, произведение).                                
3. *Степень (корень, показатель, решение, основание, переменная).

1+100=101, 2+99=101 и т.д., всего 50 пар, значит сумма равна         50*101= 5050

                                            15 -нечетное

                                                                  Круг

Вершина, сторона

Числитель, знаменатель                                 Показатель, основание

IV этап

Решение упражне

ний.

1. Найдите два девятизначных числа, в запись каждого из которых входят все  девять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, из которых одно больше другого в 8 раз.

2. Задача, оцениваемая в 3 балла международного конкурса «Кенгуру» - 2005. Если к 2005 прибавить 2005 сотых, то получится

      (А) 2025,05     (В) 2005,2005    (С) 2005,02005

      (D) 2007,05       (Е) 2205,5

3. Задача, оцениваемая в 4 балла международного конкурса «Кенгуру» - 2005. Сумма пяти различных натуральных чисел равна 100. Каким может оказаться наибольшее из этих пяти чисел?

(А) 10       (В) 20      (С) 90      (D) 93     (Е) 96

4. Задача, оцениваемая в 5 баллов международного конкурса «Кенгуру» - 2005. Сколько существует двузначных чисел, которые при перестановке цифр увеличиваются не менее, чем в три раза?

      (А) 6       (В) 6         (С) 10       (D) 15    (Е) 33

Попробуйте умножить наименьшее из таких чисел

123 456 789 на 8. если взять другое число Х, большее этого, то 8Х будет больше, чем

987 654 321.

2005 сотых - это

2005+20,05=2025,05

Ответ: А

Чтобы искомое число было наибольшим сумма остальных четырех чисел должна быть наименьшей, а так как они натуральные и различные, то их сумма равна 1+2+3+4=10

100 – 10=90

Ответ: С

Т.к. число увеличивается, то надо рассмотреть только числа, у которых десятков меньше, чем единиц. При перестановке цифр меняются местами разряды десятков и единиц, значит рассмотрим те числа, у которых единиц больше не менее, чем в три раза. Это числа: 13,14,15,16,17,18,19,26,27,28,29,39. проверим условие:

31:13<3   41:14<3

51:15>3   61:16>3

71:17>3   81:18>3

91:19>3   62:26<3

72:27<3   82:28<3

92:29>3   93:39<3

Ответ: В

V этап

Подведе

ние итога.

Домаш

нее задание.

Вопросы:

1. Объясните, чем принципиально отличаются непозиционные и позиционные системы счисления?

2. Какие позиционные системы счисления мы используем (письменно и устно)? Приведите примеры.

Домашнее задание.

1. Задачи международного конкурса «Кенгуру»

1. Остаток от деления 100 на некоторое число равен 4, а при делении 90 на это же число в остатке получается 18. На какое число делили? (2004г, 5 – 6 классы, 4 балла).

(А) 18    (В) 32    (С) 24    (D) 36    (Е) 48                      

2. Вася придумал такой шифр: он заменил буквы Г, Е, К, Н, Р, У какими-то цифрами, идущими в возрастающем порядке. Потом при помощи этого шифра он зашифровал слово КЕНГУРУ. Какое наибольшее число могло у него получиться? (2005г, 7 – 8 классы, 4 балла).

      (А) 9876545      (В) 9876543     (С) 7684969

      (D) 6574989      (Е) 5463878

2. Дополнительно: подготовить дополнительно сообщение по данной теме.

В непозиционных системах счисления значение символа не зависит от его позиции (места) в записи. В позиционной системе счисления значение каждой цифры в записи зависит от места – позиции, которую она занимает.

Письменно–десятичную,  устно–десятичную, шестидесятеричную

100 – 4 = 96

90 – 18 = 72

72 и 96 делятся на наибольшее число 24.

Ответ: С

1. Самое маленькая цифра соответствует букве Г, она на 4-ом месте, значит, ответы А и В не подходят.

2. На втором месте должна стоять цифра больше, чем самая маленькая, но меньше остальных, не подходит ответ С

3. Подходят два числа, наибольшее из них под буквой D.

Этапы

занятия

Содержание изучаемого материала

Указание

I этап

Организаци

онный момент.

Диагностика памяти.

Иногда думают, что успех в математике основан на простом запоминании большого числа правил, формул, теорем и т.д. Конечно, хорошая память для занятий математикой нужна, но очень многие выдающиеся ученые–математики никакой особенной памятью не обладали, именно систематические занятия математикой помогали им развивать ее.

Диагностика памяти на образы.

Приложение 1.

Ознакомление с темой занятия, постановка цели.

Норма – 6 правильных ответов. Большее число правильных ответов говорит о хорошей памяти на образы.

II этап

Введение нового материала и актуализация пройденного в

5 – 8 классах.

«Практичность теории».

1. Появление некоторых геометрических знаний как результата практической и духовной деятельности (земледелия, навигации, культурных обрядов).
2. Древний Китай, Древний Египет, Вавилон – центры математической, и в частности геометрической, культуры.
3. Отражение быта древних в геометрической терминологии.

Материал излагается в форме беседы.

 Учащимся задаются вопросы. Если они затрудняются дать ответ, то учитель сам подробно отвечает (приложение 3).

III этап

Мозаика  «древних» задач разных народов мира.

Задачи на применение теоремы Пифагора.

1. Задача индийского ученого Бхаскара Акариа (род. В 1114 г.).

На берегу ручья, ширина которого 4 фута, рос тополь. Порыв ветра сломил его на высоте 3 футов от земли так, что верхний конец его коснулся другого берега ручья (ствол направлен перпендикулярно течению). Определить высоту тополя.

2. Задача из старинного китайского трактата «Начала искусства вычисления».

В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?

3. Из древней римской рукописи.

Определить высоту треугольника, основание которого 15, а боковые стороны 14 и 13.

4. Из алгебры узбекского ученого Мухаммеда ал-Хорезми.

Определить отрезки, на которые делит основание АС перпендикуляр, опущенный из противоположной вершины В треугольника АВС, если даны его стороны: АВ = 15, ВС = 13, АС = 14.

Другие задачи.

Из Греция. Три задачи Евклида.

1. На данной конечной прямой построить равносторонний треугольник.
2. Разделить прямой угол на две равные части.
3. Разделить пополам угол, вершина которого не помещается на чертеже.

Задачи Вавилона.

1. Разделить прямой угол на три равные части.
2. Для определения площади четырехугольника взять произведение полусумм противоположных сторон. Выяснить, для каких четырехугольников эта формула точно определяет площадь.

Задачи Египта.

1. Для вычисления площади равнобедренного треугольника египтяне брали половину произведения основания на боковую сторону. Вычислить в процентах, как велика ошибка, если основание равнобедренного треугольника равно 4, а боковая сторона – 10.

Определить длину сторон прямоугольника, если известно их отношение и площадь фигуры (задача из «Московского» папируса).

Цель данного этапа не решать задачи, а познакомиться с их содержанием, сопоставить условия с условиями задач учебников по геометрии.

Можно решить 1 – 3 задачи.

1. «В середине квадратного

 озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?»

Решение:

Рисунок к задаче.      

По теореме Пифагора:

x2 + 52 = (x + 1)2

           x2 + 25 = x2 + 2x + 1

2x = 24

x = 12

Ответ: глубина озера

12 футов.

2. «Определить длину сторон прямоугольника, если известно их отношение и площадь фигуры» (задача из «Московского» папируса).

Решение:

Решим задачу в общем виде. Пусть, по условию задачи, отношение сторон  равно k, а площадь прямоугольника – S.

Пусть длина одной стороны  х, тогда длина другой стороны  kх, площадь прямоугольника S = k х2.

т. к. S > 0 и k > 0.

IVэтап

Психологическая минутка.

Тренинг внимания.

Ролевая игра.

Действующие лица:

  Автор,

  Савва Морозов – купец,

  Джон Смит – бизнесмен.

Действие.

Автор. Встретились как-то купец Савва Морозов и бизнесмен Джон Смит. А в то время ходили слухи, что уж больно оба любили приврать.  Давайте проверим. Вот их разговор, что в нем неправда?

Савва. Доброго здоровья, Джон!

Джон. Хелло, Савва! Как дела?

Савва. Отлично, Джон! Моя прибыль растет: с каждых 50 копеек получаю полрубля.

      [50 копеек = 0,5 рубля, т. е. прибыли нет]

Джон. О` кей, Савва, а мой доход еще выше – с каждой дюжины долларов я получаю 12 долларов.

       [1 дюжина – 12 штук, прибыли нет,

       доллары не принято считать дюжинами]

Савва. Я живу в России. Там есть чудесный город Кувандык. Он возник, кажется в Х веке.

       [в Х веке города Кувандык еще не было]

Джон. Да, да, я помню, мы с отцом там были. И сразу же после его основания открыли банк. Это было чудесное здание: в основании квадрат со сторонами 30м, 20м, 20м и 40м, два прекрасных этажа.

                                                  [это не квадрат]

Савва. О, Джон, а я помню, как однажды катался на лифте в здании вашего банка и на десятом этаже меня схватил охранник.

                                              [этажей всего два]

Джон. Ты же промышленник. А как там заводик по производству стройматериалов?

                                                   [Савва - купец]

Савва. Процветает. Я года два назад пригласил управлять им известного математика Пифагора из Греции, вот благодать то настала.

                        [Пифагор жил гораздо раньше]

Джон. Да, знаю его. Он написал: «я помню чудное мгновенье…».

                                       [это Пушкин написал]

Савва. Ну ладно, пора прощаться. Добрый день.

Ролевая игра «Несоответствие».

Цель: развитие внимания, логического мышления.

Раздать роли трем учащимся.  В игре принимают ученики всего класса.

Правила: внимательно слушать диалог героев игры, останавливать диалог, если обнаружится несоответствие действительности (ошибка). Объяснить, почему остановлена игра.

Правила игры объясняет учитель.

Итог:  найдены все несоответствия, если же пропущены, то на них указывает учитель, сразу в ходе игры.

V этап

«Золотое сечение»

1. Золотое сечение – формула мироздания.

(приложение 4).

1. Что такое золотое сечение?

2. Платон и Пифагор: золотое сечение – формула мироздания. Золотой треугольник. Пентагон и пентаграмма.

3. Кто придумал название «золотое сечение».  Золотое сечение в живописи, скульптуре, архитектуре, психологии.

2. Сообщения учащихся на тему:  «Леонардо до Винчи».

Лекция с иллюстративным сопровождением.

Дать определение (простое и понятное)

По рисунку и с помощью моделей показать, как Платон представлял вселенную, составленную из огня, воздуха, воды и земли.

 Показать иллюстрации семи чудес света и др.

Показать  портрет Монны Лизы и рассказать  о том, как она основана на золотых треугольниках.

Показать иллюстрации семи чудес света.

Сообщения о Леонардо да Винчи, подготовленные учащимися дома. Учитель также готовит данный  материал, для того, чтобы дополнить сообщения интересными фактами из жизни итальянского ученого.

VI этап

Итог занятия.

Ролевая игра «Робинзон Крузо».

1-ый ряд – Робинзоны.

2-ой ряд – Пятницы.

3-ий ряд – исследователи.

Затем наоборот.

Сделать вывод по итогам игры о причинах возникновения геометрии.

Ролевая игра

«Робинзон Крузо».

Команды по рядам. Каждый ряд по очереди выступает в роли Робинзона, остальные в роли Пятницы.

Задание: Предлагается научить Пятницу геометрии, учитывая, что ему знакомы лишь несколько слов: «у», «на», «и», «под», «над», «если», «то». Все остальное надо показывать с помощью жестов.

2

В

СО2

34

87

93

48

16

26

52

43

12

64

76

51

С

Ч

Ф

Т

Ч

Р

Т

Х

Р

Н

:

I

/

I

=

\

Х

·

X

:

4

3

2

8

2

3

6

5

9

1