Статья на тему "Арифметические методы решения задач"
статья по математике (5 класс)

Арифметические методы решения задач

На протяжении всей своей жизни человек встречается с задачами. Под задачей будем понимать объект математической деятельности, содержащий требование практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих раскрыть связи между известными и неизвестными ее элементами.

Практически любое действие направлено на достижение какой-то цели, то есть на решение поставленной задачи. Поэтому сложно переоценить значение задач при обучении в школе. Одна из целей обучения математике – обучение решению задач. Но задачи также являются и основным средством, которое используется для формирования знаний, умений и навыков учащихся на уроках математики.

Рассмотрим основные функции математических задач при обучении математике:        

для сознательного усвоения основных теоретических знаний;

для обучения школьников школьной математической деятельности (арифметическим действиям, доказательству теорем, выполнению алгоритмов);

для мотивации;

для организации самостоятельного познания;

для оценки сформированности знаний и умений;

для развития творческой деятельности детей.

Как видно, задачи используются как для усвоения, закрепления и оценки знаний, так и для мотивации к получению этих знаний.

Выделим структурные элементы задачи:

условие;

требование;

решение (некоторая последовательность действий, позволяющая перейти от условия к требованию задачи),

базис решения (теоретическая основа каждого из этих действий).

Последнему элементу, в школе не уделяют должного внимания как учащиеся, так и многие учителя. Зачастую задача решается по шаблону, в готовое решение подставляются новые числа, а ведь действия, выполненные «на автомате», по привычке, не позволяют задумываться, анализировать, а следовательно, не развивают.  Вследствие этого на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения выявляется значительное число абитуриентов, не умеющих обосновывать шаги доказательства теоремы или решения задачи. К сожалению, у многих школьников складывается неверное представление о процессе решения задачи. Для них решение задачи – это только получение ответа, совпадающего с ответом в учебнике или на доске. Психологические исследования показали, что при последовательном решении аналогичных задач напряжение мозга уменьшается от задачи к задаче. Для решения уже третьей задачи испытуемые практически не напрягали «извилин». Необходимо разнообразить предлагаемые задачи, а если это невозможно, то необходимо требовать от учащихся обоснования каждого шага и действия, чтобы они не были сделаны необдуманно. Нельзя превращать решение задач в механическую работу без участия мыслительного аппарата.

Решение задачи – это процесс, состоящий из следующих этапов:

анализ условия (осмысление, переформулировка на свой язык);

поиск решения (составление плана решения);

реализация плана решения;

исследование задачи (количество ответов, решение другими способами)

Хотелось бы, чтобы каждый учитель математики стремился подбирать такие задачи для своих уроков, чтобы они с одной стороны помогали ему донести материал до учащихся, развивали их мышление, а с другой – прививали интерес и любовь к математике.

Многие преподаватели очень серьезно относятся к оформлению задачи и записи ответа, поэтому в процесс решения задачи можно добавить этап оформления решения задачи.

Добавляли в свои уроки сюжетные и текстовые задачи.

Для установления межпредметных связей, а также связи математики как учебного предмета с реальной жизнью очень важны задачи, представляющие собой некоторую ситуацию, выходящую за рамки математики. Текстовые и сюжетные задачи относятся именно к таким задачам. Однако надо различать задачи текстовые и сюжетные.

Классификации сюжетных задач.

Итак, сюжетная задача – это задача, в которой данные и связь между ними заключены в фабулу.

Чаще всего в математических задачах среди реальных процессов представлены работа (обычно совместная), движение, составление различных растворов, смесей, получение сплавов, покупки, обмены и тому подобные действия. Поэтому сюжетные задачи можно классифицировать по содержанию. Кроме того, задачи можно классифицировать по математическому методу решения, по познавательному методу, по другим критериям.

Рассмотрим существующие классификации сюжетных задач.

По математическому методу решения:

арифметический (по действиям или с помощью составления числовых выражений);

алгебраический (составление уравнения, системы уравнений или неравенств);

геометрический (использование подобия треугольников, площадей фигур, графика линейной функции).

В арифметическом методе можно выделить конкретные способы решения задач: способ обратности, способ предположений, способ нахождения частей, способ подобия, и др. В геометрическом – способ прямоугольников, графический способ, и др.

По содержанию:

на движение,

на совместную работу,

на смеси, сплавы и концентрации,

на проценты,

на разностные и кратные отношения,

на оптимизацию.

В этом случае каждый тип задач можно дополнительно классифицировать. Задачи на движение различаются по количеству движущихся объектов, по направлению движения (сближение или удаление), по моменту начала движения, и т. д. Задачи на проценты – нахождение процента от числа, обратные задачи, нахождение процентного отношения, и т. д.

По типу решающей модели:

на составление уравнений (линейных, квадратных, биквадратных),

на составление систем уравнений,

на составление неравенств,

на составление систем неравенств,

на пропорциональные величины.

По характеру поиска решения:

алгоритмические,

аналитико-синтетические,

эвристические.

Если в задаче прямо указано, какие действия требуется сделать с данными числами, то ее относят к алгоритмическим задачам. При этом порядок действий чаще всего указан заранее.

В задачах аналитико-синтетического вида действия с числами указаны не прямо, а косвенно. Их можно определить по смыслу задачи. Решение задачи начинается с анализа (расчленения условия на составные части), который проводится по схеме: для того, чтобы узнать это - надо знать то. Анализ сводит задачу к последовательности алгоритмических задач. В результате такой работы составлен план решения, появилась последовательность вопросов, начиная с вопроса задачи. Синтез как процесс, обобщающий данные анализа, начинается с того, чем анализ заканчивается и проводится по схеме: если знаю это, могу узнать то. Большая часть задач является задачами аналитико-синтетического вида.

К эвристическим задачам относят задачи нового класса, задачи повышенной трудности, а также те задачи, алгоритмы или приемы решения которых не были рассмотрены ранее.

По познавательному методу:

аналитико-синтетические,

на метод сравнения и аналогий.

К текстовым задачам относят любую задачу, условие которой состоит из повествовательных и вопросительных предложений. Если в тексте речь идет о реальных объектах, процессах, связях и отношениях, то представленные таким образом задачи относят к сюжетным. Это понятие уже, чем текстовая задача. В текстовой задаче могут быть описаны геометрические или физические объекты, математические отношения или физические процессы. Соответственно, получается геометрическая или физическая задача, которую нельзя отнести к сюжетным.

При решении задач используется метод учебного познания, основанный на таких познавательно-мыслительных операциях, как анализ и синтез, сравнение и аналогия. Сравнение основано на сопоставлении (совместном рассмотрении сходных объектов или явлений) и противопоставлении (рассмотрении контрастных, противоположных явлений). Аналогия - вывод, в результате которого достигается знание о признаках одного предмета на основании того, что этот предмет имеет сходство с другим. Аналогия не имеет доказательной силы, но позволяет найти сходство с другой задачей, тем самым помогая найти способ решения.

Отметим, что любая классификация задач является условной. Нельзя однозначно сказать, что какая-либо задача принадлежит какому-то конкретному типу. Одна и та же задача может быть решена различными методами, а некоторые простые задачи на движение вполне могут быть отнесены к категории задач на разностные и кратные отношения.

Как было сказано выше, основная цель курса – обучение различным способам решения сюжетных задач, т.е. производилась классификация отобранных задач по методу решения с дальнейшим разделением на конкретные способы.

Этапы решения сюжетной задачи.

Структура сюжетной задачи не отличается от структуры любой задачи. В качестве условия выступают данные и связь между ними. Требование задачи - указание на то, какая неизвестная величина является искомой. В задаче может быть одно условие и одно требование, а может быть несколько требований, разделенных дополнительным условием. Иногда в задачи добавляются лишние условия для развития внимания учащихся и умения выделять «ядро» задачи.

Подробнее остановимся на процессе решения сюжетной задачи. Напомним схему решения задачи:

Анализ условия.

Поиск решения.

Реализация плана решения.

Исследование.

Оформление задачи.

Перечислим основные действия, которые должен выполнить ученик на всех этапах решения задачи.

Анализ условия:

ознакомление с содержанием;

анализ ситуации, терминов, словосочетаний, обращение к словарям;

подведение под теорию – выявление реальных процессов, описанных в задаче (движение, работа, денежные операции) и величин, которыми они характеризуются (путь, время, скорость, цена, количество);

подведение под тип - нахождение общих признаков и различий с решенными ранее задачами и отнесение задачи к какому-либо типу, если это возможно;

анализ условия и требования задачи;

краткая запись условия (словесная, табличная, с помощью диаграмм, схем, рисунков, графов);

выбор способа решения.

Поиск решения осуществляется с помощью различных методов и приемов:

аналитико-синтетический метод;

метод сравнения и аналогий;

прием составления схем, таблиц, отрезочных диаграмм, графов;

прием переформулировки;

прием разбивки на подзадачи.

На этом этапе реализуется план решения, составленный по результатам поиска решения.

В исследование входят:

решение задачи другими способами;

проверка решения задачи;

исследование на наличие лишних данных в условии, влияние замены значений отдельных величин на результат;

составление задач, аналогичных данной.

Составление задач самими учащимися позволяет им глубже осознать связи, отношения математических понятий, а учителю – понять, насколько хорошо усвоен материал.

Оформление решения задачи осуществляется в зависимости от выбранного способа решения:

по действиям с пояснениями;

схема, график или рисунок с пояснением;

подробное решение уравнений и неравенств с описанием переменных.

Также надо обращать внимание учащихся на запись ответа: он должен быть развернутым и соответствовать вопросу задачи.

После выполнения всех этапов можно сказать, что задача решена. Конечно, невозможно каждой задаче уделять столько внимания – на это попросту не хватит времени, но по возможности надо напоминать об этом и проводить решение задачи в соответствии с планом.

Методы решения сюжетных задач

Арифметический метод решения сюжетных задач

Самым распространенным методом решения задач является алгебраический. До последнего времени за счет излишней алгебраизации курса математики начальной и неполной средней школы изучение арифметических способов решения задач было практически исключено из программы. Уже с конца 5 класса в одних учебниках и с середины 6 класса в других все сюжетные задачи решаются с помощью уравнений. Школьники, да и студенты настолько привыкли решать задачи алгебраическим способом, что «запрет» на применение уравнений вызывает непонимание и растерянность. В настоящее время наметилась тенденция к возращению арифметических способов решения в школу. Известно, что любая задача, сводящаяся к уравнению первой степени, может быть решена арифметически. В новой программе по математике, разработанной Г.В. Дорофеевым и И.Ф. Шарыгиным, арифметике уделено много времени: «усиление внимания к арифметике ... является существенным отличием предлагаемого курса от действующих в настоящее время, ... изучение арифметики не заканчивается в 6 классе, а будет продолжено в 7 - 9 классах, ... повышено внимание к арифметическим приемам решения текстовых задач как средству обучения способам рассуждений, выбору стратегии решения, анализу ситуации, сопоставлению данных и в конечном итоге развитию мышления учащихся.

Вследствие этого возникла необходимость обучения этим способам решения задач учеников, студентов и даже молодых учителей.

Арифметический метод имеет ряд преимуществ по сравнению с алгебраическим. В некоторых учебных пособиях предлагается решать задачи алгебраическим методом, последовательно переводя каждое предложение из условия на язык уравнений, не ограничивая количество переменных. Решение задачи арифметическим способом заставляет проводить более глубокий анализ условия, вычленять нужную информацию, учит использовать краткие и точные формулировки, при этом каждый из способов использует какой-нибудь интересный прием, который может быть использован в дальнейшем.

Арифметическое решение иногда получается более громоздким, чем алгебраическое, но даже это не должно являться причиной исключения арифметических способов из курса математики. Они прекрасно могут сочетаться друг с другом.

В настоящей работе рассматриваются три арифметических способа:

Способ обратности.

Способ предположения.

Способ подобия.

Рассмотрим каждый способ подробнее.

Способ обратности.

В задачах, решаемых способом обратности, можно выделить последовательность действий. С неизвестным сделано одно вполне определенное действие. С результатом произведен целый ряд новых действий с помощью известных чисел, но без участия неизвестного. Главное условие - во всех, кроме первого действия, участвуют только данные числа. Чтобы определить неизвестное, нужно с конечным результатом сделать обратные действия и в обратном порядке. На последнем шаге неизвестное сделается известным.

Способ предположений.

В задачах, решаемых способом предположений, обычно присутствуют объекты двух видов, имеющие одинаковые компоненты (количество колес, ног, струн) или характеристики (длина, стоимость), но в разных количественных соотношениях. При этом известно общее количество этих объектов и общее количество компонент, требуется же найти точное количество объектов каждого вида.

Способ подобия.

Существуют два варианта применения способа подобия. Первый случай очень похож на способ нахождения частей, хорошо известный учащимся (какая-то величина принимается за единицу, все остальные находятся как части от единицы). Разница заключается в том, что неизвестное принимается не за единицу, а за любое число, выбранное удобным образом с учетом величин, данных в условии задачи. Во втором случае несколько величин умножают на разные числа, получая при этом одно и то же значение. Последующее решение осуществляется уже с использованием этого значения.

Главное преимущество способа подобия заключается в том, что он позволяет избежать вычислений с обыкновенными дробями в ходе решения, дробь может появиться на самом последнем шаге.

Существует довольно большое количество разнообразных арифметических способов. Каждый из них рассмотреть попросту невозможно, поэтому были выбраны три наиболее интересных способа.

В рассмотренных способах используются оригинальные приемы, но при этом они доступны для любого школьника, который имеет представление о четырех арифметических действиях и знает таблицу умножения. Кроме того, эти способы были известны еще в начале 18 века, когда была написана знаменитая «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого. В этой книге можно найти много задач, решаемых этими способами, а о преимуществе использования исторических задач уже было сказано выше.

Геометрический метод решения сюжетных задач.

Геометрический метод является наименее распространенным методом решения сюжетных задач. Связано это, прежде всего, с тем, что применение геометрического метода предполагает наличие определенных знаний по геометрии (свойства площадей фигур, признаки подобия треугольников), таблицы умножения и четырех арифметических действий здесь явно недостаточно. Тем не менее, геометрический метод заслуживает большого внимания из-за своей оригинальности.

В проекте представлены два геометрических способа: способ прямоугольников и способ, основанный на использовании свойств линейной функции (графический способ).

Способ прямоугольников.

Этот способ применим в случае, когда одна из величин в задаче является произведением двух других (общая стоимость, цена, количество; путь, скорость, время). Тогда эти величины можно представить в виде прямоугольника, взяв их за длины сторон, а их произведение – за площадь прямоугольника. Задача переводится на геометрический язык, решается, а ответ переводится обратно.

Графический способ.

Таким способом обычно решаются задачи, в которых присутствуют равномерные процессы. Решение осуществляется с помощью графика линейной функции. На осях откладывается время и расстояние. Абсцисса любой точки графика указывает момент времени, а ордината – положение объекта в данный момент. Если же на одном чертеже построены два графика, пересекающиеся в точке, то абсцисса точки пересечения – время встречи, а ордината – ее место.

Эти способы были выбраны по следующей причине: большое число задач школьного курса решаются геометрическими способами, а некоторые из них решаются даже проще, чем стандартным алгебраическим или арифметическим способом.

Роль сюжетных задач в обучении.

При обучении решению сюжетных задача, так же как и математике в целом, реализуются три основные цели: обучающая, развивающая, воспитательная. Обучение конкретным приемам и методам работы с задачей, развитие мышления, а также способностей и интереса к математике, воспитание таких качеств, как самостоятельность, настойчивость и творчество – вот основные цели обучения сюжетным задачам. На этом классе задач у учащихся формируется и развивается аналитико-синтетическая деятельность, раскрывается идея математического моделирования реальных процессов. Решение сюжетных задач позволяет применить в практической деятельности учащихся изученный теоретический материал: алгоритмы и свойства арифметических действий, составление и решение уравнений и их систем. Как уже было сказано раньше, сюжетные задачи – одно из средств связи математики как учебного предмета с окружающей реальностью. Часто дети плохо усваивают учебный материал не потому, что математика является для них слишком трудным предметом, а потому, что им просто неинтересно заниматься ею. Но даже дети средних способностей легко осваивают все разделы школьной программы, а порой, и материал, выходящий за рамки школьного курса математики, если предлагаемые задачи снабжены занимательным сюжетами или основываются на знакомых жизненных ситуациях. При решении нестандартных задач, задач повышенной трудности, развиваются эвристические способности ученика, создаются условия для поисковой и творческой деятельности.

Предлагаемый материал легко можно сделать интересным и разнообразным, ведь любое изменение сюжета даст уже совсем другую задачу, а включение в содержание учебной деятельности занимательных, исторических задач будет способствовать познавательной активности и интересу со стороны учащихся. Хорошим способом «настройки» на урок учащихся любого класса является предложенная в начале занимательная задача. Также учащимся можно предложить для домашней работы задачу, предваряющую изучение новых математических фактов, которую они не смогут решить, но у них появится стимул к изучению этого материала. Многие недостатки в математической подготовке учащихся определяются их недостаточной языковой культурой даже неграмотностью, неумением адекватно понять или выразить содержащуюся в том или ином предложении информацию. А при работе с текстом задачи повышается общекультурный, гуманитарный уровень (увеличивается словарный запас, развиваются навыки работы со словарями и другой дополнительной литературой).

Как видно, использование сюжетных задач позволяет не только хорошо представить и отработать математический материал, но и в целом стимулировать учебную деятельность учащихся.