Проектная работа по математике на тему "Формула Пика"
проект по математике (9 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Актанышская средняя общеобразовательная школа№1» Актанышского муниципального района РТ

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ИТОГОВЫЙ ПРОЕКТ

НА ТЕМУ

«ФОРМУЛА ПИКА»

Выполнила: Ганиева Фаниса Назиловна

ученица 9 класса

МБОУ АСОШ №1

Руководитель проекта: Гареева Луиза Илдаровна

учитель математики

Содержание

1. Введение .………………………………………………………………………………… 3
2. Биография Георга Александра Пика …..…………………………..……… 4
3. Теорема Пика

1. Суть теоремы Пика ……………………………………………………………... 5
2.  Доказательство теоремы Пика ………………………………….......... 6
3. Рациональность применения  ................................................ 7
4. Области применения формулы .............................................. 9

4. Заключение ................................................................................. 10
5. Список литературы ..................................................................... 11

1.Введение

Теорема Пика является одной из тех теорем, которых нет в базовой школьной программе. Она обходится стороной, хотя может так облегчить жизнь на ОГЭ и ЕГЭ. На экзаменах есть задания по нахождению площади фигуры, представленной на клетчатой бумаге, и теорема Пика помогает нам найти площадь фигуры, зная лишь количество вершин у фигуры и количество узлов внутри фигуры.

Гипотеза : Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.

При решении задач на клетчатой бумаге понадобится геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем. При более внимательном исследовании задач на клетчатой бумаге, убеждаешься в их востребованности, оригинальности, полезности, возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

        Цели работы: 

• 1. Изучение формулы Пика.
• 2. Расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.

Задачи:

• 1. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
• 2. Проанализировать и систематизировать полученную информацию
• 3. Создать электронную презентацию работы
• 4. Сделать выводы по результатам работы.
• 5. Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры.

Предмет исследования: формула Пика.

Актуальность: данная тема является дополнением и углублением в курс геометрии; формула Пика поможет лучше подготовиться к олимпиадам и экзаменам.

Методы исследования: моделирование, построение, анализ и классификация информации, сравнение, обобщение.

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

              2.Биография Георга Александра Пика

Георг Александр Пик - австрийский математик, родившийся 10 августа 1859 года в еврейской семье. Мать звали Йозефа Шляйзингер, отца- Адольф Йозеф Пик. Георг Пик был одаренным ребенком, его обучал отец, который возглавлял частный институт. В 16 лет он окончил школу, поступил в Венский университет,  а уже в 20 лет получил право преподавать физику и математику.

В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета.

Интересно еще и то, что в 1910 г. Он был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна в университет. Пик был движущей силой этого назначения, и Эйнштейн был принят на кафедру математической физики в Немецком университете в Праге в 1911 г. Он занимал этот пост до 1913 г., и все эти годы он и Пик были близкими друзьями. Мало того что они имели общие научные интересы, но они также оба страстно увлекались музыкой. Пик, который играл в квартете, познакомил Эйнштейна с научным и музыкальным обществом Праги.

Круг математических интересов Пика был очень широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. Широкую известность получила именно теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьную программу.

После того как Пик вышел в отставку в 1927 году, он получил звание почётного профессора и вернулся в Вену — город, в котором он родился. Однако в 1938 году после аншлюса Австрии 12 марта он вернулся в Прагу. За десять лет до того в 1928 году Пик был избран членом-корреспондентом Чешской академии наук и искусств, но в 1939-м, когда нацисты заняли Прагу, он был исключён из академии.

О нем писали так:

“Пик был холостяком … необыкновенно правильным в одежде и отношениях’’.

3.Теорема Пика

3.1. Суть Теоремы Пика

Теорема Пика является самой популярной работой австрийского математика. Он доказал ее в 1899 году, но в течении некоторого времени после публикации она была не замечена, однако в 1969 году польский ученый Гуго Штейнгауз включил теорему Пика в свой знаменитый «Математический калейдоскоп».

Примечательна формула Пика в том, что она привлекает своей простотой и элегантностью.

Теорема Пика справедлива для многоугольников с вершинами в узлах целочисленной решетки. На плоскости образуется решетка двумя системами параллельных равноотстоящих прямых. Эти прямые называются основными целочисленными прямыми, а точки их пересечения называются узлами решетки. Прямая, соединяющая два узла решетки, называется целочисленной прямой. Обратите внимание, что основные целочисленные прямые являются целочисленными линиями, но есть также много других целочисленных линий.

Многоугольник, ребра которого лежат на целочисленных прямых, называется целочисленным многоугольником. Теорема Пика утверждает, что площадь целочисленного многоугольника равна Г : 2 + В – 1 , где В – количество узлов решетки внутри многоугольника, а Г – количество узлов решетки на границе многоугольника.

 Главное условие использования формулы Пика – вершины многоугольника должны располагаться в узлах клетки. 

Что бы сосчитать площадь треугольника по формуле Пика нужно:

1. Подсчитать количество целочисленных точек внутри треугольника ( обозначается  В);

2. Подсчитать количество целочисленных точек на границе треугольника ( обозначается Г);

3. Применить формулу Пика Г : 2 + В – 1.

3.2. Доказательство теоремы Пика

Теорема: площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна Г : 2 + В - 1 , где В – количество узлов решетки внутри многоугольника, а Г – количество узлов решетки на границе многоугольника.

Доказательство теоремы Пика производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

                                       Единичный квадрат.  

Мы имеем Г=4, В=0, следовательно,  S = 4 : 2 + 0 - 1, значит, формула Пика верна для квадрата 1х1.

                                                Прямоугольник.  

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Для доказательства формулы обозначим через a и b длины сторон прямоугольника. В=(а-1)(b-1), Г=2a+2b, тогда по формуле Пика, S = (a-1)(b-1)+a+b-1=ab, следовательно, формула Пика для прямоугольника верна.

                                   Прямоугольный треугольник.

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Для доказательства заметим, что любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. Пусть с - число целочисленных точек на диагонали. Значит, , Г=+с-1, тогда  следовательно, для прямоугольного треугольника формула Пика справедлива.

                                                 3.3. Рациональность применения

Я решила провести исследование и проверить, насколько удобно и рационально использовать формулу Пика, по сравнению с традиционными формулами для нахождения площадей. Для этого я составила таблицу, что бы наглядно рассмотреть результат.

Основываясь на этом исследовании, можно сделать вывод о том, что естественно легче находить площадь квадрата, треугольника, параллелограмма, трапеции по традиционным формулам, нежели по формуле Пика, но только если даны целочисленные значения. Однако площадь пяти-, шести-, семиугольника и больше легче находить по формуле Пика.

3.4. Области применения формулы

Формула Пика может применяться при решении заданий из ОГЭ на нахождение площади многоугольника, даже без клетчатой поверхности. Достаточно просто сделать клетчатую бумагу самим и подложить ее под фигуру.

4. Заключение

При выполнении нашей работы мы рассмотрели решение задач на вычисление площади многоугольников неправильной формы разными способами. Ознакомление учащихся с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ОГЭ. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге.

Маленькая формула Пика заменит учащимся целый комплект формул, необходимых для решения таких задач. Формула Пика будет работать «одна за всех…»!

Формула Пика — это настоящее спасение для тех учеников, которые так и не смогли выучить все формулы для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как выполнить разбиение фигуры или дополнительное построение, чтобы подобраться к вычислению её площади «через знакомых».

С другой стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, формула Пика послужит дополнительным инструментом, с помощью которого можно будет решить задачу ещё и этим способом (и тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы). Материал для самообразования в приложении.

Проанализировав способы решения задач на вычисление площадей, можно сделать следующие выводы:

1. Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры на клетчатой бумаге, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

2. Основное условие для применения формулы Пика: у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге (решётке), должны быть только целочисленные вершины, то есть они обязательно должны находиться в узлах решетки.

При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника на плоскости даже самой причудливой формы.

5. Литература

1.Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.

2.Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

3.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011

4.В.В.Вавилов, А.В.Устинов .Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.

5.Мтематические этюды. etudes.ru

6.Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы.М. Просвещение ,2010