Исследовательская работа:"Применение теории множеств при решении задач"
методическая разработка по математике (7 класс)

Применение теории множеств при решении задач

Выполнила:

Гулина Анастасия Максимовна

7 класс

гимназия 271

Санкт-Петербург

 Научный руководитель: 

Белова Татьяна Ивановна

учитель математики

гимназия 271

Санкт-Петербург

Введение

Круги Э́йлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.  А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.

Используются в математике, логике  и других прикладных направлениях.

Автор этого метода – ученый Леонард Эйлер Венн. Леонард Эйлер (1707-1783) – известный швейцарский и российский математик, член Петербургской академии наук, бо́льшую часть жизни прожил в России. Наиболее известным в математическом анализе,  статистике, информатике и логике считается круг Эйлера (диаграмма Эйлера-Венна), используемый для обозначения объема понятий и множеств элементов. Леонард Эйлер

 Один из величайших математиков петербургский академик Леонард Эйлер за свою долгую жизнь, написал более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Наряду с кругами применяются прямоугольники и другие фигуры.

Джон Венн (1834-1923) – английский философ и логик,            соавтор диаграммы Эйлера-Венна.

Теории множеств в школьной программе уделяется мало внимания, поэтому 90% учащихся сложно применять эту теорию на практике.

При  решении  целого  ряда  задач  Леонард  Эйлер  использовал  идею  изображения  множеств  с  помощью  кругов  и  они  получили  название  «круги  Эйлера».

Цель исследования

Цель исследования: показать использование теории множеств при решении школьных задач

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

• Изучить литературу по исследуемой тематике
• Показать эффективность в применении теории множеств при решении задач
• Сделать анализ использования теории множеств в решении задач среди школьников 5, 6 и 7 классов

В ходе исследования нами била выдвинута следующая гипотеза

Гипотеза

Применение теории множеств помогает решить задачу более наглядно, просто и позволяет  исключить ошибки.

Методы исследований

Нами были использованы следующие методы исследований

        Предмет:

• нестандартные задачи.

 Объект:      

•  теоретико-множественные модели.

Методы исследования:

• анализ литературы по данной теме;
• изучение решения задач учащимися (анализ самостоятельных работ);
• эксперимент (констатирующий, контрольный).

Также мы выдвинули два  этапа постановки работы

• Теоретический

Нахождение  материалов и задач по данной теме

• Практический

Обучения решению задач с помощью теории

множеств школьников 5,6 и 7

классов.

Проведение опроса среди школьников 5,6 и 7

классов.

Анализ применения данной теории при решении задач школьниками.

Теория

Одним из фундаментальных, неопределяемых математических понятий является понятие множества.

Множество можно представить себе как соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку.

Нами также было рассмотрено два случая теории множеств

1 случай- пересечение множеств

В данном случае понятия подразумевают один и тот же предмет. Соответственно, объемы данных понятий полностью совпадают. Например:

В нашем классе ребята дополнительно занимаются французским и английским языком. Множество ребят А ,  занимаются французским языком в свободное время,  а В- английским языком. А множество С – это ребята,  которые занимаются и французским и английским языками дополнительно.

2 случай-объединение

В данную категорию входят понятия, имеющие общие элементы, находящиеся в отношении перекрещивания. То есть объем одного из понятий частично входит в объем другого:

В библиотеке есть русская поэзия- множество D. А есть зарубежная – Е. Но все это- книги.

Всем участникам эксперемета (ученикам 5, 6, 7 классов) была предоставлена задача

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием?

В данной задаче довольно много данных и краткую запись сделать сложно. Но нам удалось сделать это в виде множеств (кругов Эйлера).

Из данного наглядного решения можно сделать вывод : 10 человек не увлекаются коллекционированием.                  

После проведения анализа, мы получили следующие  результаты(констатирующий эксперемент)

Результаты:

Решение класса А

Из данной диаграммы видно , что более 50% детей не справились с поставленной задачей. 35% ребят решили задачу неверно. И только 10% детей решили задачу, не применяя круги Эйлера - по догадке.

Решение класса В

Из данной диаграммы видно, что  67% решили неверно задачу. 3% ребят решили задачу без объяснения. 30% вообще не решили задачу.

Далее нами был проведем контрольный эксперемент ( ребята решали задачи после объяснения теории множеств)

Из 1 диаграммы видно. Что по сравнению с констатирующим эксперементом, данные возросли на 60%. Большая часть учеников поняла наше объяснение и стала применять теорию на практике.

Из диаграммы 2 видно. Что правильность работ возросла на 40% ,  очень малое количество ребят не справились с поставленной перед ними задачей- не решили всего 2% .

Количество ошибок уменьшилось на 15,5%.

Выводы

Проведенная нами работа позволила сделать следущие выводы:

• Литература по данной тематике изучена
• Применение теории множеств действительно упрощает решение арифметических задач и позволяет исключить ошибки
• Проведя анализ использования теории множеств, можно сказать о том , что школьники очень мало могут узнать о этой теории из школьной программы. По этому необходимо периодически проводить такие эксперименты и помогать с получением дополнительных знаний школьникам.