Доказательство от противного
план-конспект урока по математике (7 класс)

Урок геометрии в 7 классе

ТЕМА: Доказательства от противного

Воронина И.С.

Цели урока:

Образовательные – добиться, чтобы учащиеся усвоили, в чем заключается метод доказательства от противного; умели применять данный метод при решении задач.

Воспитательные – способствовать выработке у учащихся желания и потребности изучения геометрии, новых способов доказательства; воспитывать уверенность в своих знаниях.

Развивающие – развитие логического мышления; развитие самостоятельности учащихся; развитие творческого отношения к учебе.

Ход урока

1. Устный счет. Задачи по готовым чертежам

        1        a        ?        c                2        a

        ?        ?        ?

        b        300        d        b        1300        c

        3        a        4

        240        ?

        b

        ?        A        B        C          

        с        AC = 320 см ; BC = 18 дм

        b - биссектрисса                

5        6        c

        а        A        a        A

        b        . B        b

        a ∩ b = A        a     b , a ∩ c = A        

        Может ли a ∩ b = B?        Доказать:  b ∩ c

Дополнительные вопросы:

• Какие углы называются вертикальными?
• Сформулировать свойство вертикальных углов?
• Какие углы называются смежными?
• Сформулировать свойство смежных углов?
• Сформулировать основное свойство измерения отрезков?
• Сформулировать аксиому измерения углов?
• Сформулировать основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости.
• Сформулировать основное свойство параллельности прямых.

2. Подготовка к введению нового материала

Вводное слово учителя

В древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы было написано: «Не знающий геометрии, да не войдет сюда».

Это объясняется тем, что геометрия учит рассуждать и доказывать. Речь человека убедительна, когда он доказывает свои выводы. Считается, что первыми стали применять доказательство древние греки (VI век до н.э.)

Фалес из Милета первым начал игру в «Докажи», которая продолжается уже два с половиной тысячелетия и конца которой не видно. Например, египтяне, передавая знания ученику, говорили: «Делай, как делается». А Фалес поставил вопрос: «Почему это так?» и стал не только наблюдать различные свойства геометрических фигур, но и выводить одни свойства из других.

Инсценировка «Как Петя теорему доказал»

Ведущий: Как –то раз мама и Петина сестра Катя ушли в гости, а сам он, чтобы не скучать, достал с верхней полки томик увлекательнейших историй о Шерлоке Холмсе. Доставая книгу, Петя нечаянно смахнул вазочку, которая разбилась вдребезги. Хорошее настроение было несколько омрачено, но, решив не расстраиваться заранее, он смел черепки и уютно устроился с книгой на диване. Рядом примостился верный пес Дружок. Едва раскрыв книгу, Петя забыл обо всем на свете и с головой погрузился в мир загадочных преступлений, которые так ловки распутывал Шерлок Холмс с помощью своего дедуктивного метода. К действительности его вернул возмущенный голос Кати.

Катя: Мама, смотри, Петька вазочку разбил, которую я тебе подарила!

Петя: А ты видела? Докажи, что это сделал я!

Катя: (пожимает плечами). Что же тут доказывать? Дома были только ты и Дружок. Допустим, что ты не разбил вазочку, тогда значит, ее разбил Дружок. Но не станешь же ты утверждать, что Дружок мог добраться до верхней полки? Дружок все-таки собака, а не кошка. Значит, вазочку разбил ты, больше не кому.

Петя: Да, с тобой не поспоришь, логика как у Шерлока Холмса: вазочку действительно разбил я. Пойду-ка к Мите, спрошу, что задано по геометрии.

(Идет к Мите.)

Петя:(приветствует Митю). Митя, что нам задано по геометрии?

Митя: Теорему «Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке». Я уже выучил!

Ведущий: Чтение учебника геометрии, которую мальчики только начали изучать, казалось Пете делом трудным и скучным, он подумал и попросил Митю.

Петя: Расскажи, пожалуйста ее доказательство.

Митя: Пожалуйста! Допустим, что утверждение теоремы не верно, тогда…

Петя: Постой, постой, дальше я сам. Пусть прямые имеют две точки пересечения. Но если бы они имели две точки пересечения, то через эти точки проходили бы две различные прямые. А этого быть не может – мы уже знаем аксиому «Через любые две точки можно провести прямую и только одну». Значит, прямые не могут иметь две точки пересечения, следовательно, две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.

Митя: Молодец! Где это ты так «насобачился»?

Петя (смеется): Именно, «насобачился». Только что Катька таким же способом доказала, что вазочку разбил я, а не собака.

Митя: Каким это способом? В чем он состоит? И вообще, что общего между доказательством геометрической теоремы и «расследованием» по делу о какой-то разбитой вазочке?

Учитель: В своих рассуждениях ребята воспользовались способом доказательства, который в математике называется доказательством от противного. Суть этого метода: рассуждение проводится от предположения, противоположного тому, которое требуется доказать.

Игра.

Учитель. Я говорю слово (или фразу), а вы должны сказать слово (или фразу) противоположную по смыслу.

Например:

Толстый - тонкий.                              Горячий – холодный;

Голодный – сытый;                            Медленный - быстрый; Принадлежит - не принадлежит;      Лежит между – не лежит между; Пересекаются - не пересекаются;     Разделяет – не разделяет и т. д.

3.  Объяснение нового материала.

Пример №1 . (на доске на платках вывешены опорные слова: дано, доказать, предположим, рассуждаем, противоречие, вывод).

Дано: Петя, Дружок, вазочка разбитая.

Доказать: Петя разбил вазу.

Предположим: не Петя разбил вазу.

Рассуждаем: тогда вазу разбил Дружок.

Противоречие: Дружок не может залезть на верхнюю полку.

Вывод: предположение неверно, значит, вазу разбил Петя.

Пример №2.

Дано: 1 + ⦟ 2 = 156° .

Доказать: ⦟1 и ⦟2 – не могут быть смежными.

Предположим: ⦟1 и ⦟2 – смежные.

Рассуждаем: тогда. 1 + ⦟ 2 = 180° (свойство смежных углов).

Противоречие: по условию. 1 + ⦟ 2 =156°.

Вывод: предположение неверно, значит, 1 + ⦟ 2 – не могут быть смежными.

Закрепление (устная работа)

1)  Сумма двух углов 160°. Докажите, что эти углы не могут быть смежными.

2)  Разность двух углов 10°. Докажите, что эти углы не могут быть вертикальными.

          3)  Докажите, что если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

4. Физкультминутка

1. Учитель произносит математические термины, связанные с геометрией и нет.

Упражнение 1: руки вверх – если это геометрический термин,

                           руки в стороны – если термин не связан с геометрией.

Упражнение 2: присесть – если это геометрический термин,

                           встать– если термин не связан с геометрией.

2. Учитель диктует выполнение одних движений, а сам выполняет другие. Например: руки вверх; делает руки в стороны и т.д.

5. Решение задач

1. Дано: А.В.С – точки прямой а;

      АВ=5 см, АС=2см, ВС = 7 см.

Доказать: точка С не лежит между точками А и В.

Доказательство:

Рассуждаем: по свойству измерения отрезков АС+СВ=АВ.

Противоречие: 2+7 ≠ 5.

Вывод: САВ (точка С лежит между А и В).

2. Дано: ; ⦟(ас) = 50°

Доказать: луч с проходит между сторонами ⦟(ав).

Доказательство:

Предположим: луч с проходит между сторонами ⦟(ав).

Рассуждаем: по аксиоме измерения углов:

⦟ас) + ⦟(св) =⦟(ав)

⦟(св) = ⦟(ав) – ⦟(ас).

Противоречие: ⦟(св) = 40°-50° < 0°

Противоречие аксиоме измерения углов.

Вывод: луч с не проходит между сторонами ⦟(ав).

6. Закрепление

Плакаты с выделенными фразами вывешиваются на доске. При втором чтении выделенные фразы ученики повторяют вслух хором.

 Чтобы в речи убедительным

И логичным быть,

Вам метод от противного

Надо уяснить.

Следует подумать и загадать

Противоположное тому,

 Что надо доказать.

И если мы, порассуждав,

Найдем противоречие,

То и доказывать

Будет уже нечего.

7. Задание на дом (на карточках).

1. Повторить задачи: п.1 №3 (с.6), №41 (с.16)
2. п.17, с.28,29
3. Докажите, что если МН=8см, МК =5см, НК=10см, точка М не лежит между точками Н и К.
4. Докажите, что если (ав) = 100°, ⦟(вс) = 120°, то луч с не проходит между сторонами ⦟(ав).
5. Проходит ли луч с между сторонами ⦟(ав), если ⦟(ас) и ⦟(вс) тупые?